1、3.1.5 空间向量运算的坐标表示一、空间向量的加减和数乘运算的坐标表示设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)a+b=_.(2)a-b=_.(3)a=_(R).思考：当a0时，a是否可以为0？提示：不可以，当=0时，a=(0,0,0)=0，并不是0.(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(a1,a2,a3)二、空间向量数量积的坐标表示及夹角公式设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则(1)数量积：ab=_.(2)模：(3)夹角：cosa,b=_=_.(4)垂直：若ab,则有_=0.a1b1+a2b2+a3b3a1b1
2、+a2b2+a3b3(5)平行：若b0，则ab_,_,_(R).判断：(正确的打“”，错误的打“”)(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则ab ()(2)任给向量a，b，都有abab.()(3)空间两向量夹角的范围与异面直线所成角的范围相同.()a=ba1=b1 a2=b2 a3=b3提示：(1)错误.当时，显然有ab，但当ab时，却不一定成立，如b=0，则不成立.(2)正确.cosa，b=1,且ab0,故ab|a|b|.(3)错误.空间两向量夹角的范围是0,，而异面直线所成角的范围为.答案：(1)(2)(3)三、空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设
3、A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),则(1)(2)思考：空间向量的坐标与点A和点B的坐标有何关系？提示：空间向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，不能颠倒.(a2-a1,b2-b1,c2-c1)【知识点拨】1.关于空间向量运算的坐标表示的两点说明(1)空间向量的加法、减法、数乘运算后依然是一个向量，其结果还是向量的坐标形式.(2)空间中相等向量的坐标是相同的，在不同的坐标系中，同一向量的坐标是不相同的.2.关于空间向量坐标的求法(1)空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标.(2)通过空间向量间的坐标运算求得新向量的坐标.(3)给出条件求空间向量坐标的问题
4、，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程组求其坐标.(4)向量平移后其坐标不发生变化，变化的是向量的起点与终点的坐标.3.向量运算的坐标表示在判断直线平行、垂直及所成角中的应用(1)应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线.(2)判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(3)用向量法求两异面直线所成角时，首先依据题设取异面直线上的方向向量，然后求出两向量的夹角，若夹角为锐角则该角就是两异面直线的夹角，若向量夹角为钝角，则该角的补角就是两异面直线所成的角.类型 一空间向量的坐标运算【典型例题】1.设向量a=(-1，0，3
5、)，b=(3，1，4).计算：(1)2a+b=_.(2)(3)(a+b)(a-b)=_.2.已知A，B，C三点的坐标分别为A(3，-2，3)，B(2，1，-1)，C(-1，0，3)，求点D的坐标(O为坐标原点)，使(1)【解题探究】1.进行向量坐标运算的依据是什么？2.已知向量的起点坐标与终点坐标，如何求向量的坐标？探究提示：1.依据向量坐标运算的运算法则进行.2.向量的坐标等于它终点的坐标减去它起点的坐标.【解析】1.(1)2a+b=2(-1,0,3)+(3,1,4)=(1,1,10).方法二：a+b=(2，1，7)，a-b=(-4，-1，-1),(a+b)(a-b)=-8-1-7=-16.
6、答案：(1)(1，1，10)(3)-162.A(3，-2，3)，B(2，1，-1),C(-1，0，3),故点D的坐标为(2)设点D的坐标为(x,y,z)，则由(1)知解得【拓展提升】空间向量的加法、减法、乘法及数乘运算的方法(1)根据已知向量的坐标，代入空间向量的加减和数乘运算的坐标表示公式进行计算.(2)熟练应用有关的乘法公式：(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2;(a+b)(a-b)=a2-b2.【变式训练】已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),有下列等式：(a+b)c=a(b+c);(a+b+c)2=a2+b2+c2;(ab)c=a(bc)，其中
7、正确的有()A.0个B.3个C.2个D.1个【解析】选B.题号正误原因分析(ab)c=0,a(bc)=0.类型 二距离(线段长度)与夹角的求法【典型例题】1.设A(1-t,1-t,t),B(2,t,t)，则的最小值是_.2.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点.(1)求与所成角的余弦值.(2)求的长度.【解题探究】1.向量的模(大小)的公式是什么？2.计算两个向量的夹角或其余弦值，要先计算哪些量？探究提示：1.设向量a=(x,y,z)，则向量a的大小2.要先计算这两个向量的模及这两个向量的数量积.【解析】1.根据题意得 的最小值为答案：2.
8、建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，1，0),与所成角的余弦值为【互动探究】若题1中的向量与向量的夹角为锐角，则实数t的取值范围是什么？【解题指南】若两向量的夹角为锐角，则其数量积大于零，可求t的取值范围.【解析】由题意得：=2(1+t)+2t-1+0=4t+10，解得又 不共线，实数t的取值范围为【拓展提升】1.空间两点间的距离(线段长度)的求法空间两点可以确定一个向量，通过求向量的模或根据两点间的距离公式求出两点间的距离.2.关于两直线夹角的求法(1)通过建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量的坐标，然后计算两直线的方向向量的夹角.(2)空间两条直线夹角的范围与向量
9、夹角的范围不同，当所求两向量夹角为钝角时，则两直线夹角是与此钝角互补的锐角.【变式训练】(2013成都高二检测)若向量a=(1,2),b=(2,-1,1),且a与b的夹角的余弦值为则等于_.【解析】ab=2-+2=4-,|a|=,|b|=即2+16-17=0,解得=-17或=1.答案：-17或1类型 三空间向量的垂直与平行的判断【典型例题】1.已知空间四点A(-8，-6，3)，B(x,-1,2),C(1,-2,z),D(4,-1,1),若则xz=_.2.已知A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，设(1)若求c.(2)若ka+b与ka-2b互相垂直，求k的值.【解题探究】1
10、.题1中首先需要求出哪些量？2.题2中的坐标为多少？由c ，如何设出c的坐标？探究提示：1.利用空间向量坐标的求法首先求出向量的坐标.2.由B,C两点的坐标，可求出=(-2，-1，2)，又由c ，可设c=(-2,-,2).【解析】1.由已知得因为则有解得所以答案：2.(1)由题意可知=1,c=(-2,-1,2)或c=(2，1，-2).(2)由题意可知，a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),又(ka+b)(ka-2b),(ka+b)(ka-2b)=0,(k-1,k,2)(k+2,k,-4)=k2+k-2+k2-8=0,即2k2+
11、k-10=0,k=2或【拓展提升】向量平行与垂直问题的三种题型题型1：空间向量平行与垂直的判断利用空间向量平行与垂直的条件进行判断.题型2：利用平行与垂直求参数或其他问题即平行与垂直的应用，解题时要注意：适当引入参数(比如向量a，b平行，可设a=b)，建立关于参数的方程；最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.题型3：利用向量坐标处理空间中的平行与垂直向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；向量关系代数化：写出向量的坐标；求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解.【变式训练】1.(2013金华高二检测)若a=(0，1，-1)，b=(1，1，0)，且(a+b)a，则实数的值是()A.-
12、1 B.0 C.1 D.-2【解析】选D.a+b=(0,1,-1)+(,0)=(,+1,-1),(a+b)a,(a+b)a=(,+1,-1)(0,1,-1)=0+1+1=+2=0,=-2.2.已知向量a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),c=(2,x,-4).(1)判断a与b的位置关系.(2)若ac,求|c|.(3)若bc,求c在a方向上的投影.【解析】(1)a=(1,2,-2),b=(-2,-4,4),b=(-2,-4,4)=-2(1,2,-2)=-2a,ab.(2)ac,设a=c(为实数).(1，2，-2)=(2，x，-4),解得c=(2,4,-4),(3)bc,bc=0,(-2,
13、-4,4)(2,x,-4)=-4-4x-16=0,x=-5,c=(2,-5,-4).c在a方向上的投影为|c|cosa,c,即c在a方向上的投影为0.【易错误区】忽视向量的数量积符号与其夹角的范围的关系致误【典例】(2013东莞高二检测)已知向量a=(2，3，-1)，b=(-2，m，1)，若a与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围为_.【解析】由已知ab=2(-2)+3m-1=3m-5.a与b的夹角为钝角，ab0,若a与b的夹角为，则存在0，使a=b(0),即(2，3,-1)=(-2,m,1),m=-3,故m的取值范围是答案：【误区警示】【防范措施】隐含或限制条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，
14、找出一些隐含或限制条件，对题目条件进行等价转化，对于公式中的特殊情形要记清，不要漏掉，如本例中夹角为钝角要在ab0中剔除夹角为的情况.【类题试解】已知a=(5,3,1),b=(-2,t,)，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为_.【解析】由已知a与b的夹角为钝角，ab0.若a与b的夹角为180，则存在0,使a=b(0),即(5,3,1)=(-2，t,),故t的范围为答案：1.已知向量点A的坐标是(1，2，0)，则点B的坐标是()A.(1,1,4)B.(3,5,4)C.(-1,1,-4)D.(3,6,3)【解析】选B.设B(x,y,z)，则解得x=3,y=5,z=4，所以点B的坐标为(3，
15、5，4).2.若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，满足条件(c-a)(2b)=-2,则x的值为()A.2 B.-2 C.0 D.1【解析】选A.因为c-a=(0，0，1-x)，所以(c-a)(2b)=2(1-x)=-2，解得x=2.3.已知a=(-2，3，3)，则下列向量中与a平行的是()A.(1，1，2)B.(2，3，3)D.(-3，2，2)【解析】选C.故向量与a平行.4.若向量m=(2，t，3)与n=(1,2,4)垂直，则m=_.【解析】mn,mn=2t+14=0,t=-7,故m=(2,-7,3)，则答案：5.已知向量a=(3，1，0)，b=(1，-1，1)，则2a-3b=_,cosa,b=_.【解析】2a-3b=(3,5,-3),2a-3b=答案：6.已知若|a|=1,求a.【解析】设a=(x,y,z),|a|=1,x2+y2+z2=1 解由组成的方程组得
