1、第八节 对数与对数函数基础梳理1.对数及对数的运算(1)定义：ab=Nb=_(a0，且a1)(2)积、商、幂、方根的的对数(M、N都是正数，a0，且a 1，n0)loga(MN)=_.=_.logaMn =_.logaMNnlogaMlogaNlogaM+logaNlogaM-logaN(3)对数的换底公式及对数的恒等式(a0且a 1，b0且b 1，N0，n0，m0，c0)alogaN=_(对数恒等式)logaN=_(换底公式)logab=_.logamb=_，logambn=_.(4)两种重要的对数常用对数：以10为底的对数叫做_，N的常用对数记作_自然对数：以无理数e=2.718 28为底
2、的对数叫做_，N的自然对数记作_Nbblog Nlog a1blog aa1 log bmloganbmln N常用对数lg N自然对数2.对数函数的图象与性质a10a1图象定义域：值域：性质当0 x1时，y_当x1时，y_当0 x2的解集为_1.(必修1P64习题5改编)(lg5)2+lg2lg50=_.2.(必修1P70习题10改编)若2x-1=10，则x=_.解析：原式=(lg 5)2+lg 2lg 5+1=(lg 5)2+lg 2 lg 5+lg 2=lg 5lg 5+lg 2+lg 2=lg 5+lg 2=1.1112lg解析：两边取常用对数，则lg 2x-1=lg10=1，(x-1
3、)lg 2=1，x-1=,.12lg112xlg 解析：x+222x2.(2，+)4.已知log7log3log2x=0，则_12x 5.的定义域是_1232ylogx 24解析：由题意知，log3log2x=1，log2x=3，x=23=8，12x 12284 2,13解析：03x-2123x312320320 xlogx 213x经典例题题型一 对数的化简与求值【例1】计算下列各题258(1)5040lglglglglg214232352727(2)loglog 4 log 10-(3 3)-log 7 32(3)2(lg2)lg2 lg52 22121lgg 分析：考查对数运算法则的逆用
4、、lg 2与lg 5的关系，指数与对数的互化、对数运算法则的运用等解：(1)原式=(2)原式=(3)原式=2 55841.505404lglglglg323432352352353loglog 2log 10(3)231 log 3log 2log 103241 log 3log 5414 2lg 2(2 1g 2+lg 5)2221=lg 2(lg 2+lg 5)+|lg 2-1|=lg 2lg(2 5)+1-lg 2=1.lglg 变式1-1(1)求lg 25+lg 8+lg 5lg 20+(lg 2)2的值；23(2)设，求的值3515ab11ab解析：(1)原式=lg 52+lg 23
5、+lg 5(1+lg 2)+(lg 2)2=2lg 5+2lg 2+lg 5+lg 2lg 5+(lg 2)2=2+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=3.233515ab(2)，两边取以为 底的对数，得 151515log3log51ab151511log3,log5,ab15151511log3log5log152ab所以aa1(1)log(1+a)log1a题型二 比较大小问题【例2】对于0alog1a111(3)aaaa 111(4)aaaa 其中成立的是_分析：利用函数y=ax与y=logax的单调性比较大小解：由0alog1,a111 aaaa 已知0
6、 xya1，则下列式子中正确的是_loga(xy)0;0loga(xy)1；1loga(xy)2.变式2-1解析：0a1，y=logax在(0，+)上是减函数又0 xlogaa=1.又0ylogaa=1.loga(xy)=logax+logay2.【例3】求方程lg x+lg(4-x)=lg(a+2x)的实数解的个数题型三 对数函数性质应用分析：先将方程变形，在同一坐标系中分别画出函数y=-x2+2x与y=a的图象，然后观察交点的个数，交点个数即为方程解的个数解：由得由0 x4，得-x-4，-2x-8，a-8.由lg x+lg(4-x)=lg(a+2x)得-x2+2x=a，设y=-x2+2x=
7、-(x-1)2+1(0 x4)，y=a(a-8)由图象可知：当a1时，方程无实根；当0a1时，方程有两个不等实根；当-8a0或a=1时，方程有一个实根04020 xxax 0420.xax 变式3-1(2011启东中学期中考试)函数y=log0.5(x1)的值域是_111xx(-，-2解析：x1，log0.5 -2.11241xx 111xx【例4】若f(x)=x2-x+b，且f(log2a)=b，log2f(a)=2,(a1)(1)求f(log2x)的最小值及对应的x值；(2)x取何值时，f(log2x)f(1)且log2f(x)0，a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性
8、，并证明；(3)求使得f(x)0成立的x的取值范围11xx解析：(1)由题意知0，得函数f(x)的定义域为(-1,1)(2)f(x)为奇函数证明：因为函数的定义域关于原点对称且，所以f(x)为奇函数11xx1111()logloglog()111aaaxxxfxf xxxx (3)当a1时，由对数函数的单调性可知1，而-1x1，解得-1x0；当0a1时，由对数函数的单调性可知1，而-1x1，解得0 x1时，x的取值范围为(-1,0)；当0a1时，x的取值范围为(0,1)11xx11xx易错警示【例】若函数y=log2 的值域为R，求实数a的取值范围2114axax 错解 函数y=log2 的值
9、域为R，对任意xR，恒成立，若a=0，则不能恒成立，a0；若a 0，则即解得2114axax 21104axax 104x 00a 2010aaa 353522a错解分析 函数y=log2 的值域为R，(0，+)必须是 值域的子集 也就是函数 必须开口向上且 与x轴有交点 2114axax 2114uaxax 2114uaxax 正解 函数y=log2 的值域为R，2114axax 21104axax (0，+)必须是u(x)=值域的子集，函数必须开口向上且与x轴有交点，2114uaxax 200,101404aaaa 即解得3535022a或a链接高考(2010浙江改编)设函数的集合P=，平
10、面上点的集合Q=，则在同一直角坐标系中，P中函数f(x)的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是_知识准备：1.会利用平移变换画对数函数的图象；2.会进行分类讨论211,0,1,1,0,122f xlogxab ab 11,0,1,1,0,122xy xy 6 解析：如图所示，在平面直角坐标系中描出集合Q中所包含的12个点集合P中共有12个函数，函数y=log2x是其中之一，则其经过(1,0)，两点，其他函数可以经过图象的平移得到，可以验证，函数y=log2x+1，y=log2 ，y=log2 +1，y=log2(x+1)-1，y=log2(x+1)+1都符合题意，而其他的函数经过12个点中的0个、1个或者3个(y=log2(x+1)，故答案为6.1,1212x12x
