1、第1页第二篇考前自主回顾第2页专题一 核心素养与数学文化第3页最新普通高中数学课程标准中明确提出数学六大核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六大数学核心素养可划分成三类，其中数学抽象和直观想象是数学的物理特性，逻辑推理和数学运算体现数学的思维严谨性，数学建模和数据分析彰显数学的实际应用性.20172019 年全国卷高考多渠道渗透优秀传统数学文化，培养和践行社会主义核心价值观随着新课程标准实施，高考命题必将以数学核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，落实立德树人的根本任务，推动人才培养模第4页式的改革创新因此，我们特别策划了本专题，将数学核心素
2、养视角下的数学命题、数学文化与高考命题相结合，选择典型例题深度解读，希望能够给予广大师生复习备考提供帮助第5页一、数学核心素养1数学抽象与逻辑推理数学抽象是数学的最核心素养，是形成理性思维的重要基础；逻辑推理就是要得到数学结论，提出或者验证数学命题的思维过程数学研究对象的确立依赖于数学抽象，而数学内部自身的发展依赖于数学推理第6页【典例 1】(1)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩根据以上信息，则()A乙可以知道四人的成绩B丁可以知道四人的
3、成绩C乙、丁可以知道对方的成绩D乙、丁可以知道自己的成绩D第7页(2)已知函数 f(x)3x13x1xsinx，若x2,1，使得f(x2x)f(xk)0 在 x2,1上恒成立，函数 f(x)在 x2,1上递增第9页若x2,1，使得 f(x2x)f(xk)0 成立，则 f(x2x)f(xk)f(x2x)f(kx)x2xx22x，即 k(x22x)min，当 x2,1时，yx22x(x1)21 的最小值为1.故实数 k 的取值范围是(1，)第10页【点评】(1)第(1)题对考生逻辑推理、数学抽象等数学核心素养有着不同层次的要求，求解的关键是由条件信息推理判断乙、丙中一人优秀，一人良好，从而甲、丁中
4、一人优秀，另一人良好(2)第(2)题求解的关键在于：利用定义判断 f(x)的奇偶性及 x2,1时，函数 f(x)的单调性，理解存在量词的含义，将命题转化为x2,1时，kx22x，即 k(x22x)min.题目突出数学逻辑推理与转化化归数学思想方法的考查第11页2直观想象与数学运算直观想象是指借助几何直观形象和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思想过程数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的思维过程第12页【典例 2】如图，点列An，Bn分别在某锐角的两边上，且|AnAn1|An1An2|，AnAn2，nN*，|BnBn1|Bn1Bn2|，BnBn2，
5、nN*(PQ 表示点 P 与点 Q 不重合)若 dn|AnBn|，Sn 为AnBnBn1 的面积，则()ASn是等差数列BS2n是等差数列Cdn是等差数列Dd2n是等差数列A 第13页【解析】作 A1C1，A2C2，A3C3，AnCn 垂直于直线B1Bn，垂足分别为 C1，C2，C3，Cn，则 A1C1A2C2AnCn.|AnAn1|An1An2|，|CnCn1|Cn1Cn2|.设|A1C1|a，|A2C2|b，|B1B2|c，则|A3C3|2ba，|AnCn|(n1)b(n2)a(n3)，n1 和 n2 时也符合Sn12c(n1)b(n2)a12c(ba)n(2ab)，Sn1Sn12c(ba
6、)(n1)(2ab)(ba)n(2ab)12c(ba)，数列Sn是等差数列第14页【典例 3】已知从 2 开始的连续偶数蛇形排列成宝塔形的数表，第一行为 2，第二行为 4,6，第三行为 12,10,8，第四行为 14,16,18,20，如图所示，在该数表中位于第 i 行、第j 列的数记为 aij，如 a3210，a5424.若 aij2 018，则 ij_.24 612 10 814 16 18 2030 28 26 24 22 72第15页【解析】第 1 行有 1 个偶数，第 2 行有 2 个偶数，第n行有 n个偶数，则前 n行共有123nnn12(个)偶数，2 018 在从 2 开始的偶数
7、中排在第 1 009 位，所以nn121 009，所以 n45.当 n44 时，第 44 行第 44 个偶数为44441221 980，所以第 44 行结束时最右边的偶数为 1 980.由题意得 2 018 排在第 45 行的第 27 位，所以 ij452772.第16页3数学建模与数据分析数学建模对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程；数据分析针对研究对象获取相关数据，运用统计方法对数据进行整理、分析和推理，形成关于研究对象知识的过程数学建模与数据分析体现了数学的应用性第17页【典例 4】秸秆还田是当今世界上普遍重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝
8、了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花 137 600 元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入 6 万元(已减去所用柴油费)；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用 y(元)与使用年数 n 的关系为 yknb(n2，且 nN*)，已知第二年付费 1 800 元，第五年付费 6 000 元第18页(1)试求出该农机户用于维修保养的费用 f(n)(元)与使用年数 n(nN*)的函数关系式；(2)这台收割机使用多少年，可使年平均收益最大？(收益收入维修保养费用购买机械费用)
9、第19页【解】(1)依题意知，当 n2 时，y1 800；当 n5 时，y6 000，即1 8002kb，6 0005kb，解得k1 400，b1 000，所以 f(n)0，n11 400n1 000，n2且nN*.第20页(2)记使用 n 年，年均收益为 W(元)，则依题意知，当 n2 时，W60 0001n137 6001 400(23n)1 000(n1)60 0001n137 6001 400n1n221 000n1第21页60 0001n(137 200700n2300n)60 300700n137 200n60 3002700n137 200n40 700，当且仅当 700n137
10、 200n，即 n14 时取等号所以这台收割机使用 14 年，可使年均收益最大第22页【典例 5】某市一水电站的年发电量 y(单位：亿千瓦时)与该市的年降雨量 x(单位：毫米)有如下统计数据：2013年2014年2015年2016年2017年降雨量 x(毫米)1 5001 4001 9001 6002 100发电量 y(亿千瓦时)7.47.09.27.910.0第23页(1)若从统计的 5 年中任取 2 年，求这 2 年的发电量都高于7.5 亿千瓦时的概率；(2)由表中数据求得线性回归方程为y0.004xa，该水电站计划 2019 年的发电量不低于 8.6 亿千瓦时，现由气象部门获悉 2019
11、 年的降雨量约为 1 800 毫米，请你预测 2019 年能否完成发电任务？第24页【解】(1)从统计的 5 年发电量中任取 2 年，基本事件为 7.4,7.0，7.4,9.2，7.4,7.9，7.4,10.0，7.0,9.2，7.0,7.9，7.0,10.0，9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共10 个；其中这 2 年的发电量都高于 7.5 亿千瓦时的基本事件为9.2,7.9，9.2,10.0，7.9,10.0，共 3 个所以这 2 年发电量都高于 7.5 亿千瓦时的概率为 P 310.第25页(2)因为 x 1 5001 4001 9001 6002 10058 5005
12、1 700，y 7.47.09.27.910.0541.55 8.3.又直线y0.004xa过点(x，y)，所以 8.30.0041 700a，解得a1.5，所以y0.004x1.5.当 x1 800 时，y0.0041 8001.58.78.6，所以预测该水电站 2019 年能完成发电任务第26页二、数学文化以数学文化为背景的数学命题解决的关键是抽象出相应的数学问题，问题的背景主要涉及：程序框图、数列、概率统计、平面图形及空间几何体第27页【典例 6】数的概念起源于大约 300 万年前的原始社会，如图 1 所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计
13、数”图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，右边绳子上的结每满 7 个即在左边的绳子上打一个结，请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为()B第28页A336 B510 C1 326 D3 603第29页【解析】由题意知，图 2 中的“结绳计数”法是七进制计数法，所以图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为 S173372271670510.第30页【典例 7】中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他活动的民间艺术，在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分
14、在如图所示的古代正八边形窗花矢量图片中，ABBC 22，则向正八边形窗花矢量图片中任投一点，落在正方形 DEFG 中的概率为()C第31页A.2 212B.2 214C.212D.214第32页【解析】设 AB1，则 BC 2，根据对称性可知，落在正方形 DEFG 中的概率为1 21212 2 2 212.第33页【典例 8】九章算术卷第五商功中有记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广刍，草也甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍，如图，四边形 ABCD 为正方形，四边形 ABFE，CDEF 为两个全等的等腰梯形，AB4，EFAB
15、，且 EF12AB，若这个刍甍的体积为403，则 CF 的长为()A1 B2C3 D4C第34页【解析】取 CD，AB 的中点分别为 M，N，连接 FM，FN，MN，则多面体分割为棱柱与棱锥部分，设 E 到平面 ABCD的距离为 h，则124h21342h403，解得 h2.依题意可知，点 E，F 在平面 ABCD 内的射影恰好是 DN与 CN 的中点，又 CN 1642 5，CF12CN 2h2 543.第35页【典例 9】九章算术之后，人们学会了用等差数列的知识来解决问题，张丘建算经卷上第 22 题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第 2 天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织 5
16、 尺布，现一月(按 30 天计)共织 390 尺布”，则从第 2 天起每天比前一天多织_尺布1629第36页【解析】每天织布数依次构成一个等差数列an，其中a15，设该等差数列的公差为 d.则一月织布 S3030530292d150435d390，解之得 d1629，故从第 2 天起每天比前一天多织1629尺布第37页【典例 10】数书九章三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法以S，a，b，c 分别表示三角形的面积，大斜、中斜、小斜；ha，hb，hc 分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高：则 S14a2c2a2c2b222 12aha12bhb12chc.若在ABC 中ha 3，hb2，hc3.根据上述公式，可以推出该三角形外接圆的半径为_144 3143第38页【解析】根据题意可知，abc2 3，故设 a2 3x，b3x，c2x，由 S14a2c2a2c2b22212aha12bhb12chc代入 a，b，c，可得 x 12143，由余弦定理可得 cosA 112，第39页所以 sinA 14312，所以由正弦定理得三角形外接圆半径为a2sinA2 3x2sinA144 3143.
