1、43.2对数的运算内容标准学科素养1.理解对数的运算性质.数学抽象、逻辑推理数学运算2.知道换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数3.会用对数运算性质进行对数运算.授课提示：对应学生用书第59页教材提炼知识点一对数的运算性质lg 2lg 5如何计算？lg能直接计算吗？ 知识梳理如果a0，且a1，M 0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN.(2)logalogaMlogaN.(3)logaMnnlogaM(nR)知识点二对数换底公式lg N与ln N之间有联系吗？ 知识梳理logab(a0，且a1，b0，c0，且c1)特别地：logablogba1(a0，且a1，b0，且
2、b1)即logab.自主检测1lg 83lg 5的值为()A3B1C1D3答案：D2log23log32的值为()A. B1 C. D2答案：B3ln e2_.答案：24log312log34_.答案：1授课提示：对应学生用书第59页探究一对数运算性质的应用例1求下列各式的值：(1)lg 52lg 2lg 50(lg 2)2；(2)log2log212log242；(3)；(4)lg( )解析(1)原式2lg 5lg 2lg(510)(lg 2)22lg 5lg 2lg 5lg 2(lg 2)22lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 22lg 5lg 2lg 22(lg 5lg 2)2.(
3、2)原式log2.(3)分子lg 5(33lg 2)3(lg 2)23lg 53lg 2(lg 5lg 2)3lg 53lg 23(lg 5lg 2)3；分母(lg 62)lglg 62lg4.原式.(4)原式lg()2lg(332)lg 10.1对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数2注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的3对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg 5lg 21”解题计算：(1)2(lg )2lg lg 5 ；(2)log5352l
4、oglog5log514.解析：(1)原式lg (2lg lg 5) lg (lg 2lg 5)(1lg )lg 1lg 1.(2)原式log52log2log5531312.探究二用换底公式求对数值例2教材P126练习3变式探究(1)计算(log43log83)(log32log92)log.解析(log43log83)(log32log92)log(log23log23)log232log23log32log23log32.(2)计算(log43log83)(log32log92)解析原式()()()().(3)计算(log2125log425log85)(log52log254log12
5、58)解析(1)法一：原式(log52)(31)log25(3log52)13log2513.法二：原式13.换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算要注意换底公式的正用、逆用及变形应用探究三含附加条件的对数式的求值例3(1)已知log189a,18b5，求log3645.解析因为log189a,18b5，所以log185b，于是法一：log3645.法二：因为log189a，所以lg 9alg 18，同理得lg 5blg 18，所以log3645.(2)设3a5b，求的值解析3a5b，两边取常用对数，得alg 3blg 5lg 1
6、5，a，b，2.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式左右两边同时取常用对数1将本例(1)改为：已知log23a，log37b，试用a，b表示log1456.解析：由已知log32，log37b，log1456.2将本例(2)变为设2x5ym，且2，则m()AB.C10 D100解析：2x5ym，两边取常用对数得xlog2m，ylog5m，2，lg m，m10.答案：B授课提示：对应学生用书第60页一、对数运算性质及换底公式的拓展变形1换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不
7、同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数2几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a0，且a1，b0，且b1，m，nN*)(1)loganbnlogab；(2)logambnlogab；(3)logab；(4)logablogbclogac.典例已知f(3x)4xlog234，求f(2)f(4)f(28)解析f(3x)4xlog234，即f(3x)4xlog23234，即f(3x)4log23x234，f(x)4log2x234.f(2)f(4)f(28)(4log22234)(4log24234)(4log228234)82344(log22log24log228)1 8724(log222log228log22)1 8721442 016.二、忽略对数的限制条件导致错误典例若lg(xy)lg(x2y)lg 2lg xlg y，求的值解析因为lg(xy)lg(x2y)lg(xy)(x2y)lg(2xy)，所以(xy)(x2y)2xy，即x2xy2y20，所以(x2y)(xy)0，所以2或1.因为x0，y0，所以0，故舍去1，所以2.纠错心得对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽略xy0，x2y0，x0，y0，而出现增解1.