1、2016年北京市清大附中高三零模数学试卷（文科）（3月份）一.选择题（每题5分，共40分）1已知全集U=R，集合A=1，2，3，4，5，B=xR|x2，如图中阴影部分所表示的集合为（）A1B0，1C1，2D0，1，22已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）Acos=Bcos=Csin=1Dsin=14阅读程序框图，为使输出的数据为31，则处应填的数字为（）A4B5C6D75若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的
2、函数解析式为（）ABCD6某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（）A12万元B20万元C25万元D27万元7已知|=|=2， =2，则|t|（tR）的最小值为（）A1BCD28在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）AABBCCDD二、填
3、空题（共6小题，每小题5分，共30分）9某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见如表：相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644则调查小组的总人数为10双曲线y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为11在ABC中，a=7，b=8，A=，则边c=12一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是13已知数列an中，a1=，an+1=1（n2），则a16=14对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，
4、且A1A2A3A4A5=xN*|x100，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为三.解答题（共6小题，共80分）15函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象如图所示（）写出及图中x0的值；（）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在区间上的最大值和最小值16对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：分值0，10）10，20）20，30）30，40）场数10204030（）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（）在甲所进
5、行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分17在等差数列an中，其前n项和为Sn，满足S5S2=21，2a2a4=1（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=a，求数列bn的前n项和的表达式18如图，四边形ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF（1）求证：平面BAF平面CDE；（2）求证：平面EAC平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，PF1F2的面积最大值为2（
6、）求椭圆的标准方程；（）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，求证：1+2为定值20已知函数f（x）=（）求函数f（x）的零点及单调区间；（）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y012016年北京市清大附中高三零模数学试卷（文科）（3月份）参考答案与试题解析一.选择题（每题5分，共40分）1已知全集U=R，集合A=1，2，3，4，5，B=xR|x2，如图中阴影部分所表示的集合为（）A1B0，1C1，2D0，1，2【考点】Venn图表达集合的关系及运算；交、并、补集的混合运算【分析】先观察Venn图，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解【解答
7、】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中又A=1，2，3，4，5，B=xR|x2，则右图中阴影部分表示的集合是：1故选A2已知a，b为非零实数，z=a+bi，“z2为纯虚数”是“a=b”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】求出z2，根据纯虚数的定义，求出a=b，根据充分必要条件的定义判断即可【解答】解：z=a+bi，z2=a2b2+2abi，若z2为纯虚数，则a=b，故是“a=b”的必要不充分条件，故选：B3在极坐标系中，过点且平行于极轴的直线的方程是（）Acos=Bcos=Csin=1
8、Dsin=1【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】利用化为直角坐标，即可得出【解答】解：点化为直角坐标，即过点且平行于极轴的直线的方程是y=1，化为直角坐标方程为：sin=1故选：D4阅读程序框图，为使输出的数据为31，则处应填的数字为（）A4B5C6D7【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i5
9、时退出，故选B5若函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为（）ABCD【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】只需把原函数解析式中x的系数变为原来的倍，即可得到所得的图象所对应的函数解析式【解答】解：把函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，则得到的图象所对应的函数解析式为，故选B6某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企
10、业可获得最大利润是（）A12万元B20万元C25万元D27万元【考点】简单线性规划的应用【分析】先设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设z=5x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=5x+3y过可行域内的点时，从而得到z值即可【解答】解：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z=5x+3y，且联立解得由图可知，最优解为P（3，4），z的最大值为z=53+34=27（万元）故选D7已知|=|=2， =2，则|t|（tR）的最小值为（）A1BCD2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的数量积的运算法则和利用二次函
11、数的性质求得它的最小值【解答】解：由|=|=2， =2，则|t|2=|2+t2|22t=4+4t2+4t=4（t+）2+3，当t=时，|t|2的最小值为3，当t=时，则|t|（tR）的最小值为，故选：B8在6枚硬币A，B，C，D，E，F中，有5枚是真币，1枚是假币，5枚真币重量相同，假币与真币的重量不同，现称得A和B共重10克，C，D共重11克，A，C，E共重16克，则假币为（）AABBCCDD【考点】进行简单的合情推理【分析】由题意可知，C，D中一定有一个为假的，分别假设C为假币，或D为假币，去判断假设是否成立，问题得以解决【解答】解：5枚真币重量相同，则任意两枚硬币之和一定为偶数，由题意可
12、知，C，D中一定有一个为假的，假设C为假币，则真硬币的重量为5克，则C的重量为6克，满足A，C，E共重16克，故假设成立，若D为假币，则真硬币的重量为5克，不满足A，C，E共重16克，故假设不成立，则D是真硬币，故选：C二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）9某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见如表：相关人员数抽取人数公务员32x教师48y自由职业者644则调查小组的总人数为【考点】分层抽样方法【分析】根据分层抽样原理，即可求出答案【解答】解：根据分层抽样原理，得=，解得x=2，y=3，所以调查小组
13、的总人数为2+3+4=9（人）故答案为：910双曲线y2=1的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，该双曲线的渐近线为【考点】双曲线的简单性质【分析】求出抛物线的焦点坐标，结合双曲线的方程求出m的值，利用双曲线的渐近线方程进行求解即可【解答】解：抛物线的焦点坐标为（2，0），即双曲线的焦点坐标为（2，0），则c=2，且双曲线的焦点在x轴，则a2=m，b2=1，a2+b2=c2，即m+1=4，则m=3，即a=，b=1，则双曲线的渐近线方程为y=x=x=x，故答案为：y=x11在ABC中，a=7，b=8，A=，则边c=【考点】正弦定理【分析】根据余弦定理a2=b2+c22bccosA，列出方程即可求
14、出c的值【解答】解：ABC中，a=7，b=8，A=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosA，64+c228ccos=49，c28c+15=0，解得c=3或5经验证，3或5都满足题意，所以c的值为3或5故答案为：3或512一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积是【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知中的三视图，我们易判断出三棱柱的底面上的高和棱柱的高，进而求出底面面积，代入棱柱体积公式，即可得到答案【解答】解：由已知中三视图，可得这是一个正三棱柱底面的高为2，则底面面积S=4棱柱的高H=2则正三棱柱的体积V=SH=8故答案为：813已知数列an中，a1=，an+1=1（n2
15、），则a16=【考点】数列递推式【分析】由，可分别求a2，a3，a4，从而可得数列的周期，可求【解答】解：，则=1=2=数列an是以3为周期的数列a16=a1=故答案为：14对于给定的非空数集，其最大元素最小元素的和称为该集合的“特征值”，A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，且A1A2A3A4A5=xN*|x100，则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为【考点】集合中元素个数的最值；元素与集合关系的判断【分析】判断集合的元素个数中的最小值与最大值的可能情况，然后按照定义求解即可【解答】解：A1A2A3A4A5=xN*|x100，可得所有元素是：1，2，3，4，10
16、0A1，A2，A3，A4，A5都含有20个元素，可知：最小的5个数分别为：1，2，3，4，5100必是一个集合的最大元素，含有100集合中的元素，有82，83，84，99和1，2，3，4，5中的一个这样特征值会比较小，则另一个集合的最大值为：81类比可知：5个最大值为：24，43，62，81，100则这A1，A2，A3，A4，A5的“特征值”之和的最小值为：1+2+3+4+5+24+43+62+81+100=325故答案为：325三.解答题（共6小题，共80分）15函数f（x）=cos（x+）（0）的部分图象如图所示（）写出及图中x0的值；（）设g（x）=f（x）+f（x+），求函数g（x）在
17、区间上的最大值和最小值【考点】余弦函数的图象【分析】（）由题意可得=cos（0+），可得的值由=cos（x0+），可得x0的值（）先求得g（x）的函数解析式，由，可得，从而可求函数g（x）在区间上的最大值和最小值【解答】（共13分）解：（）=cos（0+）的值是=cos（x0+）2=x0+，可得x0的值是（）由题意可得：所以 =因为，所以所以 当，即时，g（x）取得最大值；当，即时，g（x）取得最小值16对甲、乙两名篮球运动员分别在100场比赛中的得分情况进行统计，做出甲的得分频率分布直方图如图所示，列出乙的得分统计表如下：分值0，10）10，20）20，30）30，40）场数10204030
18、（）估计甲在一场比赛中得分不低于20分的概率；（）判断甲、乙两名运动员哪个成绩更稳定；（结论不要求证明）（）在甲所进行的100场比赛中，以每场比赛得分所在区间中点的横坐标为这场比赛的得分，试计算甲每场比赛的平均得分【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式【分析】（）根据频率分布直方图，计算甲在一场比赛中得分不低于20分的频率即可；（）根据甲乙运动员得分的分布情况，即可判断甲、乙两名运动员成绩稳定的稳定性，（）根据平均数的计算公式，即可得到结论【解答】解：（）根据频率分布直方图可知甲在一场比赛中得分不低于20分的频率为0.04810+0.02410=0.48+0
19、.24=0.72即甲在一场比赛中得分不低于20分的概率为0.72（）根据甲的频率分布直方图可知，甲的成绩主要集中20，30），乙的成绩比较分散，甲更稳定（）组距为10，甲在区间0，10），10，20），20，30），30，40），上得分频率值分别为，设甲的平均得分为S，则=23.8017在等差数列an中，其前n项和为Sn，满足S5S2=21，2a2a4=1（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=a，求数列bn的前n项和的表达式【考点】数列的求和【分析】（1）设等差数列an的公差为d，由S5S2=21，2a2a4=1，可得5a1+10d（2a1+d）=21，2（a1+d）（a1+3d）=1，解
20、得：a1，d可得an（2）bn=32n1，再利用等比数列的求和公式即可得出【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，S5S2=21，2a2a4=1，5a1+10d（2a1+d）=21，2（a1+d）（a1+3d）=1，解得：a1=2，d=3an=2+3（n1）=3n1（2）bn=32n1，数列bn的前n项和=3（2+22+2n）n=3n=32n+16n18如图，四边形ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE=3AF（1）求证：平面BAF平面CDE；（2）求证：平面EAC平面EBD；（3）设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM平面BEF，并证明你的结论【考点】平面与平面
21、垂直的判定；平面与平面平行的判定【分析】（1）先证明AF平面CDE，AB平面CDE，即可证明平面BAF平面CDE；（2）证明AC平面EBD平面EAC平面EBD；（3）BM=BD时，AM平面BEF，证明AMNF是平行四边形得出AMFN，即可证明AM平面BEF【解答】证明：（1）AFDE，AF平面CDE，DE平面CDE，AF平面CDE同理，AB平面CDE，AFAB=A，平面BAF平面CDE；（2）四边形ABCD是菱形，ACBD，DE平面ABCD，AC平面ABCD，ACDE，BDDE=DAC平面EBD，AC平面EAC，平面EAC平面EBD；解：（3）BM=BD时，AM平面BEF，理由如下：作MNED
22、，则MN平行且等于BD，AFDE，DE=3AF，AF平行且等于MN，AMNF是平行四边形，AMFN，AM平面BEF，FN平面BEF，AM平面BEF19在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，焦距为，P是椭圆上一动点，PF1F2的面积最大值为2（）求椭圆的标准方程；（）过点M（1，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，交y轴于点N，若，求证：1+2为定值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（）设椭圆的标准方程，利用焦距为，求得c的值，根据当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时PF1F2的面积最大为2，建立方程，从而可得椭圆方程；（）直
23、线l与椭圆方程联立，利用，用A，B的横坐标表示1，2，从而可得结论【解答】（）解：设椭圆的标准方程为（ab0）因为焦距为，所以c=当点P在短轴的顶点时，P到F1F2的距离最大，所以此时PF1F2的面积最大，所以，所以因为a2=b2+c2=4，所以a2=4，所以椭圆方程为 （）证明：依题意，直线l的斜率存在，可设为k，则直线l：y=k（x1）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立消y得 （2k2+1）x24k2x+2k24=0显然0，且，因为直线l交y轴于点N，所以N（0，k）所以，且所以x1=1（1x1），所以，同理所以即1+2为定值是20已知函数f（x）=（）求函数f（x）的零点及单调区
24、间；（）求证：曲线y=存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标y01【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理【分析】（）令f（x）=0，求出函数的零点，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；（）令，求出函数的导数，结合函数的单调性得到得：，从而证出结论【解答】解：（）令f（x）=0，得x=e故f（x）的零点为e，（x0）令 f（x）=0，解得当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：x （0，） （，+） f（x） 0+ f（x） 递减递增所以 f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为（）令则，因为 ，f（e）=0，且由（）得，f（x）在（0，e）内是减函数，所以 存在唯一的，使得g（x0）=f（x0）=6当xe，+）时，f（x）0所以 曲线存在以（x0，g（x0）为切点，斜率为6的切线由得：所以因为，所以，6x03所以 y0=g（x0）12016年10月11日
