1、第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件能够判断 的语句叫做命题.命题有 与 之分.基础梳理1.命题 真假真命题假命题(2)四种命题 命题表述形式原命题逆命题否命题逆否命题若q则p 若 p则 q 若 q则p若p则q 原命题 若p则q 逆命题 若q则p 否命题 若 p则 q 逆否命题 若 q则p 互否互否（2）四种命题及其关系 3.充分条件与必要条件 （1）定义：一般地，如果 ,那么称p是q的 ，同时称q是p的 ;如果 ,且 ，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的 ，记作 .(2)如果 ,且 ，那么称p是q的充分不必要条件；如果 ，且 ,那么称p是q的必要不充分条件；如果 ，且 ,那么称p是
2、q的既不充分又不必要条件.(3)在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论；其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，,充要条件,.pqpqpqpqqpqppqpqqp充分条件必要条件充要条件pq必要不充分条件既不充分又不必要 条件基础达标1.下列说法：2x+50；是有理数；如果x2，那么x就是有理数；如果x0，那么就有意义.其中命题的个数为.2.（选修2-1P6例1改编）设原命题：若a+b2，则 a,b中至少有一个不小于1，则原命题为命题,逆命题为命题.(填“真”或“假”)31x3真假1.解析：可以判断真假的陈述句叫做命题由定义知 为命题 2.解析：因为原命题的逆
3、否命题为：若a，b都小于1，则a+b2，显然为真，所以原命题为真；原命题的逆命题为：若a，b中至少有一个不小于1，则a+b2，是假命题，反例为a=1.2，b=0.3.3.(2010陕西改编)“a0”是“|a|0”的条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”）4.命题“若x=1或x=6,则(x-1)(x-6)=0”的逆否命题是.5.若“x21”是“xa”的必要不充分条件，则a 的最大值为_.3.解析：a0|a|0，|a|0 a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要条件4.解析：首先根据命题“若p则q”的逆否命题为“若非q则非p”，再根据命题“p或q”的否定是“非p且非q”，可得所求的逆否
4、命题为：若(x-1)(x-6)0，则x 1且x 6.充分不必要若(x-1)(x-6)0,则x1且x6 15.解析：由x21得x1或x-1，又xax21，xax-1，a-1，amax=-1.经典例题题型一 命题概念及其真假的判断例1 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.（1）大角所对的边大于小角所对的边；（2）x+y是有理数，则x,y也都是有理数；（3）求证：xR,方程x2+x+1=0无实数根.解 分析 依据命题、真命题、假命题的定义来判定.(1)是假命题，没有考虑到必须在同一个三角形中.(2)是假命题，若x=,y=,则x+y=0是有理数，x,y是无理数.(3)为祈使句，不是命
5、题.22变式1-1 判断下列语句是否为命题，若是，判断其真假并说明理由.（1）x2+4x+40;（2）你是高一的学生吗？（3）一个正数不是素数就是合数;（4）若xR,则x2+4x+70.解析:(1)是真命题，x2+4x+4=(x+2)20恒成立.(2)是疑问句，不是命题.(3)是假命题，如正数既不是素数也不是合数.(4)是真命题,x2+4x+7=(x+2)2+30.12题型二 四种命题的关系及命题真假的判断 分析【例2】写出命题：“若实数x,y满足x2+y2=0，则实数x,y全为零”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假.根据四种命题的定义来写，注意否命题与命题的否定的区别.解 逆命题为：若实
6、数x，y全为零，则x2+y2=0，是真命题.否命题为：若x2+y20，则实数x,y不全为零，是真命题.逆否命题为：若实数x,y不全为零，则x2+y20，是真命题.变式2-1写出命题“等式两边都乘同一个数，所得结果仍是等式”的逆命题、否命题、逆否命题.解析：方法一：选取“两边同乘一个数”为前提.原命题：若一个式子为等式，则两边乘以同一个数，所得的结果仍是等式；逆命题：若一个式子两边都乘同一个数所得结果是等式，则这个式子是等式；否命题：若一个式子不是等式，则它的两边都乘以同一个数，所得结果仍不是等式；逆否命题：若一个式子两边都乘以同一个数所得的结果不是等式，则这个式子不是等式.方法二：选取“一个式
7、子为等式”为前提.原命题：一个等式，若两边乘以同一个数，则所得结果仍为等式；逆命题：一个等式,若两边分别乘以一个数，所得结果仍为等式，则两边乘的是同一个数；否命题：一个等式,若两边乘以不同的数，则所得结果不是等式；逆否命题：一个等式，若两边分别乘以一个数，所得结果不是等式，则两边乘的不是同一个数.题型三 充分条件与必要条件的判定【例3】求证：方程x2+ax+1=0(aR)两实根的平方和大于3 的必要条件是|a|3.这个条件是否为充分条件，为什么？分析 充分必要条件的判断和证明，首先要弄清条件和结 论的先后顺序，同时关注相关知识的自身特点，体现出逻 辑的工具性应用特征.解 设方程x2+ax+1=
8、0(aR)两实根为x1,x2,则由已知即,所以 a25,|a|a|.所以方程x2+ax+1=0(aR)两实根平方和大于3的必要条件是|a|.当a=2时，x2+ax+1=0两根为x1=x2=1,此时 .所以|a|3是方程x2+ax+1=0(aR)两实根的平方和大于3的必要不充分条件.2221212120 x+x=(x+x)2x x 3 22423aa53322123xx变式3-1ax22x10至少有一个负实根的充要条件是 .a1解析：当a=0时，,故a=0符合.当a0时,(1)若a0，则ax2+2x+1=0 ；(2)若a0，则ax2+2x+1=0.综上所述，a1,即ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是a1.2442 1200121440aaaaaa 2442 120021440aaaaaa 102x (2010广东)“m”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数”解的条件.(填“充分”、“必要”或“充要”)知识准备：知道x2+x+m=0有实数解即0.14链接高考充分 解析：由=1-4m0,得 ,但 .此为充分不必要条件.14m 1144mm1144mm
