1、20192020学年第一学期高二第一次月考数学试题（理科）命题人：琚冰源 审题人：王宏伟【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1下列命题正确的是()A棱柱的侧面都是长方形B棱柱的所有面都是四边形C棱柱的侧棱不一定相等D一个棱柱至少有五个面2下列推理错误的是()ABCD3已知正四棱柱中，,为的中点，则异面直线和所成角的余弦值为( )ABCD 4已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为()ABC D5如果三点，在同一条直线上，则()ABCD6若是两条不同的直线
2、，是三个不同的平面：；若，则.则以上说法中正确的个数为()A BCD7已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且，则棱锥的体积为()AB C D 8圆台的两个底面面积之比为，母线与底面的夹角是，轴截面的面积为，则圆台的母线长()ABCD129已知平面平面，点，直线，直线，直线，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() ABCD10某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是() ABCD11如图，在正三棱柱中，,，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为() AB CD12如图，已知矩形中，,为边的中点，将沿直线翻折成，若是线段的中点，则在翻折过
3、程中，下列命题：线段的长是定值；存在某个位置，使; 点的运动轨迹是一个圆；存在某个位置，使得面正确的个数是()A B C D 第卷（非选择题 90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分。13一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“数”字面相对的是“_”字面14九章算术卷5商功记载一个问题“今有圆堡壔（do）,周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为四丈八尺，高一丈一尺，则它的体积是_立方尺.（取，丈尺）15已知平面外两点到平面的距离分别是和，在平面内的射影之间的距离为，则线段的长度为_16在正三棱锥中，点是的中点，且，底面边长，则正三棱锥的外
4、接球的表面积为_三、解答题：本大题共6小题，共70分。 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（10分）如图，是正方形，是正方形的中心，平面，是的中点。（1）求证：平面； （2）求证：平面平面。 18（12分）如图，三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面 面。（1）求证：；（2）求三棱锥的体积19（12分）如图，长方体中，点分别在上，.过点的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值。20（12分）如图，在四棱锥中，底面，是的中点（1）求和平面所成的角的大小；（2）求二面角的正弦值 21（12分
5、）如图，在正方体中，分别是的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）棱上是否存在点，使得 平面？请证明你的结论。22（12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的菱形，且，分别为的中点。（1）证明：平面；（2）若二面角的大小是，求点到平面的距离。20192020学年第一学期高二第一次月考数学答案（理科）15DCBCA 610 BADBA 1112 DB13.学 14. 2112 15. 16.12 17 (1)证明连接OE，如图所示O、E分别为AC、PC的中点，OEPA.OE面BDE，PA面BDE，PA面BDE.5分(2)证明PO面ABCD，POBD.在正方形ABCD中，BDAC，又POACO
6、，BD面PAC.又BD面BDE，面PAC面BDE.10分18. (1) 取AC的中点D，连接PD,BD. 在中，PA=PC, ,在中，BA=BC,又,.6分 ，,由(1)知，, 在中, BA=BC=4, ,又,在中, PA=PC,易知, ,= .12分19.(1)交线围成的正方形EFGH如图所示：.6分.(2)作，垂足为M，则,因为EFGH是正方形，所以EH=EF=BC=10,于是 故,.,因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为（或者 ）.12分20. (1)解在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面P
7、AD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在RtPAB中，ABPA，故APB45.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45. .4分(2)证明在四棱锥PABCD中，因为PA底面ABCD，CD平面ABCD，故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD. .8分过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如图所示由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则可证得AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，
8、可得CAD30.设ACa，可得PAa，ADa，PDa，AEa.在RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMa.在RtAEM中，sinAME.所以二面角APDC的正弦值为.12分21.解：(1).连接BD,因为E,G分别为AB,AD的中点，所以,又因为,所以为异面直线EG与所成角，在中，因为,所以.4分(2).在棱CD 上取点T，使得DT=DC,则 平面，.5分证明如下：延长BC，交于H，连EH交DC于K，因为 ,F为的中点，所以C为BH中点。因为,所以,且KC=,因为DT=DC,E为AB中点，所以TK/AE且TK=AE,即四边形AEKT为平行四边形，所以AT/EK,即AT/EH,又,所以 平面.12分22、（1）取BC的中点G，连接GD,GP,BD,在中，BC=CD, ,所以为正三角形，又因为G是BC中点， ,因为 ,所以,又,故,因为E,F分别为AD,PA的中点，所以,又,所以平面 ,又,故 .4分（2）因为，所以.则为二面角PADB的平面角，即，因为PD=4,所以EF=2,因为AB=2AE=2,且,所以 ,BF=1,且,因为，所以,所以,所以三棱锥PBCD的高为2.于是三棱锥PBCD的体积, .6分在中，BF=1,AB=2,所以,则在中， 所以,于是 的面积 设点D到平面PBC的距离为d，三棱锥PBCD的体积与三棱锥DPBC的体积相等。所以 ，故 .12分
