1、第六节直接证明与间接证明1.直接证明内容综 合 法分 析 法定义从命题的条件出发，利用_及_，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法从要求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的_，直到归结为这个命题的_，或者归结为_等，这样的思维方法称为分析法思维特点由因导果执果索因定义、公理、定理运算法则充分条件条件定义、公理、定理内容综 合 法分 析 法实施流程文字表示“因为所以”“由得”等“要证”“只需证明”“即证”等2.间接证明（1）反证法的定义先假定命题结论的_成立，在这个前提下，若推出的结论与_相矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与_相矛盾，从
2、而说明命题结论的反面_成立，由此断定命题的结论_，这种证明方法叫做反证法.反面定义、公理、定理已知条件假定不可能成立(2)利用反证法证题的步骤作出否定结论的假设；进行推理、导出矛盾；否定假设，肯定结论.简言之，否定归谬断言.判断下面结论是否正确（请在括号中打“”或“”）.（1）综合法是直接证明，分析法是间接证明.()（2）分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()（3）用反证法证明结论“ab”时，应假设“aB，只需Cb，则的大小关系是_【解析】答案：5设a，b是两个实数，给出下列条件：（1）ab2；（2）a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填上
3、序号)【解析】取a2，b1，则a2b22，从而（2）推不出结论（1）能够推出结论，即若ab2，则a，b中至少有一个大于1.可用反证法证明如下：假设a1，且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，即a，b中至少有一个大于1.答案：（1）考向 1 综合法的应用【典例1】（2013南昌模拟）对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条：对任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)=1；若x10,x20，x1+x21都有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数.试判断g(x)=2x-1(x0,1)是否为理想函数，如果是，请予证明；如果不是，请说明理由.【思路点
4、拨】根据理想函数的定义，分析判断g(x)是否满足理想函数的三个条件即可.【规范解答】g(x)=2x-1(x0,1)是理想函数，证明如下：因为x0,1，所以2x1，2x-10，即对任意x0,1，总有g(x)0，满足条件.g(1)=21-1=2-1=1，满足条件.当x10,x20,x1+x21时，于是g(x1+x2)-g(x1)+g(x2)由于x10,x20，所以于是g(x1+x2)-g(x1)+g(x2)0,因此g(x1+x2)g(x1)+g(x2),满足条件，故函数g(x)=2x-1(x0,1）是理想函数.【互动探究】本例中条件不变，问题变为“若函数f(x)是理想函数，证明f(0)=0”，如何
5、求解？【证明】令x1=x2=0，则满足x10,x20,x1+x21,于是有f(0+0)f(0)+f(0),得f(0)0.又由条件知f(0)0,故必有f(0)=0.【拓展提升】综合法证题的思路【变式备选】设a0,b0,a+b=1,求证：【证明】方法一：a0,b0,a+b=1,方法二：a+b=1，考向 2 分析法的应用【典例2】（2013合肥模拟）（1）比较下面两组数的大小(直接写出结果).（2）从（1）中结论中，你能否得出更一般的结论？证明你的结论.【思路点拨】用分析法证明，从要证明的不等式出发，将其逐步简化，直至得出明显成立的不等式.【规范解答】(1）（2）一般结论:若nN+，则要证只要证只要
6、证即只要证n2+3n+2n2+3n,20,显然成立，【拓展提升】分析法证题的技巧（1）逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键（2）证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出与左右两侧等价的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证【提醒】用分析法证明时，必须有文字说明，否则证法是错误的.【变式训练】已知a0，求证：【证明】要证只要证a0，故只要证即从而只要证只要证即而该不等式显然成立，故原不等式成立.考向 3 反证法的应用【典例3】已知数列an满足a1=,nN+，其中为实数.求证：数
7、列an不是等比数列.【思路点拨】先假设数列an是等比数列，则其前3项构成等比数列，由此推出矛盾.【规范解答】由已知可得假设存在实数，使an是等比数列，则必有即于是可得9=0，矛盾，所以假设错误，即数列an不是等比数列.【互动探究】本题条件不变，问是否存在实数，使得an是等差数列？【解析】假设存在实数，使得an是等差数列，由已知得所以解得=-18.于是an=-18+3(n-1)=3n-21,因此an+1=3n-18.代入中检验，成立，所以存在实数=-18，使得an是等差数列.【拓展提升】适合用反证法证明的六类问题适合用反证法证明的题型有：（1）易导出与已知矛盾的命题.（2）否定性命题.（3）唯一
8、性命题.（4）至多、至少型命题.（5）一些基本定理.（6）必然性命题等.【变式备选】已知非零实数a,b,c构成公差不为0的等差数列.求证：不能构成等差数列.【证明】假设能构成等差数列，则由于是得bc+ab=2ac，而由于a,b,c构成等差数列，即2b=a+c，所以(a+c)2=4ac，即(a-c)2=0，于是得a=b=c，这与a,b,c构成公差不为0的等差数列矛盾.故假设不成立，因此不能构成等差数列.【满分指导】分析法与综合法的综合应用【典例】（12分）（2013长沙模拟）已知函f(x)=ln(x+2)，a,b,c是两两不相等的正实数，且a,b,c成等比数列，试判断f(a)+f(c)与2f(b
9、)的大小关系，并证明你的结论.【思路点拨】已 知 条 件条 件 分 析a,b,c是两两不相等的正实数可运用基本不等式得a+ca,b,c成等比数列得a,b,c的关系式b2=ac函数f(x)=ln(x+2)函数是递增函数f(a)+f(c)与2f(b)代入解析式具体化【规范解答】f(a)+f(c)2f(b).2分证明如下：因为a,b,c是两两不相等的正实数，所以由基本不等式可得a+c.4分又因为a,b,c成等比数列，所以b2=ac,于是a+c =2b.6分而f(a)+f(c)=ln(a+2)(c+2)=lnac+2(a+c)+4,2f(b)=2ln(b+2)=ln(b2+4b+4),8分由于ac+2
10、(a+c)+4=b2+2(a+c)+4b2+4b+4,且函数f(x)=ln(x+2)是单调递增函数，10分因此lnac+2(a+c)+4ln(b2+4b+4),故f(a)+f(c)2f(b).12分【失分警示】（下文见规范解答过程）1.（2013西安模拟）设a,bR，则“a+b=1”是“4ab1”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件【解析】选A.若a+b=1,则当且仅当取等号;若4ab1,取a=-4,b=1，这时4ab=-161,但a+b=-31，即a+b=1不成立，所以“a+b=1”是“4ab1”的充分不必要条件.2.（2013九江模拟）用反
11、证法证明“圆内不是直径的两弦，不能互相平分”应假设_.【解析】应否定结论：故应假设：“圆内不是直径的两弦，能互相平分”.答案：圆内不是直径的两弦，能互相平分3.（2013宝鸡模拟）已知a0,b0，且2a+b=4，则的最小值为_.【解析】ab2,当且仅当2a=b=2时取等号.答案：4.(2013宁德模拟)设函数f(x)定义在(0,+)上，f(1)=0，导函数f(x)=,g(x)=f(x)+f(x).(1)求g(x)的单调区间和最小值.(2)是否存在x00，使得|g(x)-g(x0)|0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】(1)由题设易知f(x)=ln x,g(x)=l
12、n x+,令g(x)=0得x=1.当x(0,1)时，g(x)0，故(1,+)是g(x)的单调递增区间，因此x=1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)=1.(2)满足条件的x0不存在理由如下：假设存在x00，使得|g(x)-g(x0)|0成立，即对任意x0，有(*)但对上述x0，取时，有ln x1=g(x0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此不存在x00，使得对任意x0成立1.已知集合P=1,4,9,16,25,，若当aP,bP时，有abP，那么运算“”可能是实数四则运算中的()(A)加法(B)减法(C)乘法(D)除法【解析】选C.集合P中的元素都是完全平方数，因此它对乘法运算是封闭的，即运算“”可能是实数四则运算中的乘法.2.设a,b,c均为大于1的正数，且ab=10.求证：logac+logbc4lg c.【证明】因为ab=10，所以lg a+lg b=lg(ab)=1.因此又因为a,b,c均为大于1的正数，所以lg a,lg b,lg c0，故即logac+logbc4lg c.
