1、第五节归纳推理与类比推理1归纳推理(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性(2)特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理2类比推理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理在类比推理中，可从定义、性质、方法结论中类比，易忽视类比推理中结论不一定正确试一试1数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33 D27解析：选B由523,1156,20119.则x2012，因此x32.2(2014长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，
2、对于给定的两个函数：S(x)axax，C(x)axax，其中a0，且a1，下面正确的运算公式是()S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)A BC D解析：选B经验证易知错误依题意，注意到2S(xy)2(axyaxy)，又S(x)C(y)C(x)S(y)2(axyaxy)，因此有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)；同理有2S(xy)S(x)C(y)C(x)S(y)综上所述，选B.归纳推理与类比推理的步骤(1)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现
3、某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)；检验猜想(2)类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)；检验猜想练一练在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为_解析：.答案：18考点一类比推理1.给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：“若a，bR，则ab0ab”类比推出“a，cC，则ac0ac”；“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“a，b，c，dQ，则ab
4、cdac，bd ”；“a，bR，则ab0ab”类比推出“若a，bC，则ab0ab”；“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选B类比结论正确的有.2在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体 ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”解析：三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体
5、ABCD(S1S2S3S4)r.答案：V四面体ABCD(S1S2S3S4)r类题通法类比推理的分类类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移考点二归纳推理典例(1)(2013陕西高考)观察下列等式(11)21(21)(22)2213(31)(32
6、)(33)23135照此规律， 第n个等式可为_(2)已知函数f(x)(x0)如下定义一列函数：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，fn(x)f(fn1(x)，nN，那么由归纳推理可得函数fn(x)的解析式是fn(x)_.解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n1)，(nn)，右边为连续奇数之积乘以2n，则第n个等式为：(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)依题意得，f1(x)，f2(x)，f3(x)，由此归纳可得fn(x)(x0)答案(1)(n1)(n2)(n3)(nn)2n135(2n1)(2)(x0)类题通法
7、归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳针对训练下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是_解析：由图知第n个图形的小正方形个数为123n.总个数为.答案：课堂练通考点1(2013汕头模拟)观察下列各式：112,23432,3456752,4567891072，可以得出的一般结论是()An(n1)(n2)(3n2)n2Bn(n1)(n
8、2)(3n2)(2n1)2Cn(n1)(n2)(3n1)n2Dn(n1)(n2)(3n1)(2n1)2解析：选B由条件得一般结论为：n(n1)(n2)(3n2)(2n1)2.2给出下列三个类比结论(ab)nanbn与(ab)n类比，则有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay与sin()类比，则有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2与(ab)2类比，则有(ab)2a22abb2.其中结论正确的个数是()A0B1C2 D3解析：选B只有正确3观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28 B76C123 D199解
9、析：选C记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11.通过观察不难发现f(n)f(n1)f(n2)(nN，n3)，则f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以a10b10123.4(2013青岛期末)如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，xn，都有f.若ysin x在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C的最大值是_解析：由题意知，凸函数满足f，s
10、in Asin Bsin C3sin3sin.答案：5设等差数列bn的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论设等比数列an的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列解析：对于等比数列，通过类比等差数列，有等比数列an的前n项积为Tn，则T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，所以a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，所以T4，的公比为q16，因此T4，成等比数列答案：6(2014山西四校联考)已知x(0，)，观察下列各式：x2，x3，x4，类比得xn1(nN)，则a_.解析：第
11、一个式子是n1的情况，此时a111；第二个式子是n2的情况，此时a224；第三个式子是n3的情况，此时a3327，归纳可知ann.答案：nn课下提升考能第组：全员必做题1观察下列各式：553 125,5615 625，5778 125，则52 011的末四位数字为()A3 125B5 625C0 625 D8 125解析：选D553 125,5615 625,5778 125,58390 625，591 953 125,5109 765 625，5n(nZ，且n5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n(nZ，且n5)的末四位数字为f(n)，则f(2 011)f(50147)f(7
12、)52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.2由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“”类比得到“”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1 B2C3 D4解析：选B正确，错误3在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体PABC的内切球体积为
13、V1，外接球体积为V2，则()A.B.C.D.解析：选D正四面体的内切球与外接球的半径之比为13，故.4下列推理中属于归纳推理且结论正确的是()A设数列an的前n项和为Sn.由an2n1，求出S112，S222，S332，推断：Snn2B由f(x)xcos x满足f(x)f(x)对任意xR都成立，推断：f(x)xcos x为奇函数C由圆x2y2r2的面积Sr2，推断：椭圆1(ab0)的面积SabD由(11)221，(21)222，(31)223，推断：对一切nN，(n1)22n解析：选A选项A由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，其前n项和等于Snn2，选项D中的推理属于归
14、纳推理，但结论不正确5将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为()A809 B852C786 D893解析：选A前20行共有正奇数13539202400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是24051809.6在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么类比得到的结论是_解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积
15、类比为直角三角形的斜边，可得SSSS.答案：SSSS7若an是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(mn)ap(np)am(pm)an0，类比上述性质，相应地，对等比数列bn，有_解析：设bn的首项为b1，公比为q，则bbb(b1qp1)mn(b1qm1)np(b1qn1)pmbq01.答案：bbb18(2013湖北高考)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中ABC是格点三角形，对应的S1，N0，L4.(1)图中格点四边形D
16、EFG对应的S，N，L分别是_；(2)已知格点多边形的面积可表示为SaNbLc，其中a，b，c为常数若某格点多边形对应的N71，L18，则S_(用数值作答)解析：(1)由定义知，四边形DEFG由一个等腰直角三角形和一个平行四边形构成，其内部格点有1个，边界上格点有6个，S四边形DEFG3.(2)由待定系数法可得，当N71，L18时，S17118179.答案：(1)3,1,6(2)799平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S底高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的；请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结
17、论解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V底面积高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.10(2012福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin 13cos 17；(2)sin215cos215sin 15cos 15；(3)sin218cos212sin 18cos 12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos 48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式
18、子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30).证明如下：法一：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin )2sin (cos 30cos sin 30sin )sin2cos2sin cos sin2sin cos sin2sin2cos2.法二：sin2cos2(30)sin cos(30)sin (cos 30cos
19、sin 30sin )cos 2(cos 60cos 2sin 60sin 2)sin cos sin2cos 2cos 2sin 2sin 2(1cos 2)1cos 2cos 2.第组：重点选做题1观察下列算式：131，2335，337911，4313151719，若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 013”这个数，则m_.解析：某数m3按上述规律展开后，等式右边为m个连续奇数的和，观察可知每行的最后一个数为1120,5221,11322,19423，所以第m行的最后一个数为m2(m1)因为当m44时，m2(m1)1 979，当m45时，m2(m1)2 069，所以要使等式右边含有“2 013”这个数，则m45.答案：452(2014东北三校联考)在数列an中，a11，a22，an(1)n2an2(n3，nN)，其前n项和为Sn.(1)a2n1关于n的表达式为_；(2)观察S1，S2，S3，S4，Sn，在数列Sn的前100项中相等的项有_对解析：(1)2，又a11，从而a2n1(2)n.(2)由(1)及条件知，数列an为1,2，2,22，(2)2,23，(2)3，24，从而可知S1S3，S5S7，S9S11，故在Sn的前100项中相等的项有25对答案：(1)a2n1(2)n(2)25
