1、四川省宜宾市叙州区第一中学校2019-2020学年高二数学下学期第二次月考试题 文（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的虚部为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用复数定义即可得到虚部.【详解】复数的虚部为.故选：.【点睛】本题主要考查的是复数的定义，是基础题.2.以下不等式在时不成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】对 分别构造函数，利用导数一一研究其单调性和最值，即可判断，对于取特值即可判断.【详解】对于，令，则，当，单调递增，当，单调递减，即，因此正确.对于
2、，令，当时，恒成立，在单调递增，即，因此正确.对于，令，令，则，不满足，因此不正确.对于，令，当时，恒成立，在单调递增，即，因此正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究其单调性和最值，考查学生构造函数的思想，考查计算能力，是中档题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数定义，可得，求导，即可的结论.【详解】根据导数定义，可得，.故选：.【点睛】本题主要考查的是导数的定义，考查学生的分析和计算能力，是基础题.4.双曲线的渐近线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据双曲线渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.【详解】焦点在
3、轴上，双曲线的标准方程为，所以渐近线方程.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.5.“”是“直线与圆”相切的（ ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆相切，求得或，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解.【详解】由题意，圆的圆心坐标为，半径为，当直线与圆相切，可得，即，整理得，解得或，所以“”是“直线与圆”相切的充分不必要条件.故选B.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与
4、计算能力，属于基础题.6.若在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】不等式表示区域面积为，表示的区域的面积为，利用几何概型概率公式即可得出结论.【详解】不等式表示的区域是半径为1的圆，面积为，且满足不等式表示区域是边长为的正方形，面积为，在所围区域内随机取一点，则该点落在所围区域内的慨率，故选B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积.7.A(0，1)是椭圆x24y24上一定点，P为椭圆上
5、异于A的一动点，则|AP|的最大值为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用椭圆的参数方程可设动点，故的最大值归结三角函数的最值问题【详解】设，则，整理得到，所以，此时故选C 【点睛】椭圆的参数方程为（为参数），注意此处不是与轴正向所成的角我们常通过椭圆的参数方程把椭圆上的动点的横纵坐标用参数的三角函数来表示8.已知函数是上的增函数，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由函数单增得在上恒成立，即,所以有，从而得解详解：函数，求导得：由函数是上的增函数，可得在上恒成立即,所以有：解得故选C点睛：函数单调性的应用：(1)若可导函数f(x)在(a，b)
6、上单调递增，则0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为0(2)若可导函数f(x)在(a，b)上单调递减，则0在区间(a，b)上恒成立；要检验不能恒为09.已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,过的直线交于两点，若的周长为,则的值为().A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由e，4a4，b2a2c2312，C的短轴长2b2【详解】解：由椭圆的离心率e，若ABF1的周长为4，4a4，a，c1，由b2a2c2312，b，故选C【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，离心率公式，考查计算能力，属于基础题10.已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【
7、答案】C【解析】设切点为 ,则方程, 有三解, 令,则,因此,选C.11.若过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点（不重合），则 (为坐标原点）的值是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】抛物线为，焦点为，设，由有，所以，故，选D.12.已知函数的导函数为，且满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得，由即可求得，将恒成立转化成：恒成立.记，利用导数判断的单调性，从而求得，问题得解【详解】由题可得：，由所以函数的图象关于直线对称，即：，解得：所以恒成立可整理成：，恒成立.即：恒成立.记：，当时，单调递减当时，单调递增所以.所以，即：.
8、故选D【点睛】本题主要考查了函数对称性判断，还考查了转化思想及利用导数求函数的最值方法，考查计算能力，属于难题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在处的切线方程为_.【答案】【解析】【分析】先求导得，根据导数的几何意义，求出在处切线斜率和切点坐标，由点斜式方程即可求出切线方程.【详解】解：由题可知，的导数为，则在处的切线斜率为：，当，则，所以切点为：，可得切线方程为：，即为：.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线方程，考查运算能力.14.在正方体中，点分别是，的中点，则异面直线与所成角的大小为_.【答案】【解析】【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用直线
9、和直线的方向向量，计算出线线角的余弦值，由此求得线线角的大小.【详解】以为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体边长为，故，所以，设直线和直线所成角为，则，所以.【点睛】本小题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角，考查空间向量的运算，属于基础题.15.函数，若，则实数的取值范围_【答案】【解析】【分析】根据题意，利用定义法可判断出为奇函数，且利用导数法得出函数在区间上为增函数，将转化为，结合定义域和单调性，列出不等式组，即可求出实数的取值范围.【详解】解：由题可知，函数，即，故为奇函数，则在区间上为增函数，又，则，即：，则，解得：，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查函数的
10、奇偶性与单调性的综合应用，利用定义法判断函数的奇偶性、利用导数法判断函数的单调性以及利用单调性解不等式，考查转化思想和计算能力.16.已知分别为双曲线的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P使得，则双曲线的离心率的取值范围是_.【答案】(1,3【解析】【分析】依题意，双曲线左支上存在一点P使得8a，|PF1|PF2|2a，可求得，|PF1|2a，|PF2|4a，再利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的关系即可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】解：P为双曲线左支上一点，|PF1|PF2|2a，|PF2|PF1|+2a，又8a，由可得，|PF1|2a，|PF2|4a|PF1|+|PF2|F
11、1F2|，即2a+4a2c，3，又|PF1|+|F1F2|PF2|，2a+2c4a，1由可得13故答案为（1，3【点睛】本题考查双曲线的简单性质，依题意求得|PF1|4a，|PF2|2a是基础，利用|PF1|、|F1F2|、|PF2|之间的三角关系得到关于a，c的不等式组是关键，也是难点，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查.已知该校共有学生960人，其中男生560人，从
12、全校学生中抽取了容量为的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如下表：（1）求，；（2）能否有的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？附：.【答案】（1）20,48；（2）没有.【解析】【分析】（1）根据分层抽样中在各层中抽样比相等求得，然后可得样本容量（2）由题意得到列联表，根据公式求出后结合临界值表中的数据可得结论【详解】（1）由已知可得该校有女生400人，根据题意可得，解得，所以.（2）由题意得列联表如下：超过1小时的人数不超过1小时的人数合计男20828女12820合计321648根据表中的数据得，所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过
13、1小时与性别有关【点睛】在独立性检验中，求出后查表时要根据题目要求的百分比找到第一行对应的数值，再将该数值对应的值与求得的相比较另外，表中第一行数据表示两个变量没有关联的可能性，所以其有关联的可能性为18.已知函数，a为实数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若在区间上是减函数，求a的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，对和进行比较即可得到的单调性；（2）根据的取值范围，分和进行求解，当时分离出，根据的单调性，即可得出的取值范围.【详解】（1），当即时，在R上单调递增；当即时，由得或，由得分别在与单调递增，在单调递减.综上所述，当时，在R上单调递增；当时，
14、分别在与单调递增，在单调递减.（2）由已知得在区间上恒成立.在区间上恒成立.当时，.当时，.而在上单调递增，时，则.综上.【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性，以及利用单调性求函数的最值，本题将分离是解题的关键，考查学生的分析能力，和计算能力，是基础题.19.在四棱锥中，都是边长为1的正三角形.（1）证明：平面平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：（1）连接，利用等腰三角形的“三线合一”和勾股定理得到线线垂直，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用几何体的体积公式和“等体积法”进行求解详解：（1）证明：如图，连接，都是正三角形，设为的
15、中点，在Rt中，为的中点，在等腰中，在中，又，平面，又平面，平面平面 （）解：由（）知，设点到平面的距离为，则，即，点到平面的距离为点睛：本题考查线面垂直的判定、面面垂直的判定定理、利用“等体积法”求点到平面的距离等知识，意在考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力20.设椭圆离心率为，椭圆上一点到左右两个焦点的距离之和是4.（1）求椭圆的方程；（2）已知过的直线与椭圆交于两点，且两点与左右顶点不重合，若，求四边形面积的最大值【答案】（1）；（2）6【解析】分析：（1）根据题意，结合椭圆的定义可得a的值，由离心率公式可得c的值，计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）设A（x1
16、，y1），B（x2，y2）以及AB的方程，将AB的方程与椭圆联立，分析可得3（my+1）2+4y2=12，借助根与系数的关系可以将四边形AMBF1面积用k表示出来，由基本不等式的性质分析可得答案详解：（1）依题意，因为，所以，所以椭圆方程为；（2）设 ，则由，可得，即，又因为，所以四边形是平行四边形，设平面四边形的面积为，则设，则，所以，因为， 所以，所以，所以四边形面积的最大值为.点睛：在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围
17、；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.21.已知函数，其中.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明:；（3）试比较与 ，并证明你的结论【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）求得，对的范围分类讨论即可求得的单调性（2）将转化成，证明恒成立，利用导数求得，问题得证（3）由（2）可得：，整理得：，所以，整理得：利用即可得：，问题得解【详解】（1）函数的定义域为：， 当时，所以在上单调递增 当时
18、，令，解得 当时，所以， 所以在上单调递减； 当时，所以，所以在上单调递增 综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（2）当 时，要证明，即证，即证：. 设，则 ，令得，.当时，当时，.所以为极大值点，且在处取得最大值所以，即故.（3）证明：（当且仅当时等号成立），即,则有+,故：+【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数的最值，还考查了分类思想及转化思想，考查放缩法证明不等式，还考查了裂项求和方法，考查计算能力，属于难题22.平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为(1
19、)写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；(2)若射线平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求.【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）根据，即可求解；（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是，将代入的极坐标方程求出，进而求出即可求解.【详解】解：（1）曲线的直角坐标方程是，即化成极坐标方程为：曲线的直角坐标方程是；（2）曲线是圆，射线过圆心，所以方程是代入，得又，将，代入，得因此【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的互化以及利用极坐标求弦长，属于基础题.23.已知函数（1）解不等式；（2）若对于，有，求证：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】（1）分，三种情况讨论；（2），再利用绝对值三角不等式即可证明.【详解】（1）由，得，则或或解得，或，或，即，所以不等式的解集为.（2）证明：由，所以.【点睛】本题考查解绝对值不等式以及证明不等式，考查学生的运算能力，是一道容易题.
