1、1.集合与元素2.集合的分类一、集合的基本概念及表示方法某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集,通常用大写字母A,B,C,表示.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,通常用小写字母a,b,c,表示.集合按元素多少可分为:有限集(元素个数有限)、无限集(元素个数无限)、空集(不含任何元素);也可按元素的属性分,如:数集(元素是数),点集(元素是点)等.3.集合中元素的性质4.集合的表示方法对于一个给定的集合,它的元素具有确定性、互异性、无序性.列举法；描述法；图示法；区间法；字母法.二、元素与集合、集合与集合之间的关系 如果对任一xA,都有xB,则称集合A是集合B的子集,记作AB 或 BA.
2、1.元素与集合之间的关系元素与集合之间用“”或“(或)”连接;元素与集合之间是个体与整体的关系,不存在大小与相等关系.2.集合与集合之间的关系(1)包含关系：显然AA,A.对于集合A、B,如果AB,同时AB,那么称集合A等于集合 B,记作A=B.(2)相等关系：(3)真包含关系：对于集合A、B,如果AB,并且AB,我们就说集合A是集合 B 的真子集,记作AB.空集是任何非空集合的真子集.显然,若A,则 A.即:(4)集合的运算交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与 B 的交集,记作AB,即AB=x|xA,且xB.并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合叫做集合
3、A与 B 的并集,记作AB,即AB=x|xA,或 xB.补集:设 S 是一个集合,A是 S 的一个子集(即AS),由S 中所有不属于A的元素组成的集合,叫做 S 中子集A的补集(或余集),记作 CsA,即CsA=x|xS,且 xA.注:集合与集合的关系特例:设集合A=1,2,3,B=x|xA,则A B,B.亦可B.三、集合之间的运算性质 Cs(AB)=(CsA)(CsB),Cs(AB)=(CsA)(CsB).1.交集的运算性质AB=BA,ABA,ABB,AA=A,A=,AB AB=A.2.并集的运算性质AB=BA,ABA,ABB,AA=A,A=A,AB AB=B.3.补集的运算的性质Cs(Cs
4、A)=A,Cs=S,CsS=A(CsA)=,A(CsA)=S,设S为全集,AS,则:四、有限集合的子集个数公式其中,真子集有 2n-1 个,非空子集有 2n-1 个,非空真子集有2n-2 个.2.对任意的有限集合A、B、C 有:card(AB)=card(A)+card(B)-card(AB);1.设有限集合 A中有 n 个元素,则A的子集有:Cn+Cn+Cn+Cn2n 个.012ncard(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(BC)-card(CA)+card(ABC).1.已知全集为 R,A=y|y=x2+2x+2,B=y|y=x2+2x-
5、8,求:(1)AB;(2)ACRB;(3)(CRA)(CRB).评注 本题涉及集合的不同表示方法,准确认识集合A、B是解答本题的关键.对(3)也可计算CR(AB).1,+)(-,-9)1,+)(-,-9)2.已知集合A=x|x2-x-60,B=x|0 x-m9.(1)若AB=B,求实数 m 的取值范围;(2)若AB,求实数 m 的取值范围.评注(1)注意下面的等价关系:AB=B AB;AB=A AB;(2)用“数形结合思想”解题时,要特别注意“端点”的取舍.-6,-2(-11,3)典型例题 评注(1)本题将两集合之间的关系转化为两曲线之间的关系,然后用数形结合的思想求出 a 的范围,既快又准确
6、.准确作出集合对应的图形是解答本题的关键.(2)讨论两曲线的位置关系,最常见的解法还有讨论其所对应的方程组的解的情况.该题若用此法,涉及解无理方程与无理不等式,解起来较繁.xoy-444-4 3.已知集合 M=(x,y)|y=16-x2,y0,N=(x,y)|y=x+a,若MN=,求实数 a 的取值范围.评注 本题解答过程中,不断实施各种数学语言间的等价转换脱去集合符号和抽象函数的“外衣”,找出本质的数量关系.这是解答本题的关键.4.已知 f(x)=x2+px+q,且集合A=x|f(x)=x,B=x|f f(x)=x.(1)求证:AB;(2)如果A=-1,3,求 B.(-,-4(4 2,+)-
7、3,-1,3,3 课堂练习 1.若a,1=a2,a+b,0,则 a2006+b2007=.ab2.若集合 M=-1,1,2,N=y|y=x2,xM,则 MN 是()A.1,2,4 B.1 C.1,4 D.1B3.若集合 M=12,a,集合P=x|0,xZ 且 MP=0,记 MP=S,则集合 S 的真子集个数是()A.8B.7C.16D.15x-2x+14.已知集合 S,M,N,P如图所示,D则图中阴影部分表示的集合是()A.M(NP)B.MCs(NP)C.MCs(NP)D.MCs(NP)PMNSD5.集合 P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1,2,9,且 PQ,把满足上述条件的一对有序整数
8、(x,y)作为一个点,这样的点的个数是()A.9B.14C.15D.21B 6.已知 M=-1,0,1,N=y|y=cosx,xM,则 MN 为()A.-1,0,1B.0,1C.0D.1D7.集合 A和 B 各含 6 个元素,AB含 3 个元素,C 同时满足三个条件:CAB;C 中含有 3 个元素;CA,则这样的集合 C 的个数是()A.82B.83C.84D.219BC8.集合 M=a,0,N=x|2x2-5x0,B=x|(x-k)(x-k-1)0,若AB,则 k 的取值范围是.10.集合 M=m|m=2a-1,aZ 与 N=n|n=6b1,bZ 之间的关系是.k2 N M(-2,-1)3
9、11.已知 R 为全集,A=x|log(3-x)-2,B=x|1,求CRAB.x+252112.调查 100 名有携带药品出国的旅游者,其中 75 人带有感冒药,80 人带有胃药,那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值和最小值分别为多少?解:设既带感冒药又带胃药的人数为 x,既不带感冒药又不带胃药的人数为 a.记这100名出国旅游者组成全集 I,其中带感冒药的人组成集合A,带胃药的人组成集合 B.则 x=card(AB)且 card(A)=75,card(B)=80,依题意得:a+card(A)+card(B)-x=100,0a20.x=a+55,0a20.55x75.故既带感冒药又带胃药的人数
10、的最大值为 75,最小值为 55.13.已知函数 f(x)=ax2-1,aR,xR,设集合A=x|f(x)=x,集合 B=x|ff(x)=x,且A=B,求实数 a 的取值范围.由A=x|ax2-x-1=0,得 a-.14对任一 x0A,必有 x0B,AB;又 B 中元素为方程 a(ax2-1)2-1=x 即a3x4-2a2x2-x+a-1=0 的实根,由 AB 知 a3x4-2a2x2-x+a-1 含有因子 ax2-x-1.a3x4-2a2x2-x+a-1=0 即为(ax2-x-1)(a2x2+ax-a+1)=0.A=B,a2x2+ax-a+1=0 无实根或其实根为 ax2-x-1=0 的实根.由 a2x2+ax-a+1=0 无实根得:a ;34当 a2x2+ax-a+1=0 有实根且为 ax2-x-1=0 的实根时,ax2-x-10,ax2=x+1.a2x2+ax-a+1=0 可化为 a(x+1)+ax-a+1=0,解得 x=-.12a代入 ax2-x-1=0,得:a=.34综上所述,实数a 的取值范围是-,.341413.解:
