1、基础诊断考点突破第4讲 函数yAsin(x)的图像及应用基础诊断考点突破最新考纲 1.了解函数yAsin(x)的物理意义；能画出yAsin(x)的图像，了解参数A，对函数图像变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型基础诊断考点突破知 识 梳 理1“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.x232 2x02322yAsin(x)0A0A0 基础诊断考点突破(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得
2、到yAsin(x)在一个周期内的图像(3)扩展：将所得图像，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图像基础诊断考点突破2函数 yAsin(x)中各量的物理意义当函数 yAsin(x)(A0，0)，x0，)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：简谐振动振幅周期频率相位初相yAsin(x)(A0，0)，x0，)AT2f1Tx基础诊断考点突破3.函数ysin x的图像经变换得到yAsin(x)的图像的两种途径基础诊断考点突破诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩 PPT 展示(1)将函数 y3sin 2x 的图像左移4个单位长度后所得图像的解析式是 y3sin2x4.()(2)利
3、用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()基础诊断考点突破(3)函数 yAcos(x)的最小正周期为 T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图像求解析式时，振幅 A 的大小是由一个周期内图像中最高点的值与最低点的值确定的()基础诊断考点突破解析(1)将函数 y3sin 2x 的图像向左平移4个单位长度后所得图像的解析式是 y3cos 2x.(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为|.故当 1 时平移的长度不相等答案(1)(2)(3)(4)基础诊断考点突破2y2sin2x4 的振幅、频率和初相分别为
4、()A2，1，4B2，12，4C2，1，8D2，12，8答案 A基础诊断考点突破3(2016全国卷)若将函数 y2sin2x6 的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为()Ay2sin2x4By2sin2x3Cy2sin2x4Dy2sin2x3基础诊断考点突破解析 函数 y2sin2x6 的周期为，将函数 y2sin2x6 的图像向右平移14个周期即4个单位，所得函数为 y2sin2x4 6 2sin2x3，故选 D.答案 D基础诊断考点突破4(2017衡水中学金卷)将函数 ysin6x4 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐标不变)，再向右平移8个单位，所得函数图像的一个对
5、称中心是()A.16，0B.9，0C.4，0D.2，0基础诊断考点突破解析 将函数 ysin6x4 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 3倍，可得函数 ysin2x4 的图像，再向右平移8个单位长度，所得函数的解析式为 ysin 2x，令 2xk，xk2(kZ)，故所得函数的对称中心为k2，0，(kZ)，故所得函数的一个对称中心是2，0，故选 D.答案 D基础诊断考点突破5.(教材改编)如图，某地一天，从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b(A0，0,0)，则这段曲线的函数解析式为_基础诊断考点突破解析 从图中可以看出，从 614 时是函数 yAsin(x)b 的半个周期，又12
6、2 146，所以 8.由图可得 A12(3010)10，b12(3010)20.又8102，解得 34，y10sin8x34 20，x6,14答案 y10sin8x34 20，x6,14基础诊断考点突破考点一 函数 yAsin(x)的图像及变换【例 1】设函数 f(x)sin x 3cos x(0)的周期为.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图像；(2)说明函数 f(x)的图像可由 ysin x 的图像经过怎样的变换而得到基础诊断考点突破解 f(x)sin x 3cos x212sin x 32 cos x 2sinx3，又T，2，即 2，f(x)2sin2x3.(1)令 z2x
7、3，则 y2sin2x3 2sin z.基础诊断考点突破列表，并描点画出图像：x612371256z02322ysin z01010y2sin2x302020基础诊断考点突破(2)法一 把 ysin x 的图像上所有的点向左平移3个单位，得到 ysinx3 的图像；再把 ysinx3 的图像上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin2x3 的图像；最后把 ysin2x3 上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin2x3 的图像基础诊断考点突破法二 将 ysin x 的图像上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到 ysin 2x 的
8、图像；再将 ysin 2x 的图像向左平移6个单位，得到 ysin 2x6 sin2x3 的图像；再将 ysin2x3 的图像上每一点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，得到 y2sin2x3 的图像基础诊断考点突破规律方法 作函数 yAsin(x)(A0，0)的图像常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作 yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设 zx，由 z 取 0，2，32，2 来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图像；(2)图像的变换法，由函数 ysin x 的图像通过变换得到 yAsin(x)的图像有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移
9、”基础诊断考点突破【训练 1】设函数 f(x)cos(x)0，20 的最小正周期为，且 f4 32.(1)求 和 的值；(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在0，上的图像基础诊断考点突破解(1)T2，2，又 f4 cos24 32，sin 32，又20，3.基础诊断考点突破(2)由(1)得 f(x)cos2x3，列表：2x33023253x06512231112f(x)12101012描点画出图像(如图)基础诊断考点突破考点二 由图像求函数 yAsin(x)的解析式【例 2】(1)将函数 f(x)sin(2x)22 的图像向右平移(0)个单位长度后，得到函数 g(x)的图像，若 f(x)，g
10、(x)的图像都经过点 P0，32，则 的值为_(2)函数 f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图像如图所示，则函数 f(x)的解析式为_基础诊断考点突破解析(1)将函数 f(x)sin(2x)22 的图像向右平移(0)个单位长度后，得到函数 g(x)sin2(x)sin(2x2)的图像，若 f(x)，g(x)的图像都经过点 P0，32，所以 sin 32，sin(2)32，所以 3，sin32 32.又 0，所以53 323，所以3243.即 56.基础诊断考点突破(2)由题图可知 A 2，法一 T471234，所以 T，故 2，因此 f(x)2sin(2x)，又3，0 对应五点法作图
11、中的第三个点，因此 23，所以 3，故 f(x)2sin2x3.基础诊断考点突破法二 以3，0 为第二个“零点”，712，2 为最小值点，列方程组3，71232，解得2，3，故 f(x)2sin2x3.答案(1)56 (2)f(x)2sin2x3基础诊断考点突破规律方法 已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图像求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)五点法，由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图像上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或x0)，即可求出；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)
12、坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求基础诊断考点突破【训练 2】(2016全国卷)函数 yAsin(x)的部分图像如图所示，则()Ay2sin2x6By2sin2x3Cy2sinx6Dy2sinx3基础诊断考点突破解析 由题图可知，T236，所以 2，由五点作图法可知 232，所以 6，所以函数的解析式为 y2sin2x6，故选 A.答案 A基础诊断考点突破考点三 三角函数模型及其应用【例 3】某实验室一天的温度(单位：)随时间 t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10 3cos 12tsin 12t，t0,24)(1
13、)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于 11，则在哪段时间实验室需要降温？基础诊断考点突破解(1)因为 f(t)10232 cos 12t12sin 12t102sin12t3，又 0t24，所以3 12t311 时实验室需要降温，由(1)得 f(t)102sin12t3，故有 102sin12t3 11，即 sin12t3 12.又 0t24，因此76 12t3116，即 10t0)图像上最高点的纵坐标为 2，且图像上相邻两个最高点的距离为.(1)求 a 和 的值；(2)求函数 f(x)在0，上的单调递减区间基础诊断考点突破解(1)f(x)4cos x sinx6 a4co
14、s x32 sin x12cos x a2 3sin xcos x2cos2x11a 3sin 2xcos 2x1a2sin2x6 1a.当 sin2x6 1 时，f(x)取得最大值 21a3a.基础诊断考点突破又 f(x)最高点的纵坐标为 2，3a2，即 a1.又 f(x)图像上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期为 T，22T 2，1.基础诊断考点突破(2)由(1)得 f(x)2sin2x6，由22k2x632 2k，kZ，得6kx23 k，kZ.令 k0，得6x23.函数 f(x)在0，上的单调递减区间为6，23.基础诊断考点突破规律方法 函数yAsin(x)(A0，0)的单调区
15、间和对称性的确定，基本思想是把x看做一个整体在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性对称性是三角函数图像的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想基础诊断考点突破【训练 4】已知函数 f(x)2 3sinx24 cosx24 sin(x)(1)求 f(x)的最小正周期；(2)若将 f(x)的图像向右平移6个单位长度，得到函数 g(x)的图像，求函数 g(x)在区间0，上的最大值和最小值基础诊断考点突破解(1)f(x)2 3sinx24 cosx24 sin(x)3cos xsin x2sinx
16、3，于是 T21 2.(2)由已知得 g(x)fx6 2sinx6，x0，x66，76，sinx6 12，1，g(x)2sinx6 1,2，故函数 g(x)在区间0，上的最大值为 2，最小值为1.基础诊断考点突破思想方法1五点法作图及图像变换问题(1)五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凸凹方向；(2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角x的变化2由图像确定函数解析式解决由函数yAsin(x)的图像确定A，的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图像的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置要善于抓住特殊量和特殊点基础诊断考点突破易错防范1由函数ysin x的图像经过变换得到yAsin(x)的图像，如先伸缩再平移时，要把x前面的系数提取出来2复合形式的三角函数的单调区间的求法函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的确定，基本思想是把x看做一个整体若0，要先根据诱导公式进行转化3求函数yAsin(x)在xm，n上的最值，可先求tx 的范围，再结合图像得出yAsin t的值域
