1、【课标要求】1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算.3.了解向量的坐标表示与平面内点的坐标的关系自主学习 基础认识|新知预习|1平面向量的坐标表示(1)向量 a 的坐标：a(x，y)(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是一一对应的2平面向量线性运算的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则类别坐标运算语言表述 向量的加法坐标表示ab(x1x2，y1y2)向量的减法坐标表示ab(x1x2，y1y2)向量和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的和与差实数与向量积的坐标表示 a(x1，y1)实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐
2、标的乘积 有向线段的坐标表示 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ABOBOA(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)一个向量的坐标等于其终点的相应坐标减去始点的相应坐标3.向量平行的坐标表示(1)公式：设 a，b 是非零向量，且 a(x1，y1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10.若 y10 且 y20，则上式可表示为 abx1y1x2y2.(2)文字语言：定理 1：若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例定理 2：若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行|自我尝试|1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一
3、定不同()(2)两向量差的坐标与两向量的顺序无关()(3)向量(2,3)与向量(4，6)反向()2已知向量a(2,3)，b(2，3)，则下列结论正确的是()A向量 a 的终点坐标为(2,3)B向量 a 的起点坐标为(2,3)C向量 a 与 b 互为相反向量D向量 a 与 b 关于原点对称解析：因为 a(2,3)，b(2，3)，所以 ab(2,3)(2，3)(0,0)0.所以 ab.答案：C3已知向量 a(1,2)，b(1,0)，那么向量 3ba 的坐标是()A(4,2)B(4，2)C(4,2)D(4，2)解析：3ba3(1,0)(1,2)(4，2)答案：D4已知 M(2,3)，N(3,1)，则
4、NM 的坐标是()A(2，1)B(1,2)C(2,1)D(1，2)解析：NM(23,31)(1,2)答案：B5若 O(0,0)，A(1,2)且OB 3OA，则 B 点的坐标为_解析：OB 3OA 3(1,2)(3,6)，B 点坐标为(3,6)答案：(3,6)课堂探究 互动讲练类型一平面向量的坐标表示例1 已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|4 3，xOA60，(1)求向量OA 的坐标；(2)若 B(3，1)，求BA的坐标【解析】(1)设点 A(x，y)，则 x|OA|cos604 3cos602 3，y|OA|sin604 3sin606，即 A(2 3，6)，所以OA(2 3，6)(2
5、)BA(2 3，6)(3，1)(3，7).方法归纳 求点和向量坐标的常用方法(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标(2)求一个向量时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去始点坐标得到该向量的坐标跟踪训练 1 如图，取与 x 轴、y 轴同向的两个单位向量 i，j作为基底，分别用 i，j 表示OA，OB，AB，并求出它们的坐标解析：由图形可知，OA 6i2j，OB 2i4j，AB4i2j，它们的坐标表示为OA(6,2)，OB(2,4)，AB(4,2)类型二平面向量的坐标运算例 2(1)(2015高考全国卷)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量A
6、C(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)(2)已知向量 a，b 的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求 ab，ab,3a,2a3b 的坐标【解】(1)选 A.法一：设 C(x，y)，则AC(x，y1)(4，3)，所以x4y2，从而BC(4，2)(3,2)(7，4)故选 A.法二：AB(3,2)(0,1)(3,1)，BCACAB(4，3)(3,1)(7，4)故选 A.(2)ab(1,2)(3，5)(2，3)，ab(1,2)(3，5)(4,7)，3a3(1,2)(3,6)，2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(7，11)方法归纳 平面向量坐标(
7、线性)运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行跟踪训练 2(1)已知 A、B、C 的坐标分别为(2，4)、(0,6)、(8,10)，则AB2BC_，BC12AC_.(2)已知向量 a(1,2)，b(2,3)，c(4,1)，若用 a 和 b 表示 c，则 c_.(18,18)(3，3)2ab解析：(1)A(2，4)，B(0,6)，C(8,10)，AB(2,10)，BC(8,4)，AC(10,14)，AB2BC(18,18)，BC12
8、AC(3，3)(2)设 cxayb，则(x,2x)(2y,3y)(x2y,2x3y)(4,1)故x2y42x3y1，解得x2y1.所以 c2ab.类型三平行向量与共线向量例 3(1)已知向量 a(1，2)，b(3,4)若(3ab)(akb)，则 k_.(2)已知 A(1，1)，B(1,3)，C(2,5)，那么AB与AC是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【思路点拨】两平面向量共线的条件有以下两种形式：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(a0)的条件是 x1y2x2y10；若 ab(a0)，则 ba(为实数)【解】(1)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因为(3a
9、b)(akb)，所以 0(1030k)0，所以 k13.(2)因为AB(1(1)，3(1)(2,4)，AC(2(1)，5(1)(3,6)，因为 26340，所以ABAC，所以AB与AC共线 又AB23AC，所以AB与AC的方向相同方法归纳 向量共线的判定方法跟踪训练 3(1)已知向量 a(1,2)，b(x,1)，cab，dab，若 cd，则实数 x_.(2)已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，3)判断AB与CD 是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？12解析：(1)因为向量 a(1,2)，b(x,1)，所以 cab(1x,3)，dab(1x,1)因为 cd，所以 1x
10、3(1x)0.解得 x12.(2)AB(0,4)(2,1)(2,3)，CD(5，3)(1,3)(4，6)方法一(2)(6)340，且(2)40，AB与CD 共线且方向相反 方法二 CD 2AB，AB与CD 共线且方向相反|素养提升|1向量坐标(1)平面向量的坐标只有当起点在原点时，向量的坐标才与向量终点的坐标相同(2)给定一个向量，它的坐标是唯一的，对应一对实数，由于向量可以平移，故以这对实数为坐标的向量有无穷多个2平面向量坐标运算的注意点(1)要弄清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关(2)进行向量的坐标运算时，向量的始点、终点的顺序不能颠倒3向量
11、共线的坐标表示的应用两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据|巩固提升|1已知向量 a，b 满足 ab(1,3)，ab(3，3)，则 a，b的坐标分别为()A(4,0)，(2,6)B(2,6)，(4,0)C(2,0)，(1,3)D(1,3)，(2,0)解析：由题意知，ab1，3ab3，3，解得a2，0b1，3.答案：C2若 A(2，1)，B(4,2)，C(1,5)，则AB2BC等于()A5 B(1,5)C(6,1)D(4,9)解析：AB(2,3)，BC(3,3)，AB2BC(2,3)2(3,3)(4,9)答案：D3已知向量 a(3，1)，b(0，1)，c(k，3)，若 a2b与 c 共线，则 k_.解析：a2b(3，3)，根据 a2b 与 c 共线，得 3k 3 3，解得 k1.答案：1
