1、2022-2023学年湖南省常德市五校联盟高三第一次考试(数学)一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合，则()A. B. C. D. 2. 已知，且，则下列命题正确的是()A. 如果，那么B. 如果，那么C. 如果，那么D. 如果，那么3. 下列结论不正确的是()A. B. C. D. 4. 不等式成立的一个必要不充分条件是()A. B. C. D. 5. 若函数且在上为减函数，则函数的图象可以是()A. B. C. D. 6. 设函数，若，则()A. B. C. D. 7. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发
2、展和社会的进步，人们的环保意识日益增强某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为参考数据：，()A. B. C. D. 8. 已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，则不等式的解集为()A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9. 下列选项中，与的值相等的是()A. ；B. ；C. ；D. 10. 若函数且为上的单调函数，则的值可以是 ()A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为，值域为
3、，则的值不可能是()A. B. C. D. 12. 已知函数则下列说法正确的是()A. 当时，B. 当时，直线与函数的图象相切C. 若函数在区间上单调递增，则D. 若在区间上恒成立，则三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在范围内，与终边相同的角是14. 已知正数满足，则的最小值为15. 若函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围为16. 设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍胀函数”，若函数为“倍胀函数”，则实数的取值范围是四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 本小题分已知求的值；求的值18. 本小题
4、分已知数列满足，数列是等差数列，且，求数列，的通项公式设，求数列的前项和19. 本小题分如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，平面，、分别是、的中点求证：平面平面；若，求锐二面角的余弦值20. 本小题分已知函数当时，求曲线在点处的切线方程；求函数在的最小值21. 本小题分在中，内角，所对的边分别为，且满足求证：求的取值范围22. 本小题分设函数试讨论函数的单调性；如果且关于的方程有两解，证明：答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，故A错误，D正确；，故B，C错误故选D2.【答案】【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题当时，选项A，D错误；取特殊值判断；由不等式的性质判断【解答】解：
5、当时，选项A，D错误例如，满足，但是，故C错误若，则，由不等式的性质可得，故 B正确故选B3.【答案】【解析】解：，为第二象限角，故A正确，为第三象限角，故B正确，为第三象限角，故C正确；，为第三象限角，故D错误故选D4.【答案】【解析】解：，不等式的解集是，观察四个选项发现，故是不等式的一个必要不充分条件故选C5.【答案】【解析】解：由题意，函数且在上为减函数，可得，又由函数的定义域为或，当时，函数，将函数的图象向右平移个单位，即可得到函数的图象，又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，可知选项符合故选B6.【答案】【解析】解：因为为周期为的偶函数，所以，因为在上关于直线对称，所以，由于，所以，
6、即，因为在上单调递增，且，所以，即故选A7.【答案】【解析】解：过滤一次污染物的含量都会减少，则为；过滤两次污染物的含量都会减少，则为；过滤三次污染物的含量都会减少，则为；过滤次污染物的含量都会减少，则为；要求废气中该污染物的含量不能超过，则，即，两边取以为底的对数可得，即，所以，因为，所以，所以，又，所以，故排放前需要过滤的次数至少为次故选B8.【答案】【解析】解：已知，令，则，所以在上单调递减，又因为为偶函数，所以，所以，所以不等式等价于，则，解得，所以不等式的解集为故选A9.【答案】【解析】解：由，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误故选BC10.【答案】【解析】解：当时，由于为
7、增函数，则需，此时在上单调递增；当时，由于为减函数，则需故，此时在上单调递减；故的取值范围为：故选ABCD11.【答案】【解析】解：函数，定义域为，即，又值域为，即，在正弦函数的一个周期内，要满足上式，结合正弦函数性质：所以，即，的值不可能为和和故选BCD12.【答案】【解析】解：对于，当时，当时，当时，易知函数在上单调递减，在上单调递增，故选项A正确；对于，当时，函数在处的切线方程为，故选项B正确；对于，若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，则在上恒成立，令，则，函数在上单调递减，故选项C错误；对于，当时，恒成立，此时；当时，恒成立等价于恒成立，即，即恒成立，设，则在上恒成立，在上单调递减，
8、故选项D错误故选AB13.【答案】【解析】解：与角终边相同的角是，当时为，在范围内，与角终边相同的角是故答案为14.【答案】【解析】解：因为正数，满足，所以，当且仅当，时等号成立，即的最小值为故答案为15.【答案】【解析】解：函数在区间上恰有一个极值点，在区间上恰有一个变号零点，即在区间上恰有一个变号零点，令，则有，即，当时，令，得到或，在两侧异号，是极值点，不是极值点，即在区间上有变号零点，在区间上恰有一个极值点；当时，得到，或，故在上没有极值点故实数的取值范围是故答案为16.【答案】【解析】解：因为函数为“倍胀函数”，且定义域为，所以存在，使在上的值域为，因为为增函数，所以即方程有两个不等
9、的实数根令，则，令，解得，当时，当时，则在上单调递增，在上单调递减，所以，易知当时，当时，所以要使方程有两个不等的实数根，只需，得，所以的取值范围为故答案为17.【答案】解：，两边平方得，解得，18.【答案】解：因为数列满足，所以数列是以为首项，公比的等比数列，所以，即数列的通项公式为，设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，即数列的通项公式为由可知，所以数列的前项和，即19.【答案】解：证明：由四边形为菱形，可得为正三角形为的中点，又，因此，平面，平面，而平面，平面，且，平面，又平面，平面平面；由知、两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，因此，取，则
10、，连接，平面，平面，、平面，平面，故为平面的法向量又，二面角为锐二面角，所求二面角的余弦值为20.【答案】解：当时，又得切点，切线的斜率，所求切线方程为，即，令，由，得，所以在上为单调增函数，又，所以在上恒成立，即在恒成立，当时，知在上单调递减，从而当时，知在上单调递增，从而；综上，当时，当时21.【答案】证明：在中，由已知及余弦定理得到：，又，所以C.由正弦定理得到，又，则，故，因为，则，所以或应舍去，所以；解：由得，所以，由，得，令，设，则，当时，单调递减，当时，单调递增，则，当时，当时，所以取值范围是22.【答案】解：由，可知函数的定义域为，若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增；若，则当在内恒成立，函数单调递增；若，则当时，函数单调递减，当时，函数单调递增综上：当时，在上单调递减，在上单调递增当时，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增要证，只需证设，因为，所以为单调递增函数所以只需证，即证，只需证，又，所以两式相减，并整理得把代入式，得只需证，可化为令，得只需证令，则，所以在其定义域上为增函数，所以综上得原不等式成立
