1、第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B=3ac,则角B的值为()A.6B.3C.6或56D.3或23解析:(a2+c2-b2)tan B=3ac,a2+c2-b22actan B=32,即cos Btan B=sin B=32.0Bbc,a20,Abc,ABC.A3,故选C.答案:C5在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()A.322 B.332 C.32 D.33解析:在AB
2、C中,AB=3,BC=13,AC=4,由余弦定理,得cos A=AB2+AC2-BC22ABAC=12,A=60.而AC边上的高h=ABsin A=3sin 60=332.故选B.答案:B6在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若B=2A,则ba的取值范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.(1,3)D.(3,22)解析:在ABC中,由正弦定理可得ba=sinBsinA.B=2A,ba=sin2AsinB=2sinAcosAsinA=2cos A.在锐角三角形ABC中,0B90,即02A90,0A45.由三角形内角和定理A+B+C=180,得0C=180-A-B=180
3、-3A90,30A45,22cos A32.22cos A3.故选B.答案:B7在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=().A.34 B.3C.4 D.6解析:由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,因为b=c,所以a2=b2+b2-2bbcos A=2b2(1-cos A).由已知a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,因为A(0,),所以A=4.答案:C8在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若tan A=7tan B,a2-b2c=3,则c等于().A.4B.3C.7D.6解析:由tan
4、 A=7tan B,得sinAcosA=7sinBcosB,即sin Acos B=7sin Bcos A,所以sin Acos B+sin Bcos A=8sin Bcos A,即sin(A+B)=sin C=8sin Bcos A.由正、余弦定理可得c=8bb2+c2-a22bc,即c2=4b2+4c2-4a2,又a2-b2c=3,所以c2=4c,即c=4.答案:A9在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于 ().A.34 B.43C.-34 D.-43解析:由2S=(a+b)2-c2,得2S=a2+b2+2ab-c
5、2,即212absin C=a2+b2+2ab-c2,所以absin C-2ab=a2+b2-c2.由余弦定理可知cos C=a2+b2-c22ab=absinC-2ab2ab=sinC2-1,所以cos C+1=sinC2,即2cos2C2=sinC2cosC2,所以tanC2=2.所以tan C=2tanC21-tan2C2=221-22=-43.答案:D10甲船在B岛的正南方10 km处,且甲船以4 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是().A.1507min B.157 hC.21.5 min
6、D.2.15 h解析:如图,设经过x h后甲船处于点P处,乙船处于点Q处,两船的距离为s,则在BPQ中,BP=10-4x,BQ=6x,PBQ=120,由余弦定理可知s2=PQ2=BP2+BQ2-2BPBQcosPBQ,即s2=(10-4x)2+(6x)2-2(10-4x)6xcos 120=28x2-20x+100.当x=-20228=514时s最小,此时x=514(h)=1507(min).答案:A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.解析:3sin
7、A=5sin B,3a=5b.又b+c=2a,由可得,a=53b,c=73b,cos C=b2+a2-c22ab=b2+53b2-73b2253bb=-12,C=23.答案:2312如图所示,为了测量河的宽度,在一岸边选定两点A,B,望对岸标记物C,测得CAB=30, CBA=75,AB=120 m,则河的宽度为.解析:在ABC中,CAB=30,CBA=75,ACB=75,ACB=ABC.AC=AB=120 m.宽h=ACsin 30=60(m).答案:60 m13在ABC中,BC=1,B=3,当ABC的面积等于3时,sin C=_.解析:设AB=c,AC=b,BC=a,则ABC的面积S=12
8、acsin B=3,解得c=4,所以b=a2+c2-2accosB=13.所以cos C=a2+b2-c22ab=-1313.所以sin C=23913.答案:2391314在ABC中,已知b=1,sin C=35,bcos C+ccos B=2,则ACBC=_.解析:由余弦定理的推论知cos C=a2+b2-c22ab,cos B=a2+c2-b22ac.bcos C+ccos B=2,a2+b2-c22a+a2+c2-b22a=2.a=2,即|BC|=2.又b=1,|AC|=1.sin C=35,0C180,cos C=45或cos C=-45.ACBC=85或ACBC=-85.答案:85
9、或-8515在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若1+tanAtanB=2cb,则A=_.解析:由正弦定理,得2cb=2sinCsinB.又因为1+tanAtanB=tanB+tanAtanB=sinBcosA+cosBsinAsinBcosA=sin(A+B)sinBcosA=sinCsinBcosA,所以sinCsinBcosA=2sinCsinB.则cos A=12.又因为0A180,所以A=60.答案:60三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60.(1)求BC的长;(2)求sin
10、 2C的值.解(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos A=4+9-22312=7,所以BC=7.(2)由正弦定理知,ABsinC=BCsinA,所以sin C=ABBCsin A=2sin607=217.因为ABBC,所以C为锐角,则cos C=1-sin2C=1-37=277.因此sin 2C=2sin Ccos C=2217277=437.17(8分)已知在ABC中,内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,且tan A+tan B=2sinCcosA.(1)求角B的大小;(2)若ac+ca=3,求sin Asin C的值.解(1)易知tan A+tan B=sinA
11、cosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB.tan A+tan B=2sinCcosA,sinCcosAcosB=2sinCcosA,cos B=12.又0Bc.已知BABC=2,cos B=13,b=3,求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解(1)由BABC=2得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13,得a=2,c=3或a=3,c=2.因为ac,所以
12、a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223,由正弦定理,得sin C=cbsin B=23223=429.因为a=bc,所以C为锐角,因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.19(10分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-c=66b,sin B=6sin C.(1)求cos A的值;(2)求cos2A-6的值.解(1)在ABC中,由bsinB=csinC,及sin B=6sin C,可得b=6c.又由a-c=66b,得a
13、=2c.所以cos A=b2+c2-a22bc=6c2+c2-4c226c2=64.(2)在ABC中,由cos A=64,可得sin A=104.于是cos 2A=2cos2A-1=-14,sin 2A=2sin Acos A=154.所以cos2A-6=cos 2Acos6+sin 2Asin6=15-38.20(10分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=63,B=A+2.(1)求b的值;(2)求ABC的面积.解(1)在ABC中,由题意知sin A=1-cos2A=33,又因为B=A+2,所以sin B=sinA+2=cos A=63.由正弦定理可得b=asinBsinA=36333=32.(2)由B=A+2,得cos B=cosA+2=-sin A=-33.由A+B+C=,得C=-(A+B),所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33-33+6363=13.因此ABC的面积S=12absin C=1233213=322.
