1、第三节利用空间向量求空间角高考指数:内容要求ABC空间向量的应用1.两条异面直线所成角的求法设分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角与的夹角范围(0，)求法求法cos=【即时应用】(1)思考：异面直线a,b的方向向量的夹角是异面直线所成的角吗？提示：不一定.由于向量之间的夹角的范围是0，而异面直线所成角的范围是两异面直线的方向向量的夹角或其补角是两异面直线所成的角.(2)长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为【解析】建立坐标系如图，则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,
2、2)，(1,0,2)，(1,2,1)，答案：2.直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为,与的夹角为,则sin=|cos|【即时应用】(1)思考：为什么用向量法求直线和平面所成的角时，其运算必须加绝对值？提示：当直线与平面相交时，所成角的范围是直线的方向向量与平面的法向量的夹角与的差的绝对值即为直线与平面的夹角，所以求直线与平面的法向量所成角的三角函数值后，必须转化为绝对值后再计算.(2)已知向量分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若则l与所成角的大小为【解析】由于 =120，所以直线l与平面所成的角为30.答案：303.求二面角的大小(1)若AB、
3、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是的夹角或其补角(如图).(2)设分别是二面角l的两个面,的法向量，则就是二面角的平面角的大小(如图).向量与的夹角(或其补角)的大小【即时应用】(1)若一个二面角的两个法向量分别为=(0，0，3)，=(8,9,2),则这个锐二面角的余弦值为.(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD与平面B1BDD1所成的二面角大小为.【解析】(1)设二面角为，由题意可知cos=(2)如图所示，以D为原点建系，易知为平面B1BDD1的法向量，为平面ABCD的法向量.两平面所成的二面角为90答案：(1)(2)90利用空间向量求异面直
4、线所成的角【方法点睛】应用向量法求空间两异面直线所成的角主要依据为向量数量积的运算，这样处理的优点在于不必作出该角，而只需计算两直线方向向量所成的角，最后借助异面直线所成角的范围下结论便可.【例1】如图所示，在三棱柱OABO1A1B1中，平面OBB1O1平面OAB,O1OB=60,AOB=90,且OB=OO1=2,OA=，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.【解题指南】以O为原点建立空间直角坐标系求出的坐标，根据向量夹角公式求夹角.【规范解答】建立如图所示的坐标系，则O(0,0,0),1(0，1，)，(，0，0)，1(,1,),B(0,2,0),又异面直线A1B与AO1所成角的范围为(0,
5、.异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.【反思感悟】1.本题以面面垂直的性质为依据，结合空间直角坐标系的特点，以点O为原点建系，方便快捷.2.在用向量法求异面直线所成的角时注意分清角的范围.利用空间向量求线面角【方法点睛】利用向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.【例2】(2012徐州模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1,AA1=M是棱CC1的中点.(1)求证：A1BAM
6、;(2)求直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值.【解题指南】建立空间直角坐标系，计算出的坐标，然后求出平面AA1B1B的法向量利用向量夹角公式求解即可.【规范解答】(1)因为C1C平面ABC，BCAC，所以分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(0,1,0),所以所以=3+0-3=0,所以即A1BAM.(2)由(1)知设面AA1B1B的一个法向量为=(x0,y0,z0),则不妨取设直线AM与平面AA1B1B所成的角为,则所以直线AM与平面AA1B1B所成角的正弦值为【反思感悟】1.计算线面角的关键在于求平面的法向量和直线的方向向量.2.在求出法向量同方向
7、向量夹角的余弦值后务必注意审题：“看清待求结论是线面角的正弦值，还是余弦值”，以防出现失误.利用空间向量求二面角求二面角的常用方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【例3】(2011浙江高考)如图，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.(1)证明：APBC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面
8、角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由【解题指南】建立坐标系，(1)利用来证明；(2)假设存在满足条件的点，求出两个半平面的法向量，判断两法向量是否能垂直即可.若垂直，则假设成立；若不垂直，则假设不成立.【规范解答】(1)如图以O为原点，以射线OD，OP分别为y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则O(0,0,0)，A(0,-3,0),B(4,2,0)，C(-4,2,0),P(0,0,4).即APBC.(2)假设存在M，设其中0,1),则=(0,-3,-4)=(0,-3,-4)=(-4,-2,4)+(0,-3,-4)=(-4,-2-3,4-4)设平面BMC的法向量=(x1,y1,z1)，平面APC的法向量=(x2,y2,z2)综上所述，存在点M符合题意，AM=3【反思感悟】1.开放性问题是近几年高考中出现较多的一种题型，向量法是解此类问题的常用方法.2.对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.
