1、第5讲 解三角形应用举例1.2024黑龙江省实验中学开学考试中国古代四大名楼之一鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而闻名遐迩.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37 m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30和45，在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15，则鹳雀楼的高度MN约为（B）A.64 mB.74 mC.52 mD.91 m解析在RtABC中，ABBC，AB37，ACB30，所以AC2AB74，在RtMNC中，NCMN，MCN45，所以MNMCsin 4522MC.由题
2、意，MAC153045，MCA1804530105，故AMC1801054530.在ACM中，由正弦定理MCsinMACACsinAMC，得MCsin4574sin30，故MC74sin45sin30742，所以MN2274274，故选B.2.设问创新/多选/2024江苏南通阶段检测重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引了众多游客打卡拍照.某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图所示，A为解放碑的顶端，B为基座（B在A的正下方），在步行街（与B在同一水平面内）上选取C，D两点，测得CD的长为100 m.小组成员利用测角仪已测得ACB6，则根据下列各组中的测量数据，能
3、计算出解放碑高度AB的是（ABD）A.BCD，BDCB.ACD，ADCC.BCD，ACDD.BCD，ADC解析对于A，根据CD，BCD，BDC，可解三角形求得CB，从而在RtABC中求得AB，所以A符合题意.对于B，根据CD，ACD，ADC，可解三角形求得AC，从而在RtABC中求得AB，所以B符合题意.对于C，根据CD，ACB，BCD，ACD四个条件，无法通过解三角形求得AB，所以C不符合题意.对于D，第一步，ACB已知，在RtABC中，用AB表示出BC，AC；第二步，在BCD中，根据余弦定理用AB表示出BD，在ACD中，根据正弦定理用AB表示出AD；第三步，在RtABD中，利用勾股定理列方
4、程，即可求得AB.所以D符合题意.3.2023皖豫名校联考如图，一艘巡逻船由南向北行驶，在A处测得某山的底部C在北偏东15方向上，匀速向北航行20 min到达B处，此时测得该山的底部C在北偏东60方向上，测得山顶P（P在C正上方）的仰角为60，已知山的高度为23 km.则巡逻船的航行速度为6（31）km/h.解析由题意知，在BCP中，PC23 km，PBC60，故tanPBCPCBC3，得BC2 km.在ABC中，BCA601545，则BCsinBACABsinBCA，即2sin 15ABsin 45，而sin 15sin（4530）624，所以AB24622（31）（km）.所以巡逻船的航行
5、速度为2（31）136（31）（km/h）.4.2023郑州一中期中如图所示，遥感卫星发现某海域上有三个小岛，小岛B位于小岛A北偏东75的60海里处，在小岛B北偏东15方向上，相距（30330）海里处有一个小岛C.（1）求小岛A与小岛C之间的距离；（2）如果有游客想直接从小岛A出发到小岛C，求游船航行的方向.解析（1）在ABC中，AB60，BC30330，ABC1807515120，根据余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcosABC602（30330）2260（30330）cos 1205 400，得AC306，小岛A与小岛C之间的距离是306海里.（2）根据正弦定理得，ACsinABC
6、ABsinACB，306sin12060sinACB，得sinACB22，又0ACB60，ACB45，CAB1801204515.由751560得，游船应该沿北偏东60的方向航行.5.2023贵州诊断镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图所示的模型中，已知人眼距离地面高度h1.5 m，某建筑物高h14.5 m，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物顶部的位置，测量人与镜子间的距离a11.2 m，将镜子后移a m，重复前面的操作，测量人与镜子间的距离a23.2 m，则a（A）A.6 B.5 C.4 D.3 解析如图，设建筑物最高点为A，建筑物底部为O，第一次观察时镜面位置
7、为B，第一次观察时人眼睛位置为C，第二次观察时镜面位置为D，设O到B之间的距离为a0 m，由光线反射性质得ABOCBD，所以tanABOtanCBD，即h1a0ha1，同理可得h1a0aha2，由可得a0aa0a2a1，解得a0a1aa2a1，代入整理得ah1（a2a1）h4.5（3.21.2）1.56，故选A.6.背景创新1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长（即视角最大，视角是指由物体两端引出的两条光线在眼球内交叉而成的角）？这个问题被称为米勒问题，诺德尔教授给出解答，以悬杆的延长线和水平地面的交点为圆心，悬杆两端点到地面的距离的积
8、的算术平方根为半径在地面上作圆，则圆上的点对悬杆视角最大.米勒问题在实际生活中应用十分广泛.某人观察一座山顶上的铁塔，塔高90 m，山高160 m，此人站在对塔“最大视角”（忽略人身高）的水平地面位置观察此塔，则此时“最大视角”的正弦值为（B）A.12B.941C.1625D.916解析如图，由诺德尔教授对米勒问题的解答，设此时的视角为，易知塔底距离地面的高度为BC160 m，塔顶离地面的高度为AC90160250（m），则人距塔的距离CDACBC200 m，由C90得BDBC2CD24041（m），ADAC2CD25041（m），则在ABD中cos AD2BD2AB22ADBD4041，故s
9、in 1cos21（4041）2941.故选B.7.2024青岛市检测海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”.若要测量如图所示某蓝洞口边缘A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD8海里，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点间的距离为85海里.解析如图所示，在ACD中，ADCADBBDC13515150，DCA15，则DAC1801501515，即ACD为等腰三角形，又CD8，所以AD8.在BCD中，BDC15，DCBDCAACB15120135，则DBC1801513530，又CD8，所以由BDsinDCBCDsinD
10、BC，得BDsin1358sin30，所以BD82.在ABD中，AD8，BD82，ADB135，所以AB2AD2BD22ADBDcosADB82（82）22882（22）825，所以AB85海里.8.2024北京市密云二中月考某自然保护区为研究动物种群的生活习性，设立了两个相距12 km的观测站A和B，观测人员分别在A，B处观测该动物种群.如图，某一时刻，该动物种群出现在点C处，观测人员从两个观测站分别测得BAC30，ABC60，经过一段时间后，该动物种群出现在点D处，观测人员从两个观测站分别测得BAD75，ABD45.（注：点A，B，C，D在同一平面内）（1）求ABD的面积；（2）求点C，D
11、之间的距离.解析（1）在ABD中，BAD75，ABD45，所以ADB60.由正弦定理ADsinABDABsinADB，得ADsin45ABsin60，所以ADsin45sin60AB22321246（km）.因为sinBADsin 75sin（4530）22（3212）624，所以ABD的面积SABD12ABADsinBAD121246624（36123）（km2）.（2）由BAD75，BAC30，ABC60，得CAD45，AC32AB63（km）.在ACD中，由余弦定理，得CD2AC2AD22ACADcosCAD363166263462260.所以CD60215（km）.即点C，D之间的距离为215 km.
