1、首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场想一想：1用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的 x轴与 y轴，两轴交于点 O，且使xOy45(或 135)，它们确定的平面表示水平面(2)已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴或 y轴的线段(3)已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半2用斜二测
2、画法画空间几何体的直观图的步骤：(1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox、Oy，再作 Oz 轴，使xOy90，yOz90.(2)画出与 Ox、Oy、Oz 对应的轴 Ox、Oy、Oz，使xOy45，yOz90，xOy所确定的平面表示水平平面(3)已知图形中，平行于 x 轴、y 轴和 z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴、y轴和 z轴的线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同(4)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半(5)擦除辅助线，遮挡部分用虚线表示，就得到了
3、几何体的直观图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场做一做：1关于“斜二测”直观图的画法，以下说法不正确的是(C)(A)原图中平行于 x 轴的线段，其对应线段平行于 x轴，长度不变(B)原图中平行于 y 轴的线段，其对应线段平行于 y轴，长度变为原来的12(C)画与直角坐标系 xOy 对应的 xOy时，xOy必须是 45(D)在画直观图时，由于选轴不同，所得直观图可能不同解析：由斜二测画法知原图中与 x 轴，y 轴平行的线段在直观图中与 x轴，y轴平行，平行于 x 轴的线段长度不变，平行于 y 轴的线段长度变为原来的12，C 中xOy可以为45或 135.故选 C.首页末页上一页
4、下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2下列叙述正确的是(B)(A)正三角形的直观图是正三角形(B)平行四边形的直观图是平行四边形(C)矩形的直观图是矩形(D)圆的直观图一定是圆解析：直观图能保持原图形的平行性不变，但平行于 y 轴的线段的长度，原图形中的角都要改变，故 A、C 错，圆的直观图为椭圆故选 B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3如图，ABC是ABC 的水平放置的直观图，ABy轴，则ABC 是(C)(A)钝角三角形(B)锐角三角形(C)直角三角形(D)等边三角形解析：因为 ABy轴，ACx轴，所以 ABAC，ABC 是直角三角形，故选 C.首页末页上一页下一页瞻
5、前顾后要点突破典例精析演练广场4如图，ABC 是正三角形，其边长为 a，建立如图(1)所示的直角坐标系，其直观图的面积为_；建立如图(2)所示的直角坐标系，其直观图的面积为_首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点一：平面图形直观图的画法用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：建系、定点、连线成图选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；原图中的共线点，在直观图中仍是共线点，原图中的平行线，在直观图中仍是平行线画圆的直观图时，通常使用不同尺寸的椭圆模板会画圆的直观图，就能画出
6、圆柱、圆锥的直观图，如图所示知识要点二：空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法步骤：画轴、画底面、画高、成图空间几何体的直观图的画法规则比平面图形直观图的画法规则只是多了一个 z 轴和它的平行射影 z轴，并且使平行于 z轴的线段的平行性和长度都不变画图完成后，擦除辅助线，看得见的地方用实线，被遮挡的部分用虚线(或不画)，就得到了几何体的直观图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场知识要点三：组合体的直观图的画法较复杂的几何体，可以看作是由简单的几何体经过切割或组合而成，所以它们的直观图也可以看作是由简单的几何体的直观图经过切割或组合而成知识要点四：三视图与直观图空间几何
7、体的三视图与直观图有着密切的联系三视图能帮助人们从不同侧面和不同角度认识几何体的结构特征，直观图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据直观图的结构来想象实物的形象，同时能由空间几何体的三视图得到它的直观图，也能够由几何体的直观图得到它的三视图区别在于三视图在工程制图中被广泛采用，且线段的长度有严格的规定绘制物体的直观图一般采用斜投影或中心投影，可以显示空间几何体的直观形象，但作图复杂，且线段的长度不如三视图要求严格首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场画出平面图形的直观图【例 1】用斜二测画法，画出如图所示OAB 水平放置的直观
8、图思路点拨：按斜二测画法的步骤绘制，注意变化的是与 y 轴平行的线段首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：(1)在平面三角形中建立如图所示的直角坐标系 xOy，再建立如图所示的坐标系xOy，使xOy45.(2)在图中作 ACx轴于 C，作 BDx轴于 D.在坐标系 xOy中作 OCOC，ODOD，分别交 x轴于点 C、D.(3)在坐标系 xOy中作 CAy轴，并截取 CA12CA；作 DBy轴，并截取 DB12DB.(4)连接 OA、OB、AB，去掉辅助线，得到OAB，即为OAB 水平放置的直观图如图所示画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置顶点位置可以分
9、为两类，一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上或不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来确定首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 11：如图，ABC是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形画法：(1)画直角坐标系 xOy，在 x 轴上取 OAOA，即 CACA；(2)过 B作 BDy轴，交 x轴于 D，在 x轴上取 ODOD，过 D 作 DBy轴，并使 DB2DB.(3)连接 AB、BC，ABC 即为ABC原来的图形，如图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场平
10、面图形与直观图的度量关系图(1)【例 2】如图(1)所示，四边形 ABCD 是一个梯形，CDAB，CDAO1，AOD为等腰直角三角形，O 为 AB 的中点，试求梯形 ABCD 水平放置的直观图的面积思路点拨：先根据斜二测画法画出直观图.图(2)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：在梯形 ABCD 中，AB2，高 OD1.由于梯形 ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底 CD 和下底 AB 的长度都不变，如图(2)所示在直观图中，OD12OD，梯形的高 DE 24，于是，梯形 ABCD的面积 S12(12)24 3 28.由原图形的面积求直观图的面积，关键是确定直观图的形
11、状；根据斜二测画法的规则，作出直观图之后，求出其边长和高，进而求出其面积首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 21：已知ABC 的平面直观图ABC是边长为 a 的正三角形，那么原ABC 的面积为()(A)32 a2 (B)34 a2 (C)62 a2 (D)6a2解析：如图，作出直观图中的坐标系 xOy，使 BC在 x轴上，点 A在 y轴上，转移到原图中，则有 BCBCa.OA2OA2 32 a2 6a，SABC12BCOA12a6a 62 a2.故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场画空间几何体的直观图【例 3】画出棱长为 2 cm 的正方体的
12、直观图思路点拨：正方体的底面是正方形，可利用正方体从任一顶点的三条棱互相垂直的特征建系解：(1)画轴如图，画出 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 A，使xAy45，xAz90.(2)画底面作水平放置的正方形的直观图 ABCD，使 ABCD2 cm，ADBC1 cm，如图.(3)画侧棱过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取 2 cm长的线段 AA、BB、CC、DD.(4)成图顺次连接 A、B、C、D，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的正方体的直观图(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以
13、便可以较快较准确地画出(2)画空间几何体的直观图，比画平面图形的直观图增加了一个z 轴，表示竖直方向(3)z 轴方向上的线段方向与长度都与原来保持一致首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场变式训练 31：粉碎机的下料斗是四棱台形，它的两底面边长分别是 80 mm 和 440 mm，高是 200 mm，试画出这个四棱台的直观图解：(1)如图所示，建立空间直角坐标系使xOy45，xOz90；(2)在 x 轴上以O 为中点，截取 AC80 2 mm，在 y 轴上截取 BD40 2 mm.连接 AB、BC、CD、DA；(3)在 z 轴上，截取 OO200 mm，以 O为坐标原点建立空间直
14、角坐标系，使xOy45，xOz90；(4)在 x轴上以 O为中点，截取 AC440 2 mm，在 y轴上截取 BD220 2 mm，连接 AB、BC、CD、DA；(5)连接 AA、BB、CC、DD，并擦去辅助线，被遮挡部分画成虚线(如图所示)首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场由三视图画直观图【例 4】由下列几何体的三视图画出直观图思路点拨：由几何体的三视图知，这个几何体是一个三棱柱首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：(1)画轴如图，画出 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使xOy45，xOz90.(2)画底面作水平放置的三角形(俯视图)的直观图AB
15、C.(3)画侧棱过 A、B、C 各点分别作 z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段 AA、BB、CC.(4)成图顺次连接 A、B、C，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图由三视图画几何体的直观图时，首先要认清几何体的形状与大小，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场1下列说法正确的是(B)(A)相等的线段在直观图中仍然相等(B)若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行(C)两个全等三角形的直观图一定也全等(D)两个图形的直观图是全
16、等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形解析：用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，原图中的平行线在直观图中仍是平行线，故选 B.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场2如图，OAB是OAB 的水平放置的直观图，其中 OAOB2，则OAB 的面积是(C)(A)22 (B)1 (C)4 (D)8解析：在 RtOAB 中，OA2，OB4，OAB 的面积 S12244，故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场3如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是(A)解析：由直观图的画法规则可知平面图形中在 y 轴上的对角线的长度应
17、是直观图中在 y轴上相应长度的 2 倍故选 A.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场4一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45、腰和上底长均为 1 的等腰梯形，则这个平面图形的面积是(D)(A)1222 (B)1 22(C)1 2 (D)2 2解析：如图(1)，等腰梯形 ABCD为水平放置的原平面图形的直观图，作DEAB交 BC于 E，由条件得 EC 2AB 2，所以 BC1 2.由斜二测直观图画法规则，等腰梯形 ABCD的直观图为图(2)所示直角梯形ABCD，且 AB2，BC1 2，AD1，所以面积 SABCD2 2.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析
18、演练广场5水平放置的ABC 的直观图如图所示，已知 AC3，BC2，则原图中AB 边上中线的实际长度为_解析：由直观图知C90，AB 为斜边，CA3，BC4，AB5，AB 边上中线的实际长度为12AB2.5.答案：2.5首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场能力提升6如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是(C)解析：按斜二测画法的规则，并注意到xOy90，xOy45，将图形还原成原平面图形可得首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场7一个几何体是由一些大小相同的小正方块摆成的，其俯视图与正视图如图所示，则组成这个几何体的小正方块最多有(C)(A)4 个 (B
19、)5 个 (C)6 个 (D)7 个解析：从正视图看，左、右两列都有上下二层，从俯视图看，左列有前后两层，右列只有前后一层，故最多有这种小正方块 236 个故选 C.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场8如图，已知ABC 的平面直观图ABC是腰长为 a 的等腰直角三角形，那么原ABC 的面积为_解析：由题图知 ACa，AB 2a，原图形为直角三角形，A 为直角顶点，SABC12 2a2a 2a2.答案：2a2首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场9如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图解：由几何体的三视图知，这个几何体是一个圆台画法：(1)画轴画
20、 x 轴、y 轴、z 轴，使xOy45，xOz90.(2)画圆台的两底面取下底面O 和上底面O的直径为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出O 与O.(3)取 OO为正视图的高度(4)成图如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场10由下列几何体的三视图画出直观图首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场解：由几何体的三视图知道，这个几何体是一个简单的组合体它的上部是一个四棱柱，下部是一个四棱台，并且四棱柱与四棱台有一个底面重合(1)画轴如图，画出 x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点 O，使xOy45，xOz90.(2)画底面作出水平放置
21、的正方形(俯视图)的直观图，画出四棱台的两个底面 ABCD 和ABCD，如图.(3)画侧棱过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段 AA、BB、CC、DD，如图.(4)成图连接 AA、BB、CC、DD、AB、BC、CD、DA，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图，如图.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场探究创新11用斜二测画法画出多边形 A1A2An 的直观图 A1A2An，试探索多边形A1A2An与 A1A2An的面积之间有无确定的数量关系(提示：先从三角形入手)解：(1)设有ABC，CD 为
22、高，AB 边平行于 x轴，其直观图为ABC，则有 CD12CD，ABC的高为 CM 22 CD 24 CD，所以 SABC12ABCM12AB24 CD 24 SABC.首页末页上一页下一页瞻前顾后要点突破典例精析演练广场(2)当ABC 的三边都不与 x 轴平行时，必可过其一个顶点作与 x 轴平行的直线与对边相交，不妨设可过 A 作直线交 BC 于 D，则 AD 将ABC 分成两个三角形ABD 和ACD，由(1)可知SABCSABDSACD 24 SABD 24 SACD 24 SABC.(3)对多边形 A1A2An，可连接 A1A3，A1A4，A1An1，得到(n2)个三角形，即A1A2A3，A1A3A4，A1An1An，由(1)和(2)知S 多边形 A1A2AnSA1A2A3SA1A3A4SA1An1An 24(SA1A2A3SA1A3A4SA1An1An)24 S 多边形 A1A2An.综上可知，一个多边形与其直观图的面积之间有确定的数量关系
