1、阶段检测试题(一)(时间:120分钟满分:150分) 【选题明细表】知识点、方法题号函数概念与表示1,2函数的基本性质3,5,8,10,16指数函数与对数函数7,17,18二次函数与幂函数9,12函数图象4函数与方程14,15导数的概念与几何意义13导数在研究函数中的应用11,19,20,21,22定积分及应用6一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是(B)(A)y=()2(B)y=(C)y= (D)y=解析:函数y=x与函数y=的定义域与对应关系均相同.2.(2015高考新课标全国卷)设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)等于
2、(C)(A)3(B)6(C)9(D)12解析:因为-21,所以f(log212)=6.所以f(-2)+f(log212)=9.故选C.3.(2016辽宁实验中学月考)函数y=f(x)在0,2上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是(B)(A)f(1)f()f()(B)f()f(1)f()(C)f()f()f(1)(D)f()f(1)f()解析:因为f(x+2)是偶函数,所以f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(x)=f(4-x),所以f()=f(),f()=f().又012,f(x)在0,2上单调递增,所以f()f(1)f(),即f()f(1)f().故选B.4.(201
3、6菏泽二模)已知函数f(x)=则y=f(2-x)的大致图象是(A)解析:法一因为函数f(x)=则y=f(2-x)=故函数f(2-x)仍是分段函数,以x=1为界分段,只有A符合.法二因为y=f(x)与y=f(2-x)的图象关于x=1对称,画出y=f(x)的图象后即可得出选项.5.设函数f(x)=2x+-1(x0),则f(x)(A)(A)有最大值(B)有最小值(C)是增函数(D)是减函数解析:令导函数f(x)=2-=0,由x0,故原函数f(x)在x(-,- )上是增函数;同理当x-,0)时,f(x)为减函数.故f(x)=2x+-1(x0时,0()x1,因为关于x的方程()x=有正根,所以01,所以
4、解得-1lg a0,所以0.1a1.故选C.8.(2016青岛质检)如果函数y=f(x)在区间I上是增函数,而函数y=在区间I上是减函数,那么称函数y=f(x)是区间I上的“缓增函数”,区间I叫做“缓增区间”,若函数f(x)=x2-x+是区间I上的“缓增函数”,则“缓增区间”I为(D)(A)1,+)(B)0, (C)0,1 (D)1,解析:f(x)=x2-x+在区间1,+)上是增函数,y=x-1+,则y=-=;故y=x-1+在-,0),(0,上是减函数.故“缓增区间” I为1,.故选D.9.已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1x2f(x2);x1f(x
5、1);.其中正确结论的序号是(D)(A)(B)(C)(D)解析:依题意,设f(x)=x,则有()=,所以=,于是f(x)=.由于函数f(x)=在定义域0,+)内单调递增,所以当x1x2时,必有f(x1)f(x2),从而有x1f(x1),所以正确.10.(2016湖北名校联考)设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意xR,都有f(x-2)=f(x+2),且当x-2,0时,f(x)=()x-1.若在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3个不同的实数根,则a的取值范围是(D)(A)(1,2) (B)(2,+) (C)(1,)(D)(,2)解析:因为f(x)是定义在R
6、上的偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称.因为对xR,都有f(x-2)=f(x+2),所以f(x)是周期函数,且周期为4.因为当x-2,0时,f(x)=()x-1,所以f(x)在区间(-2,6内的图象如图所示.所以在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)恰有3个不同的实数根可转化为函数f(x)的图象与y=loga(x+2)的图象有且只有三个不同的交点,则解得a(,2).故选D.11.设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为(B)(A)1-ln 2(B)(1-ln 2)(C)1+ln 2(D)(1+ln 2)解析:法一交换y=ex
7、中x,y的位置可得y=ln(2x),则两曲线关于直线y=x对称,所以当曲线y=ex和y=ln(2x)的切线的斜率都为1时,两条切线间的距离即为|PQ|的最小值(如图). 令y=ex=1,得x=ln 2.所以y=ex的斜率为1的切线的切点是(ln 2,1),所以切点(ln 2,1)到直线y=x的距离为d=.所以|PQ|min=2d=2=(1-ln 2).故选B.法二交换y=ex中x,y的位置可得y=ln (2x),则两曲线关于直线y=x对称,则|PQ|的最小值为曲线y=ex上的点到直线y=x最小距离的2倍.由函数y=ex上的点P(x,ex)到直线y=x的距离为d=,设函数g(x)=ex-x,则g
8、(x)=ex-1=0,得x=ln 2,当xln 2时g(x)ln 2时g(x)0,所以x=ln 2是函数g(x)在其定义域上唯一的极小值点也是最小值点,所以g(x)min=1-ln 20.由图象关于y=x对称得,|PQ|的最小值为2dmin=(1-ln 2),故选B.12.设D是函数y=f(x)定义域内的一个区间,若存在x0D,使f(x0)=-x0,则称x0是f(x)的一个“次不动点”,也称f(x)在区间D上存在“次不动点”,若函数f(x)=ax2-3x-a+在区间1,4上存在“次不动点”,则实数a的取值范围是(D)(A)(-,0)(B) (0, )(C) ,+)(D) (-, 解析:设g(x
9、)=f(x)+x,依题意,存在x1,4,使g(x)=f(x)+x=ax2-2x-a+=0.当x=1时,g(1)=0;当x1时,由ax2-2x-a+=0得a=.记h(x)=(10;当x(2,4)时,h(x)0,即函数h(x)在(1,2)上是增函数,在(2,4)上是减函数,因此当x=2时,h(x)取得最大值,最大值是h(2)=,故满足题意的实数a的取值范围是(-,.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2014高考江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.解析:由题意有y=-e-x,设P(m,n),直线2x+y+1=0的斜率为-2,则由题
10、意得-e-m=-2,解得m=-ln 2,所以n=e-(-ln 2)=2.答案:(-ln 2,2)14.已知0a0和k0作出函数f(x)的图象.当0k1或k0时,没有交点,故当0k1时满足题意.答案:(0,1)15.(2016鹤壁质检)已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x0,1时,f(x)=x2.若在区间-1,3内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为.解析:依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),即函数f(x)是以2为周期的函数,g(x)=f(x)-kx-k在区间-1,3内有4个零点,即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图
11、象在区间-1,3内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示),直线y=k(x+1)恒过点(-1,0),可知当k(0, 时,相应的直线与函数y=f(x)在区间-1,3内有4个不同的交点,故实数k的取值范围是(0, .答案: (0,16.设函数f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意的xR恒有f(x+1)=f(x-1),已知当x0,1时f(x)= ()1-x,则2是函数f(x)的周期;函数f(x)在(1,2)上是减函数,在(2,3)上是增函数;函数f(x)的最大值是1,最小值是0;当x(3,4)时,f(x)= ()x-3.其中所有正确命题的序号是.解析:由f(x+1)=f(
12、x-1)可得f(x+2)=f(x+1)+1 =f(x+1-1)=f(x),所以2是函数f(x)的一个周期.又函数f(x)是定义在R上的偶函数,且x0,1时,f(x)= ()1-x,所以函数f(x)的简图如图,由简图可知也正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=2x,g(x)=+2.(1)求函数g(x)的值域;(2)求满足方程f(x)-g(x)=0的x的值.解:(1)g(x)=+2=()|x|+2,因为|x|0,所以0()|x|1,即20时满足2x-2=0,整理得(2x)2-22x-1=0,(2x-1)2=2,故2x=1,因为2x0,所以2x
13、=1+,即x=log2(1+).18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log2(-1x1)为奇函数,其中a为不等于1的常数.(1)求a的值;(2)若对任意的x-1,1,f(x)m恒成立,求m的取值范围.解:(1)因为f(x)=log2(-1x1)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)log2=-log2,=对x-1,1恒成立,所以(5+ax)(5-ax)=(5+x)(5-x)a=1,因为a为不等于1的常数,所以a=-1.(2)因为f(x)=log2(-1x1),设t=(-1x1),所以g(t)=log2t,因为t=-1+在-1,1上递减,所以t,又因为g(t)=log2t在,上是增函数,所
14、以g(t)min=log2.因为对任意的x-1,1,f(x)m恒成立,所以g(t)minm,所以m0,f(x)在区间-e,0)上单调递增,所以f(x)min=f(-e)=-1,不满足最小值是3.若a0时,则当x-e,0)时,f(x)0,f(x)在区间-e,0)上单调递增,f(x)min=f(-e)=-ae-10,也不满足最小值是3.若-a0,则当x-e,0)时,f(x)=a-0,故函数f(x)在-e,0)上单调递增,所以f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,解得a=-,故舍去.若a-,则当-ex时,f(x)=a-0,函数f(x)在-e, )上单调递减;当x0时,f(x)=a-0,函数f(
15、x)在,0)上单调递增.所以f(x)min=f()=1-ln(-)=3,解得a=-e2.综上可知,存在实数a=-e2,使得当x-e,0)时,f(x)的最小值是3.20.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+aln(x+1)有两个极值点x1,x2,且x1m成立,求实数m的取值范围.解:(1)由f(x)=x2+aln(x+1)得f(x)=2x+=(x-1).令g(x)=2x2+2x+a,则其图象的对称轴为x=-,故由题意可知x1,x2是方程g(x)=0的两个均大于-1的不相等的实数根,其充要条件为解得0a,即a的取值范围是(0,).(2)由(1)可知f(x)=,其中-1x10,即f(x)在区间
16、(-1,x1)上单调递增;当x(x1,x2)时,f(x)0,即f(x)在区间(x2,+)上单调递增.(3)由(2)可知f(x)在区间(x1,+)上的最小值为f(x2).由于g(0)=a0,因此由g(x)的图象知-x20.由g(x2)=2+2x2+a=0可得a=-(2+2x2),从而f(x2)=+aln(x2+1)=-(2+2x2)ln(x2+1).设h(x)=x2-(2x2+2x)ln(x+1),其中-x0,则h(x)=2x-2(2x+1)ln(x+1)-2x=-2(2x+1)ln(x+1).由-x0,ln(x+1)0,故h(x)在(-,0)上单调递增,所以f(x2)=h(x2)h(-)=.故
17、实数m的取值范围为(-,.21.(本小题满分12分)如图所示,有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分),边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离.工人师傅要将缺损的一角切割下来,使剩余部分成一个五边形,若AB=1 m,AD=0.5 m,问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大? 解:由题设知,边缘线OM是以D为焦点,直线AB为准线的抛物线的一部分.以O为原点,AD所在直线为y轴建立如图所示的直角坐标系,则D(0, ),M(,),所以边缘线OM所在抛物线的方程为y=x2(0x).要使五边形ABCEF的面积最大,则必有EF所在直线与抛物线相切.当切点在点O或M处时
18、,切割后剩余部分构不成五边形,所以切点不在点O,M处.设切点为P(t,t2) (0t),则直线EF的方程为y=2t(x-t)+t2,即y=2tx-t2,由此可求得点E,F的坐标分别为(,),(0,-t2),所以SDEF=(+t2)=.设f(t)=SDEF,则f(t)=,显然,函数f(t)在(0,上是减函数,在,)上是增函数,所以当t=时,f(t)取得最小值,即SDEF取得最小值,相应地,五边形ABCEF的面积取得最大值.此时,点E,F的坐标分别为(,),(0,- ),即沿直线EF:4x-12y-1=0切割,可使五边形ABCEF的面积最大.22.(本小题满分12分)(2015大庆模拟)已知函数f
19、(x)=(ax-2)ex在x=1处取得极值.(1)求a的值;(2)求函数f(x)在m,m+1上的最小值;(3)求证:对任意x1,x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|e.(1)解:f(x)=aex+(ax-2)ex=(ax+a-2)ex,由已知得f(1)=0,即(2a-2)e=0,解得a=1,验证知,当a=1时,在x=1处函数f(x)=(x-2)ex取得极小值,所以a=1.(2)解:f(x)=(x-2)ex,f(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.x(-,1)1(1,+)f(x)-0+f(x)单调递减单调递增所以函数f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.当m1时,
20、f(x)在m,m+1上单调递增,f(x)min=f(m)=(m-2)em.当0m1时,m1m+1,f(x)在m,1上单调递减,在1,m+1上单调递增,f(x)min=f(1)=-e.当m0时,m+11,f(x)在m,m+1上单调递减,f(x)min=f(m+1)=(m-1)em+1.综上,f(x)在m,m+1上的最小值f(x)min=(3)证明:由(1)知f(x)=(x-2)ex,f(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.令f(x)=0得x=1,因为f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0,所以f(x)max=0,f(x)min=-e,所以,对任意x1,x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|f(x)max-f(x)min=e.
