1、第一节函数及其表示三年9考高考指数:1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如列表法、图像法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用.1.函数的概念、定义域及表示法(特别是分段函数)是近几年高考命题的热点.2.常和对数、指数、函数的性质等相结合考查，有时也会命制新定义问题.3.题型主要以选择、填空题为主，属中低档题.1.函数的概念条件给定两个非空数集A和B；按照某个对应关系f；集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应.结论对应关系f叫作定义在集合A上的函数记法f：AB,或y=f(x),xA自变量与函数
2、值自变量是x.当x=a时,则用f(a)表示函数y=f(x)的函数值.【即时应用】(1)思考：函数定义中对集合A中的元素有什么要求？提示：全部参与对应;在集合B中对应元素存在且唯一确定.(2)判断下列对应关系f是否是从A到B的函数.(请在括号中填“是”或“否”)A=R，B=x|x0,f:x|x|;()A=R，B=R，f:xx2;()A=Z,B=R，f:x ()A=Z，B=Z，f:xx2-3.()【解析】否，因为A中的元素0在B中没有对应元素;否，因为A中的元素为负整数时在B中没有对应元素;是，满足函数的定义，是从A到B的函数.答案：否 是 否 是2.函数的构成要素函数由_、_、_三个要素构成，对
3、函数y=f(x),xA，其中，(1)定义域:自变量x的_.(2)值域：函数值的集合_.定义域值域对应关系集合Af(x)|xA【即时应用】(1)判断下列各组函数中，是否是同一函数.(请在括号中填“是”或“否”)f(x)=x与g(x)=()2 ()f(x)=|x|与g(x)=()f(x)=x|x|与g(x)=()f(x)=与g(t)=t+1(t1)()(2)函数y=x2-2x的定义域为0,1,2,3，那么其值域为_.(3)设集合A=x|y=,集合B=y|y=x2,xR,则AB=_.【解析】(1)否，函数f(x)与g(x)的定义域不同；否，函数f(x)与g(x)的对应关系不同；否，函数f(x)与g(
4、x)的定义域不同；是，函数f(x)=x+1(x1)与g(t)=t+1(t1)是同一函数.(2)当x取0,1,2,3时，对应的y的值依次为0,-1,0,3,所以其值域为-1,0,3.(3)已知A=x|x-20=x|x2,B=y|y0,AB=x|x2.答案：(1)否 否 否 是(2)-1,0,3 (3)x|x23.函数的表示方法表示函数常用的方法有：_、_和_.列表法图像法解析法【即时应用】(1)下列四个图像是函数f(x)=x+的图像的是_.(2)若f(+1)=x+则f(x)的解析式为_.【解析】(1)f(x)=(2)方法一：令t=+1，则x=(t-1)2,t1，代入原式有f(t)=(t-1)2+
5、2(t-1)=t2-1,f(x)=x2-1(x1).方法二：x+=(+1)2-1,f(+1)=(+1)2-1.又+11,f(x)=x2-1(x1).答案：(1)(2)f(x)=x2-1(x1)4.分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.对应关系【即时应用】(1)已知函数f(x)=(2)设若f(x)=3，则x=_.【解析】(1)(2)当x-1时，-x+2=3，得x=-1，符合要求；当-1x2时，x2=3，得x=只有符合要求；当x2时，2x=3,得x=不符合要求.综上可知，x=-1或答案：(1)(2)-1或5.映射的概念条件两个非空集合A与
6、B间存在着对应关系f；A中的_元素x，B中总有_的一个元素y与它对应.结论_称为从A到B的映射一一映射f：AB记法像与原像A中每一个元素在B中都有_的像与之对应；A中的不同元素的像_；B中的每一个元素都有_._称为原像，_称为x的像，记作f：_每一个唯一对应关系fA中的元素xB中的对应元素y唯一也不同原像xy【即时应用】(1)思考：设f：AB是一个映射，则A中每一个元素都有像，而B中的每一个元素都有原像吗？提示：不一定.由映射的定义可知B中的每一个元素在A中不一定有原像.(2)设A=0,1,2,4，B=0,1,2,6,8，判断下列对应关系是否是A到B的映射.(请在括号中填“是”或“否”)f:x
7、x3-1 ()f:x(x-1)2 ()f:x2x-1 ()f:x2x ()【解析】不是，当A中的x=0，2，4时在B中没有对应元素；不是，当A中的x=4时在B中没有对应元素；是，满足映射的定义，是从A到B的映射；不是，当A中的x=2时在B中没有对应元素.答案：否 否 是 否求简单函数的定义域、值域【方法点睛】1.求简单函数的定义域的方法(1)若已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解.(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义的不等式(组)求解.(3)求抽象函数的定义域：若已知函数f(x)的定义域为a,b，其复合函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出.若已知函数f(g
8、(x)的定义域为a,b，则f(x)的定义域为g(x)在xa,b时的值域.2.求简单函数值域的方法(1)观察法；(2)图像观察法；(3)单调性法；(4)分离常数法；(5)均值不等式法；(6)换元法.【例1】(1)(2012西安模拟)函数f(x)=的定义域为_.(2)(2012郑州模拟)已知函数f(2x)的定义域是-1,1，求f(x)的定义域；(3)求下列函数的值域.y=x2+2x,x0,3;y=log3x+logx3-1;【解题指南】(1)根据解析式求定义域，只需构建使解析式有意义的不等式组求解即可；(2)求抽象函数的定义域，要明确2x与f(x)中x的含义;(3)根据解析式的特点，分别选用图像观
9、察法；均值不等式法；单调性法求值域.【规范解答】(1)要使该函数有意义，需要解得:x-2或-2x-1或1x2.所以所求函数的定义域为(-,-2)(-2,-11,2)(2,+).答案：(-,-2)(-2,-11,2)(2,+)(2)f(2x)的定义域为-1，1，即-1x1,故f(x)的定义域为2.(3)y=(x+1)2-1，在0,3上的图像如图所示,由图像知：0y32+23=15,所以值域为0,15.y=log3x+-1，定义域为(0,1)(1,+)，当0 x1时，y当x1时，y综上可知，值域为(-,-31,+).x2-1-1，又y=2x在R上为增函数,故值域为+).【反思感悟】1.求函数的定义
10、域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式(组)，从而求解.2.f(g(x)的定义域为a,b，指的是x的取值范围是a,b，而不是g(x)的取值范围是a,b.3.求函数的值域时，若能画出图像，则用图像观察法求解；若能判断单调性则用单调性法求解；若能满足均值不等式的条件，则用均值不等式法求解.分段函数及其应用【方法点睛】分段函数求值、解不等式及求解析式的方法处理分段函数的求值、解不等式及求解析式等相关问题时，首先要确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应关系代入计算求解，特别要注意分段区间端点的取舍，当自变量的值不确定时，要分类讨论.【提醒】分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
11、【例2】(1)(2012南昌模拟)已知函数则f(x)-f(-x)-1的解集为()(A)(-,-1)(1,+)(B)-1,)(0,1(C)(-,0)(1,+)(D)-1,(0,1)(2)已知函数y=f(x)的图像由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.【解题指南】(1)求解关于分段函数的不等式，一般的思路是根据每一段的解析式分类求解，再求其并集.(2)已知图像形状，求解析式，可用待定系数法.【规范解答】(1)选B.当-1x0时，0-x1，此时f(x)=-x-1，f(-x)=-(-x)+1=x+1,f(x)-f(-x)-1化为-2x-2-1，得x则-1x当0 x1时，-1-x0，此时
12、，f(x)=-x+1，f(-x)=-(-x)-1=x-1,f(x)-f(-x)-1化为-x+1-(x-1)-1,解得x则0 x1.故所求不等式的解集为-1,)(0,1.(2)根据图像，设左侧的射线对应的解析式为y=kx+b(x1).点(1,1),(0,2)在射线上,左侧射线对应函数的解析式为y=-x+2(x1);同理,x3时，函数的解析式为y=x-2(x3).再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1x3,a0)，点(1,1)在抛物线上，a+2=1,a=-1,1x3时，函数的解析式为y=-x2+4x-2(1x3),综上，函数的解析式为【反思感悟】当分段函数的自变量在不同的取值范
13、围内取值时，其对应关系也不同；其定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，解分段函数问题时要分段解决.求函数值【方法点睛】求函数值的类型及解法(1)f(g(x)型：遵循先内后外的原则；(2)分段函数型：应根据自变量值所在区间对应求值，不确定时要分类讨论；(3)含有函数性质型：对具有奇偶性、周期性、对称性的函数求值，要用好其函数性质，将待求值调节到已知区间上求解；(4)抽象函数型：要用好抽象的函数关系，适当赋值，从而求得待求函数值.【例3】(2012滁州模拟)已知定义域为R的函数f(x)对任意的x,yR,f(x)0,且f(x+y)=f(x)f(y)，则f(0)的值为_.【解题指南】根据f(
14、x+y)=f(x)f(y)给x,y赋适当的值求解.【规范解答】因为f(x)对任意的x,yR,有f(x+y)=f(x)f(y),则令x=y=0，得f(0)=f2(0)，又f(x)0，f(0)=1.答案：1【反思感悟】对于这类给出函数所满足的抽象的性质，但不知道函数解析式的求值问题，求解时应根据该抽象的函数关系的结构特征，结合待求值的特点，给变量赋予特殊值，从而使问题具体化、简单化，达到求出函数值的目的.【创新探究】与函数有关的新定义问题【典例】(2011广东高考)设f(x)，g(x)，h(x)是R上的任意实值函数，如下定义两个函数(f g)(x)和(fg)(x):对任意xR，(f g)(x)=f
15、(g(x)；(fg)(x)=f(x)g(x).则下列等式恒成立的是()(A)(f g)h)(x)=(fh)(gh)(x)(B)(fg)h)(x)=(f h)(g h)(x)(C)(f g)h)(x)=(f h)(g h)(x)(D)(fg)h)(x)=(fh)(gh)(x)【解题指南】根据新的定义逐个选项验证其真伪，从而作出判断.【规范解答】选B.根据新函数的定义分析如下表，选项分析结论A(f g)h)(x)=(f g)(x)h(x)=f(g(x)h(x);(fh)(gh)(x)=(fh)(gh)(x)=(fh)(g(x)h(x)=f(g(x)h(x)h(g(x)h(x);等式不恒成立B(fg
16、)h)(x)=(fg)(h(x)=f(h(x)g(h(x);(f h)(g h)(x)=(f h)(x)(g h)(x)=f(h(x)g(h(x);等式恒成立选项分析结论C(f g)h)(x)=(f g)(h(x)=f(g(h(x);(f h)(g h)(x)=(f h)(g h)(x)=(f h)(g(h(x)=f(h(g(h(x);等式不恒成立D(fg)h)(x)=(fg)(x)h(x)=f(x)g(x)h(x);(fh)(gh)(x)=(fh)(x)(gh)(x)=f(x)h(x)g(x)h(x).等式不恒成立【阅卷人点拨】通过对本题的深入研究，可以得到以下创新点拨和备考建议:创新点拨本
17、题有以下创新点：(1)本题为新定义问题，命题背景、题目设置新颖.(2)考查内容创新：本题是将新定义的两个函数用于辨别与之有关的等式是否恒成立问题，主要考查对新定义抽象函数的理解，需要考生有较强的理解能力、推理论证能力和抽象概括能力.备考建议对于这类与函数有关的新定义、新运算试题，我们在备考2013年高考中，要高度关注以下几点：(1)熟练掌握函数有关的概念、运算;(2)强化对该类试题的训练，能正确理解所给的新定义、新运算，会类比函数有关的定义、运算求解；(3)平时的学习中要注重训练对所学数学知识的应用能力及转化与化归能力的提高.1.(2011江西高考)若f(x)=则f(x)的定义域为()(A)(-，0)(B)(-，0(C)(-，+)(D)(0，+)【解析】选A.由题意得:得-x2,亦即x2时，h(x)=f(x)=-2x+3,当x D1且xD2，即x1且x2,亦即x4的正整数都一一对应，只要对n4的进行定义，又f(n)=2或f(n)=3，f(1)=2或3,f(2)=2或3，f(3)=2或3，f(4)=2或3，所以f的个数为：2222=16.答案：(1)a(a为正整数)(2)16
