1、第一节平面、空间两条直线的位置关系内容要求ABC平面及基本性质三年2考高考指数:1.平面的基本性质公理1公理2图形文字语言符号语言ABlP如果一条直线上的_在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_.两点经过这个公共点的一条直线图形文字语言符号语言ABC Al公理3经过_的三点，有且只有一个平面.A，B，C三点不共线有且只有一个平面,使A,B,C推论1经过一条直线和_的一点，有且只有一个平面.过直线l和点A有且只有一个平面.不在同一条直线上这条直线外图形文字语言符号语言bb推论2经过两条_直线，有且只有一个平面.a
2、b=P过直线a和直线b有且只有一个平面 推论3经过两条_直线，有且只有一个平面.ab过直线a和直线b有且只有一个平面 相交平行【即时应用】(1)思考：三个公理及其推论的作用分别是什么？提示：公理1的作用：()判断直线在平面内；()由直线在平面内判断直线上的点在平面内公理2的作用：()判定两平面相交；()作两平面的交线；()证明点共线公理3及三个推论的作用：确定平面的依据，它提供了把空间问题转化为平面问题的条件(2)判断下列说法的正误(请在括号中填写或)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a，就说平面,相交，并记作=a ()两个平面,有一个公共点A，就说,相交于过A点的任意一条直线()两个平面,
3、有一个公共点A，就说,相交于A点，并记作=A ()两个平面ABC与DBC相交于线段BC ()【解析】根据平面的性质可知对；对于，其错误在于“任意”二字上；对于，错误在于、相交于A点(=A)上；对于，应为平面ABC和平面DBC相交于直线BC.答案：(3)平面,相交，在,内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定_个平面【解析】如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三点可确定一个平面，所以可确定四个答案：1或42.空间两条直线的位置关系(1)空间两条直线的位置关系图形语言符号语言公共点平行直线相交直线ab个ab=A 个异面直线a,b是异面直线个010abAabba(2
4、)平行直线的公理及定理公理4:平行于同一条直线的两条直线_.定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别_并且方向_,那么这两个角相等.(3)异面直线的判定过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内_的直线是异面直线.互相平行平行相同不经过该点【即时应用】(1)思考：不相交的两条直线是异面直线吗？不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：均不一定对于第一个问题，因为两条直线没有公共点，这两直线可能平行也可能异面；对于第二个问题，因为不同在任何一个平面内的直线为异面直线，故该结论不一定正确(2)a,b,c是空间中的三条直线，判断下面几种说法是否正确.(请在括号内打“”或“”)若ab,bc,则ac;
5、()若ab,bc,则ac;()若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；()若a平面,b平面，则a,b一定是异面直线；()若a,b与c成等角，则ab.()【解析】由公理4知正确.当a、b、c同在一个平面内时，由ab,bc可推出ac；当a、b、c不同在一个平面内时，a与c的关系还可能相交或异面，故错误.若a与b相交，b与c相交，则a与c的关系有三种，即相交、平行、异面，故错误.错误，例如：=l,a,b,al,bl,则ab.若a,b与c成等角，则a与b除平行外，还可以相交或异面,故错误.答案：3.异面直线所成的角(1)如果a,b是两条异面直线,那么经过空间任意一点O,作直线aa,bb,我们把直线a和
6、b所成的_叫做异面直线a,b所成的角.(2)异面直线垂直的定义若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称这两条异面直线a，b_，记作_.锐角(或直角)互相垂直ab【即时应用】(1)思考：如何理解点O在任意位置，不影响异面直线所成角的大小？提示:根据异面直线所成角的定义及等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等，故定义中的点O的位置不影响异面直线所成角的大小.(2)如图，若正棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的余弦值为_.【解析】连结CD1，ADBC,CBD1(或其补角)为异面直线BD1与AD所成的角，BC=2，C
7、D1=,BD1=,又BCCD1,在RtBCD1中，cosCBD1=.答案：平面的基本性质及其应用【方法点睛】平面基本性质的常见应用及解法(1)判断所给元素(点或直线)能否确定惟一平面，关键是分析所给元素是否具有确定惟一平面的条件，此时需要利用公理3及公理的推论(2)证明点或线共面问题，一般有两种途径：首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合(3)证明点共线问题，一般有两种途径：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；直接证明这些点都在同一条特定直线上(4)证明线共点问题，常用的方法是：先
8、证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点【例1】(1)下列四个命题：不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；依次首尾相接的四条线段必共面.其中正确命题的序号是_(把所有正确命题的序号都填上).(2)如图，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，BAD=FAB=90，BCAD且BC=AD，BEAF且BE=AF，G，H分别为FA，FD的中点.证明：四边形BCHG是平行四边形；C，D，F，E四点是否共面？为什么？【解题指南】(1)根据确定平面的公理及推论进行判断.(2)根据平行
9、四边形的判定方法证明；证明EFCH，由此构成平面，再证点D在该平面上【规范解答】(1)假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以正确.从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；不正确；不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形.答案：(2)由题设知，FG=GA，FH=HD，所以GHAD且GH=AD,又BCAD且BC=AD，故GHBC且GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形C，D，F，E四点共面理由如下：由BEAF且BE=AF，G是FA的中点知，BEGF且BE=GF，所以
10、四边形EFGB是平行四边形，所以EFBG.由知BGCH，所以EFCH，故EC，FH共面.又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面.【反思感悟】点共线和线共点问题，都可转化为点在直线上的问题来处理，实质上是利用公理2，证明点在两平面的交线上，解题时要注意这种转化思想的运用空间中两直线的位置关系【方法点睛】判定直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定，对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用中位线的性质及线面平行的性质；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决【例2】(1)(2012南京模拟)给出下列命题，其中正确的命题是_(填序号).若平
11、面上的直线m与平面上的直线n为异面直线，直线l是与的交线，那么l至多与m,n中的一条平行；若直线m与n异面，直线n与l异面，则直线m与l异面；一定存在平面，同时与异面直线m,n都平行.(2)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问：AM和CN是否是异面直线？说明理由.【解题指南】(1)根据异面直线的定义判断.(2)根据题意可证明A、M、N、C四点共面.【规范解答】(1)正确.因为l和m都在平面上，所以l与m相交或平行，同理l和n相交或平行.若lm且ln，则mn，与已知矛盾，故l至多与m,n中的一条平行.错误.如图所示，正方体中，m与n异面，n与l异面
12、但ml.正确.平移m与直线n相交，可确定一个平面，与平面平行且不过直线m、n的平面与m、n都平行.答案：(2)不是异面直线.理由：连结MN，AC，A1C1，M、N分别是A1B1、B1C1的中点，MNA1C1，又A1A D1D，而D1D C1C，A1A C1C，A1ACC1为平行四边形，A1C1AC，MNAC，A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.【反思感悟】证明两直线为异面直线时可利用定理“过平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不过该点的直线为异面直线”；也可用反证法，即证明这两直线共面时不成立求异面直线所成的角【方法点睛】1.求异面直线所成的角的常用方法求异面直线所成的角的
13、常用方法是平移法，一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移2.求异面直线所成角的步骤(1)作：通过作平行线，得到相交直线；(2)证：证明相交直线所成的角为异面直线所成的角；(3)算：通过解三角形，求出该角【提醒】异面直线所成角的范围为(0，解题时要特别注意.【例3】(2012南京模拟)在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，AC=BC=AA1=2，D为侧棱AA1的中点，求异面直线DC1，B1C所成角的余弦值.【解题指南】根据直线DC1，B1C的位置关系解答本题可用“补形平移”的方法，将三棱柱补形为正方体后，在正方体内平移直线
14、作出异面直线所成的角.【规范解答】因为直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是直角三角形，且AC=BC=AA1，所以可将此三棱柱“补形”为正方体ACBEA1C1B1E1(如图).取EE1的中点D1，连结B1D1，CD1，DD1，D是AA1的中点，DD1A1E1C1B1，且DD1=A1E1=C1B1，四边形DC1B1D1是平行四边形，B1D1C1D.CB1D1(或其补角)是异面直线DC1与B1C所成的角，B1C=,B1D1=,CD1=3,在CB1D1中，由余弦定理得cosCB1D1【反思感悟】1.求异面直线所成的角时，常采用平行平移的方法，转化为三角形的内角来求解.解题时常常借助三角形的中位线
15、来完成角的转化.2.在求异面直线所成的角时常犯的错误是忽视角的范围，如在解三角形的过程中求得三角形内角的余弦值为负时，必须转化为(0，内的角【满分指导】异面直线所成角主观题的规范解答【典例】(14分)(2011上海高考改编)已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求(1)异面直线BD与AB1所成角的余弦值；(2)四面体AB1D1C的体积.【解题指南】(1)利用平行平移法得到异面直线所成的角，转化为解三角形的问题；(2)利用割补法求体积即可【规范解答】(1)连结BD，AB1，B1D1，AD1.1分BDB1D1,异面直线BD与AB1所成角为AB1D1(或其补角)，记AB
16、1D1=,3分由已知条件得AB1=AD1=，B1D1=，在AB1D1中，由余弦定理得cos=6分异面直线BD与AB1所成角的余弦值为.8分(2)连结AC，CB1，CD1，则所求四面体的体积.14分【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示在解答本题时有两点容易造成失分：(1)在用平行平移将异面直线所成的角转化为三角形的内角时，忽视对三角形的内角“即为两异面直线所成的角(或其补角)”的叙述；(2)在求几何体的体积时，不知将其转化为四棱柱的体积与四个三棱锥体积的差备考建议解决异面直线所成角的问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：(1)
17、辅助线的作法不灵活，不能利用已知条件中的平行或中点；(2)对立体几何计算题的解答规范不熟悉，书写不条理；(3)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理建议在备考中要强化对立体几何中解答题的训练，这是高考中的考查重点之一.同时要注重解答题的规范表达和准确计算.1.(2012苏州模拟)已知a,b为异面直线，直线ca，则直线c与b的位置关系是_.【解析】若cb,则由ca知ab,这与a,b为异面直线矛盾.所以c与b相交或异面.答案：相交或异面2.(2011大纲版全国卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为_.【解析】取A1B1的中点M，连结EM,AM,AE，则AEM(或其补角)就是异面直线AE与BC所成的角.设正方体棱长为2，则在AEM中，cosAEM=答案：3.(2012连云港模拟)已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC和CD的中点，求A1D与EF所成角的大小.ABECDFA1B1C1D1【解析】连结BD、A1B，E,F分别为BC和CD的中点，EFBD.A1DB(或其补角)为异面直线A1D与EF所成的角，在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1D=A1B=BD，A1BD是等边三角形，A1DB=60，A1D与EF所成角的大小为60.
