1、第二节参数方程三年21考高考指数:1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.1.直线、圆和椭圆的参数方程是高考考查的重点；常考查利用参数方程解决最大值、最小值问题.2.高考多以填空题、解答题的形式考查.1.参数方程参数方程的概念一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x,y)都是某个变数t的函数,并且对于t取的每一个允许值，由这个方程组所确定的点P(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x,y之间关系的变数t叫作_，简称_.参变数参数相对于参数方程，我们把直接用坐标(x,y)表示的曲线方程f(x，y)0叫作曲线
2、的普通方程.【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)方程x2+y2=a2(a0);方程(0)是参数方程.()(2)参数方程与含参方程一样.()【解析】方程x2+y2=a2(a0)表示圆心在原点的圆系，方程(0)表示共渐近线的双曲线系.曲线的参数方程(t为参数，tR)表示一条确定的曲线；含有参数的方程表示具有某一共同属性的曲线系，两者是有区别的.所以(1)(2)均错.答案：(1)(2)2.直线、圆锥曲线的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线圆(x-a)2+(y-b)2=r2y-y0=tan(x-x0)(，点斜式)（t为参数）（为参数）轨迹普通方程参数方程椭圆双曲
3、线（为参数）（为参数）(ab0)(a0，b0)轨迹普通方程参数方程（t为参数，p0）抛物线y22px(p0)【即时应用】判断下列命题是否正确.(请在括号中填写“”或“”)(1)若经过点P0(x0，y0)，倾斜角是的直线l的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为tan.()(2)若圆的参数方程为(为参数),则圆心为(2,-1),半径为3.()【解析】(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角是的直线l的参数方程为(t为参数，tR).当倾斜角时，直线的斜率当倾斜角时，直线的参数方程为直线的斜率不存在,所以(1)不正确.(2)将圆的参数方程(为参数)化为普通方程为(x-2)2+(y+1)2=9,所以圆心
4、为(2,-1),半径为3.所以(2)正确.答案：(1)(2)3参数方程与普通方程普通方程与参数方程普通方程用_直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于_间接地反映点的坐标之间的关系.代数式参数【即时应用】(1)参数方程(为参数,且满足0)的普通方程为_.(2)参数方程(为参数,且满足)的普通方程为_.【解析】(1)参数方程(为参数,且满足0)的普通方程为x2+y2=1(0y1),表示上半圆.(2)参数方程(为参数,且满足)的普通方程为x2+y2=1(0 x1),表示右半圆.答案：(1)x2+y2=1(0y1)(2)x2+y2=1(0 x1)参数方程化为普通方程【方法点睛】参数方程与普通方程
5、互化的方法及注意事项(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和(差)消参法；乘法消参法等(2)把曲线C的普通方程f(x，y)0化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性【例1】已知参数方程：(1)若t为常数，为参数，判断方程表示什么曲线？(2)若为常数，t为参数，方程表示什么曲线？【解题指南】将参数方程消去参数化为普通方程F(x,y)=0，再判断曲线形状.【规范解答】(1)当t1时，由得由得它表示中心在原点，长轴长为短轴长为焦点在x轴上的椭圆；当t=1时，y=0，x=2sin,x2,2,它表示在x
6、轴上2,2的线段.(2)当 (kZ)时，由得由得平方相减得即它表示中心在原点，实轴长为4|sin|，虚轴长为4|cos|，焦点在x轴上的双曲线；当=k(kZ)时，x=0，它表示y轴；当=k+(kZ)时，y=0，由于当t0时，当t0时，于是|x|2.方程y=0(|x|2)表示x轴上以(2，0)和(2，0)为端点的向左和向右的两条射线【反思感悟】化参数方程为普通方程，关键是消去参数，建立关于x,y的二元方程F(x，y)0，常用的消参数公式有：(1)(2)sin2+cos2=1；(3)(4)圆的参数方程【方法点睛】将圆的普通方程化为参数方程(1)圆x2+y2=r2的参数方程为(2)圆(x-a)2+(
7、y-b)2=r2的参数方程为【提醒】(1)参数的几何意义是OM与x轴正方向的夹角(M为圆上的点);(2)随着选取的参数不同,参数方程形式也有不同,但表示的曲线是相同的;(3)在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围.【例2】已知x、y满足x2+(y-1)2=1,求：(1)3x+4y的最大值和最小值；(2)(x-3)2+(y+3)2的最大值和最小值;(3)的取值范围.【解题指南】设圆的参数方程，将问题转化为三角函数的问题解决.【规范解答】由圆的普通方程x2+(y-1)2=1得圆的参数方程为(1)3x+4y=3cos+4sin+4=4+5sin(+),其中tan=且的终边过点(4，3).
8、-55sin(+)5,-14+5sin(+)9.3x+4y的最大值为9，最小值为-1.(2)(x-3)2+(y+3)2=(cos-3)2+(sin+4)2=26+8sin-6cos=26+10sin(+).其中tan=且的终边过点(4,-3).-1010sin(+)10，1626+10sin(+)36,(x-3)2+(y+3)2的最大值为36，最小值为16.(3)方法一:由于sin-kcos=k-3,即其中tan=-k,且的终边过点(1，-k).sin(+)=依题意，得所以的取值范围是方法二:由于所以问题可以看成圆x2+(y-1)2=1上的动点P(x,y)与定点A(-1，-2)的连线的斜率.斜
9、率存在时，设直线y+2=k(x+1)与圆相切，则圆心(0,1)到直线kx-y+k-2=0的距离为1，即过A(-1，-2)的直线的斜率不存在时，即x=-1,与圆相切，结合图形，得的取值范围是【反思感悟】1.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设出圆的参数方程，转化为求三角函数的最大值和最小值问题来解决.2.注意运用三角恒等式辅助角公式求最值：其中tan=(a0),且角的终边过点(a,b).极坐标方程和参数方程的综合问题【方法点睛】1.直线的参数方程中参数的几何意义设e表示直线向上的方向的单位向量，如图，=te，当参数t0时,与e方向相同；当参数t0时,与e方向相反.因此,总有=|t|，所以参数
10、t为点M0(x0,y0)到直线上点M(x,y)的有向线段的数量(即方向+长度)，这就是参数t的几何意义2.直线参数方程的常用公式根据直线的参数方程中t的几何意义，有以下结论:(1)设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和tB，则(2)线段AB的中点所对应的参数值等于【例3】已知直线l的参数方程为曲线C的极坐标方程是以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，点M(-1,0)，直线l与曲线C交于A、B两点(1)求直线l的极坐标方程与曲线C的直角坐标方程；(2)线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求|MA|MB|的值【解题指南】(1)将直线的参数方程化为普通方程，再化为极坐
11、标方程，将曲线的极坐标方程利用公式化为直角坐标方程；(2)将直线的参数方程代入曲线的普通方程，利用直线的参数方程的几何意义以及一元二次方程的根与系数的关系计算.【规范解答】(1)直线l：(t为参数)的直角坐标方程为x-y+1=0，所以极坐标方程为：曲线C：即(cos)2=sin，所以曲线C的直角坐标方程为y=x2.(2)由于直线l与曲线C交于A、B两点，将代入y=x2，得设A、B两点对应的参数分别为t1，t2，由一元二次方程的根与系数的关系，得t1t2=2，|MA|MB|=|t1t2|=2.【反思感悟】利用直线的参数方程研究直线与圆锥曲线的位置关系以及弦长计算，可以使问题简便,方法是：把l：(t为参数)代入圆锥曲线C：F(x，y)=0,消去x,y得到关于t的一元二次方程at2+bt+c=0(a0)，其中=b2-4ac.当0时，l与C有两个公共点；此时方程at2+bt+c=0有两个不同的实根t1、t2，把参数t1、t2代入l的参数方程，即可求得l与C的两个交点M1、M2的坐标.
