1、9.2导数的应用组基础题组1.(2015浙江苍南巨人中学模拟)函数y=4x2+的单调递增区间为()A.(0,+)B.C.(-,-1)D.2.(2014课标,11,5分)若函数f(x)=kx-lnx在区间(1,+)单调递增,则k的取值范围是()A.(-,-2B.(-,-1C.2,+)D.1,+)3.(2016福建四地六校联考,7,5分)若函数f(x)=x+alnx不是单调函数,则实数a的取值范围是()A.0,+)B.(-,0C.(-,0)D.(0,+)4.(2015浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)=x3+bx2+cx的图象如图所示,则+等于()A.B.C.D.5.(2013浙江,8,5分)已知
2、e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则()A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值6.(2014陕西,10,5分)如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x7.(2015福建,10,5分)若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f(x)满足f(
3、x)k1,则下列结论中一定错误的是()A.fC.f8.(2015湖南师大附中月考三)设函数f(x)=x3-ax2+3x-2.若f(x)在区间上单调递减,试求实数a的取值范围.9.(2015浙江名校(镇海中学)交流卷自选模块(二),03(2)已知函数f(x)=x2+alnx(x0)在1,+)上单调递增,求a的取值范围.10.(2015浙江新高考研究卷自选模块二(慈溪中学),03(2)已知函数f(x)=ax2-4bx+2alnx(a,bR),若函数f(x)存在极大值和极小值,求的取值范围.11.(2015浙江台州中学第三次统练,03(2)已知函数f(x)=alnx-bx2图象上一点P(2,f(2)
4、处的切线方程为y=-3x+2ln2+2.(1)求a,b的值;(2)若方程f(x)+m=0在区间内有两个不等实根,求m的取值范围.12.(2015浙江名校(杭州二中)交流卷自选模块(三),03(2)已知函数f(x)=(ax2+2x)ex在0,2上单调递增,求实数a的取值范围.13.(2015浙江新高考研究卷自选模块一(镇海中学),03(2)设x1,x2是函数f(x)=x3+x2-a2x的两个极值点.若a0,且|x1|+|x2|=2,求证:|b|.14.(2015江苏,19,16分)已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,bR).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的
5、常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-,-3),求c的值.B组提升题组1.(2015东北三校一联)若函数f(x)=2x3-3mx2+6x在(2,+)上为增函数,则实数m的取值范围是()A.(-,2)B.(-,2C.D.2.(2014辽宁,11,5分)当x-2,1时,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,则实数a的取值范围是()A.-5,-3B.C.-6,-2D.-4,-33.(2015安徽,10,5分)函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a0,b0,d0B.a0,b0,c0C.a0,b0,d0D.a0,b0,c0,d0时,x
6、f(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)5.(2016山西八校联考,10,5分)设点P在曲线y=ex上,点Q在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为()A.1-ln2B.(1-ln2)C.1+ln2D.(1+ln2)6.(2015浙江新高考研究卷自选模块五(学军中学),03(2)已知函数f(x)=x3+3ax2+3x+1,当x2,+)时,f(x)0,求a的取值范围.7.(2015浙江冲刺卷六“复数与导数”模块,03(2)已知函数f(x)=x2+x-2lnx+a在区间(0,2)上恰有
7、一个零点,求实数a的取值范围.8.(2015浙江调研模拟试卷自选模块四(绍兴一中),03)已知函数f(x)=x2-lnx.(1)求函数f(x)在1,e上的最大值;(2)当x0时,不等式f(x)ax-lnx恒成立,求实数a的取值范围.9.(2015重庆,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.10.(2014课标,21,12分)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2.(1)求a;(2)证明:当k0,即8x-0,解得x,函数y=4
8、x2+在上单调递增.故选B.2.D依题意得f(x)=k-0在(1,+)上恒成立,即k在(1,+)上恒成立,x1,01,k1,故选D.3.Cf(x)=1+=,若f(x)=x+alnx不是单调函数,则f(x)=0在(0,+)内有解,所以a0,故选C.4.C由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x3-3x2+2x,所以f(x)=3x2-6x+2.x1,x2是方程3x2-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1x2=,所以+=(x1+x2)2-2x1x2=4-=,故选C
9、.5.C当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),f(x)=xex-1,f(1)0,故A、B错;当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,f(x)=(x2-1)ex-2x+2=(x-1)(x+1)ex-2,故f(x)=0有一根为x1=1,另一根x2(0,1).当x(x2,1)时,f(x)0,f(x)递增,f(x)在x=1处取得极小值.故选C.6.A根据题意知,所求函数在(-5,5)上单调递减.对于A,y=x3-x,y=x2-=(x2-25),x(-5,5),y0,g(x)在R上为增函数.k1,0,则gg(0).而g(0)=f(0)+1=0,g=f-+10,即f-1=,所以选项C错误,
10、故选C.8.解析f(x)=3x2-2ax+3.因为函数f(x)在区间上单调递减,所以f(x)0对一切x恒成立.从而解得a5.9.解析依题意有f(x)=2x-+0对于x1恒成立,即x1时,a-2x2恒成立.令g(x)=-2x2(x1),则g(x)=-4x0),要使函数f(x)存在极大值和极小值,需2ax2-4bx+2a=0有两个不等的正根x1,x2,即解得1.11.解析(1)f(x)=-2bx,f(2)=-4b,f(2)=aln2-4b.-4b=-3,且aln2-4b=-6+2ln2+2.解得a=2,b=1.(2)由(1)知f(x)=2lnx-x2,设h(x)=f(x)+m=2lnx-x2+m,
11、则h(x)=-2x=,令h(x)=0,得x=1(x=-1舍去).当x时,h(x)0,h(x)是增函数;当x(1,e时,h(x)0,h(x)是减函数,则方程h(x)=0在内有两个不等实根的充要条件是解得10时,x=-0,此时g(x)min=g(0)=20,则g(x)0在0,2上恒成立.当a0时,由于g(0)=2,只要g(2)0即可,由a22+2(2a+2)+20得-a0,x1x2=-a0,x1+x2=-,|x1|+|x2|=|x1-x2|=,又|x1|+|x2|=2,+4a=4,即b2=4a2-4a3=4a2(1-a).b20,00得0a,由g(a)0及0a1得0(x0),所以函数f(x)在(-
12、,+)上单调递增;当a0时,若x(0,+),则f(x)0,若x,则f(x)0,所以函数f(x)在,(0,+)上单调递增,在上单调递减;当a0,若x,则f(x)0,所以函数f(x)在(-,0),上单调递增,在上单调递减.(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f=a3+b,则函数f(x)有三个零点等价于f(0)f=b0时,a3-a+c0或当a0时,a3-a+c0.设g(a)=a3-a+c,因为函数f(x)有三个零点时,a的取值范围恰好是(-,-3),则在(-,-3)上,g(a)0均恒成立,从而g(-3)=c-10,且g=c-10,因此c=1.此时,f(x)=x3+ax2+1-a=
13、(x+1)x2+(a-1)x+1-a,因函数f(x)有三个零点,则x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,所以=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-30,且(-1)2-(a-1)+1-a0,解得a(-,-3)1,.综上,c=1.B组提升题组1.D因为f(x)=6x2-6mx+6,当x(2,+)时,有f(x)0,即6x2-6mx+60,则mx+,又因为y=x+在(2,+)上为增函数,故当x(2,+)时,x+,故m,故选D.2.C由题意知x-2,1都有ax3-x2+4x+30,即ax3x2-4x-3在x-2,1上恒成立.当x=0时,aR.当0x1时,a=-+.令t=(t1),g
14、(t)=-3t3-4t2+t,因为g(t)=-9t2-8t+10(t1),所以g(t)在1,+)上单调递减,g(t)max=g(1)=-6,所以a-6.当-2x0,且f(x)=3ax2+2bx+c的图象是开口向上的抛物线,与x轴正半轴有两个不同的交点,则即故选A.4.A令g(x)=,则g(x)=,由题意知,当x0时,g(x)0,从而f(x)0;当x(1,+)时,g(x)0,从而f(x)0.又g(-x)=g(x),g(x)是偶函数,当x(-,-1)时,g(x)0;当x(-1,0)时,g(x)0,从而f(x)0),则g(x)=ex-1,令g(x)=ex-10,得xln2;令g(x)=ex-10,得
15、0x0,所以dmin=.则|PQ|min=2dmin=(1-ln2).故B正确.6.解析当x2,+)时,f(x)0,-3ax+.记g(x)=x+,则g(x)=1-=.当x2,+)时,g(x)0,g(x)在2,+)上单增递增,g(x)min=g(2)=.-3a,即a-.(5分)7.解析f(x)的定义域为(0,+).f(x)=x+1-=,由f(x)0得x1,由f(x)0得0x1.故函数f(x)在区间(0,1上为减函数,在区间1,2)上为增函数,则函数f(x)在区间(0,2)上的极小值为f(1)=a+.故当0x1时,f(x)a+;当1x2时,a+f(x)0),则g(x)=x-a-=(x0).易知g(
16、x)=0只有一正根.设x0是方程g(x)=0(x0)的根,则x(0,x0)时,g(x)0,g(x)min=g(x0),-ax0-lnx00,且2-2ax0-1=0,消去a得1-lnx00,又函数y=1-x2-lnx在(0,+)上为减函数,且x=1时,y=0,0x01,a=x0-.(10分)9.解析(1)对f(x)求导得f(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-处取得极值,所以f=0,即3a+2=-=0,解得a=.(2)由(1)得g(x)=ex,故g(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数
17、;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.10.解析(1)f(x)=3x2-6x+a,f(0)=a,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2.由题设得-=-2,所以a=1.(2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2.设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4.由题设知1-k0.当x0时,g(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4,则g(x)=
18、h(x)+(1-k)xh(x).h(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增,所以g(x)h(x)h(2)=0.所以g(x)=0在(0,+)上没有实根.综上,g(x)=0在R上有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.11.解析(1)f(x)=3ax2+4x-a2,由f(1)=0a=-1或a=4,当a=-1时,f(x)=-3x2+4x-1,f(x)0x1,f(x)0x1,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(1,+)上单调递减,x=1时,函数f(x)取得极大值,a=-1符合题意;当a=4时,f(x)=12x2+4x-16,f(x)0-x0x1,f(x)在上单调递增,在上单调递减,在(1,+)上单调递增,当x=1时,函数f(x)取得极小值,a=4不符合题意.a=-1,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在(1,+)上单调递减.(2)由(1)知f(x)=-x3+2x2-x+b2,f(x)在上单调递减,在上单调递增,在1,2上单调递减.则f(x)在区间0,2上的极大值为f(1)=b2,极小值为f=-+b2,又f(0)=b2=f(1),f(2)=-2+b2f,所以由方程f(x)=b在区间0,2上恰有三个不同的实根,得即b的取值范围是-b0或b.
