1、第三节圆的方程三年6考高考指数:1.掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程；2.初步了解用代数方法处理几何问题.1.圆的方程的求法、圆的几何性质是高考的重点；2.常和圆的几何性质结合,重点考查待定系数法、方程的曲线与曲线的方程的概念；3.题型多以选择题和填空题为主，有时与其他知识点交汇.1.圆的定义、方程(1)在平面内到_的距离等于_的点的轨迹叫做圆；(2)确定一个圆的基本要素是：_和_.(3)圆的标准方程两个条件：圆心(a,b),_；标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2.定点定长圆心半径半径r(4)圆的一般方程一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0；方程表示圆的充要条件为：
2、_；圆心坐标_,半径r=_.D2+E2-4F0【即时应用】(1)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围是_;(2)圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+y-3=0的距离为_;(3)当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程为_.【解析】(1)x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，所以a2+(2a)2-4(2a2+a-1)0,解得-2a(2)x2-2x+y2-3=0的圆心坐标为(1,0)，它到直线x+y-3=0的距离为(3)直线方程变为(x+1)a-x-y+1=0,由得 C(-1,2).所求圆的方
3、程为(x+1)2+(y-2)2=5.即:x2+y2+2x-4y=0.答案：(1)-2a(2)1 (3)x2+y2+2x-4y=02.点与圆的位置关系(1)理论依据：_与_的距离与半径的大小关系(2)三个结论:圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0,y0)_ 点在圆上；_ 点在圆外；_ 点在圆内.点圆心(x0-a)2+(y0-b)2=r2(x0-a)2+(y0-b)2r2(x0-a)2+(y0-b)2r2【即时应用】(1)思考：若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0上，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+E
4、y+F=0内，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则x02+y02+Dx0+Ey0+F满足什么条件？提示：x02+y02+Dx0+Ey0+F=0;x02+y02+Dx0+Ey0+F0;x02+y02+Dx0+Ey0+F0.(2)已知点A(0,0)在圆：x2+y2+2ax+a2+a-2=0外，则a的取值范围是_;【解析】因为方程x2+y2+2ax+a2+a-2=0表示圆，所以(2a)2-4(a2+a-2)0，解得:a2,又因为点A(0,0)在圆外，所以a2+a-20，解得：a-2或a1,综上可得1a2或a-2.答案：1a2或
5、a-2(3)已知点A(1,2)在圆：x2+y2+ax-2y+b=0上，且点A关于直线x-y=0的对称点B也在圆上，则a=_,b=_.【解析】方法一：点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为B(2,1)，又因为A、B两点都在圆上，所以解得方法二：易知圆心在y=x上，1=即a=-2,又点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上，12+22-21-22+b=0,b=1.答案：-2 1求圆的方程【方法点睛】1.求圆的方程的方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程.(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a
6、、b、r的方程组，从而求出a、b、r的值;若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值.2.确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线.【例1】(1)过点A(6,5)、B(0,1)，并且圆心在直线3x+10y+9=0上的圆的方程为_；(2)求经过点A(-2,-4)，且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8,6)的圆的方程.【解题指南】(1)因为圆心在弦的垂直平分线上，所以解方程组，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程；(2)可先设圆心
7、坐标为C(a,b)，由圆心与切点连线与切线垂直及圆心到圆上点的距离相等得出关于a、b的两个方程，解方程组即可得到圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程；也可直接求出圆心坐标，再求出半径，得出圆的方程.【规范解答】(1)因为圆经过A、B两点，所以，圆心在AB的垂直平分线上，而AB的垂直平分线方程为：3x+2y-15=0,解方程组得：所以圆心坐标为：C(7,-3),又|BC|=所以，所求圆的方程为：(x-7)2+(y+3)2=65.答案：(x-7)2+(y+3)2=65(2)方法一：设圆心坐标为C(a,b),依题意得：解得：半径r=因此，所求圆的方程为：方法二：依题意得,圆心在AB的垂直平分线上，而A
8、B的垂直平分线方程为：x+y-4=0；又因为圆心也在过B且与直线l垂直的直线上，而此直线方程为：3x-y-18=0，解方程组得：以下同方法一.【反思感悟】1.从题组求解可以看出，确定一个圆的方程，需要三个独立的条件；“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数.2.解答与圆有关的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算.与圆有关的最值问题【方法点睛】与圆有关的最值问题，常见的有以下类型(1)形如型的最值问题，可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题；(2)形如t=ax+by型的最值问题，可转化为动直线的截距
9、的最值问题;(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.【例2】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求的最大值和最小值；(2)求y-x的最大值和最小值；(3)求x2+y2的最大值和最小值.【解题指南】充分利用所求代数式的几何意义，运用几何法求解.为点(x,y)与原点连线的斜率；而y-x表示动直线y=x+b的纵截距；x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方；也可以消去一个元，转化为在函数定义域内求最值.【规范解答】(1)原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜
10、率，所以设=k，即y=kx,当直线与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时解得k=所以的最大值为最小值为(2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距，当直线与圆相切时，直线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值，此时解得b=-2所以y-x的最大值为-2+最小值为-2-(3)方法一：x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方，由平面几何知识可知，原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2，故(x2+y2)max=(x2+y2)min=方法二：由x2+y2-4x+1=0得：y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-10,即：x2+y2=x2+(-x2+4
11、x-1)=4x-1,(x2+y2)max=(x2+y2)min=【反思感悟】1.本题三问都是求代数式的最值，它们都是利用代数式的几何意义与取最值时所满足的条件得出等式，通过解方程即可得出结论.2.解答圆的最值问题，应注意数形结合，充分运用直线的斜率、在坐标轴上的截距、几何性质，来寻找解题思路.与圆有关的轨迹问题【方法点睛】1.求轨迹方程的基本步骤第一步：建立适当的平面直角坐标系，设曲线上任意点的坐标为M(x,y)；第二步：写出适合已知条件的点M的集合P=M|P(M)；第三步：用坐标表示P(M)，列出方程f(x,y)=0；第四步：化简方程f(x,y)=0为最简形式.2.求与圆有关的轨迹方程的方法
12、【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.直接法直接根据题设给定的条件列出方程求解的方法定义法根据圆（或直线）的定义列方程求解的方法几何法利用圆的几何性质，得出方程的方法找出要求的点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式的方法代入法【例3】长为2a的线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB中点的轨迹方程.【解题指南】可设AB的中点坐标为(x,y)，再求出A、B的坐标，由距离公式及线段AB的长即可得出方程；还可由AB的中点与坐标原点的距离为定长，得出轨迹为圆，从而得出方程.【规范解答】方法一：设AB的中点坐标为(x,y)，因为线段AB的两端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，所以A、B两点的
13、坐标分别为A(2x,0)、B(0,2y)，因为线段AB长为2a，所以化简得：x2+y2=a2.方法二：设AB的中点坐标为(x,y),依题设知，AB的中点到原点的距离为a,所以其轨迹为以原点为圆心，以a为半径的圆，其方程为x2+y2=a2.【反思感悟】1.求点的轨迹时，关键是发现点满足的几何条件，寻找等式，得出方程；另外，注意圆的定义的应用，如果轨迹是圆，则可由圆心及半径直接写出圆的方程.2.解答轨迹问题时，要注意验证应该删除的点或遗漏的点，以防增解或漏解.【满分指导】与圆的方程有关的解答题的规范解答【典例】(12分)(2011新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x2-6x+1与坐标
14、轴的交点都在圆C上.(1)求圆C的方程;(2)若圆C与直线x-y+a=0交于A，B两点，且OAOB,求a的值.【解题指南】(1)可先求出曲线与坐标轴的交点坐标，再求圆的方程；(2)直线与圆的方程联立，由=0即可求出a的值.【规范解答】(1)曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点为(0,1),(3 0).2分故可设圆的圆心坐标为(3,t),则有32+(t-1)2=(2 )2+t2,解得：t=1.4分则圆的半径为所以圆的方程为：(x-3)2+(y-1)2=9.6分(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)，其坐标满足方程组消去y得到方程：2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0,由已知可得判别式=
15、(2a-8)2-42(a2-2a+1)=56-16a-4a20,由根与系数的关系可得：9分由OAOB可得：x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a，所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0 由可得a=-1，满足0,故a=-1.12分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示解答本题时有两点容易造成失分：(1)受思维习惯的制约，只求出与x轴的两个交点坐标，忽视与y轴的交点坐标，从而无法进行下去；(2)直接求出a的值，没有验证判别式是否大于零.备考建议解决与圆的方程有关的问题时，要注意以下几点：(1)根据题设条件，合理选择圆的方程的
16、形式(是标准方程还是一般方程)；(2)凡是涉及一元二次方程解的问题，一定要注意方程的判别式是否大于等于或者小于零，即方程是否有解.1.(2011安徽高考)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心，则a的值为()(A)-1 (B)1(C)3 (D)-3【解析】选B.圆的方程x2+y2+2x-4y=0可变形为(x+1)2+(y-2)2=5,所以圆心坐标为(-1,2),代入直线方程得a=1.2.(2012烟台模拟)直线2x-y-=0与y轴的交点为P，点P把圆(x-1)2+y2=25的直径分为两段，则其长度之比为()【解析】选A.直线2x-y-0与y轴的交点P(0，)，P与圆心(1，
17、0)的距离为2，而圆的半径为r=5，点P将圆的直径分为3、7两段，故长度之比为3.(2012柳州模拟)直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交于A、B两点(a、b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a,b)与点(0,1)之间的距离的最大值为()(A)+1 (B)2(C)(D)-1【解析】选A.AOB为直角三角形，AOB=90,圆心到直线的距离即2a2+b2=2,可得0b22,而P(a,b)与点(0,1)之间的距离为：又 当b=-时，4.(2011辽宁高考)已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_.【解析】设C(x,0),由|CA|=|CB|，得解得x=2.r=|CA|=圆C的标准方程为(x-2)2+y2=10.答案：(x-2)2+y2=10
