1、万里国际学校2013届高三上学期期中数学理试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 集合,集合，则( )A. B. C. D. 2. 函数的零点个数为（ ）A0 B1 C2 D33棱长为2的正方体的外接球与内切球的体积之比为（ ）A B C D4“成立”是“成立”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件5各项都是正数的等比数列中，成等差数列，则的值为（）A B C1 D1或6已知空间两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A.若 B.若C.若 D.若则7将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来2的倍，再向左平移个单位，所
2、得图象的函数解析式是 ( ) A. B. C. D.8. 已知三棱锥的俯视图与侧视图如右，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( ) 9. 如右图，半圆的直径为，为圆心，为半圆上不同于 的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是 ( )A B C D 10.定义在区间上的函数的图象如右下图所示，记以,为顶点的三角形的面积为，则函数的导函数的图象大致是( )二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11若，则的最小值是 . 12设向量满足，则 .13已知，则 .14直线与圆交于两点，为坐标原点，则 .15如图，已知点是棱长为1的正方体棱
3、 的中点，则点到平面的距离是_.16设实数满足不等式，若的最大值为1，则常数的取值范围是 .17如图，在边长为1的正方体中，为正方体内一动点(包括表面)，若，且.则点所有可能的位置所构成的几何体的体积是 .三、解答题（本大题共5小题，共69分）18（本题满分13分）已知的三个内角所对的边分别为,向量，且 .（1）求角的大小；（2）若，试判断取得最大值时形状.19（本题满分14分）已知菱形的边长为2，对角线与交于点，且，为的中点.将此菱形沿对角线折成二面角.（I）求证：面 面；（II）若二面角为时，求直线 与面所成角的余弦值.20（本题满分14分）已知数列的前n项和为，对任意的，点，均在函数的图
4、像上.（）求数列的通项公式； （）记，求使成立的的最大值.21如图所示，正方形与矩形所在 平面互相垂直，,点为的中点.（）求证：； （）求证：；（III）在线段上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.22（本题满分14分）已知函数 且导数. （）试用含有的式子表示，并求单调区间; （II）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“伴侣切线”.特别地，当时，又称存在“中值伴侣切线”.试问：在函数上是否存在两点使得它存在“中值伴侣切线”.若存在，求出的坐标，若不存在，说明理由. 2012-2013学年度第一学期期中考试高三理科
5、数学参考答案一、1.A 2.B 3.C 4.B 5.C 6.D 7.A 8.C 9.B 10.D二、11.; 12.; 13.; 14.; 15.; 16.; 17.（）在， . 8分，即, 11分又由（）知故取得最大值时，为等边三角形. 13分19解：证：（I） 6分 是直线AM 与面AOC所成的角 10分 在正中， ， 在中， 20解：（）由题意得 ， 则 所以 5分 又 所以 7分21解：（） , 点E为的中点,连接的中位线 / 2分又 4分（II）正方形中, , 由已知可得：， , 9分故当时，二面角的大小为 14分(注：其它方法同样得分)22解：（）的定义域为 ，（II） 在函数上不存在两点A、B使得它存在“中值伴侣切线”。 假设存在两点，不妨设，则，= 8分在函数图象处的切线斜率令，则，上式化为：，即令， 则由， 在上单调递增，
