1、专题卷04高二上学期10月第一次月考B卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.如图在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1=2且A1AD=A1AB=60，则AC1=A22B10C23D14【答案】B【解析】因为底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧棱 AA1=2 且 A1AD=A1AB=60，则 AB2=1，AD2=1，AA12=4，ABAD=0，ABAA1=ABAA1cosA1AB=1，ADAA1=ADAA1cosA1AD=1，则 AC1=AB+AD+AA1=AB+AD+AA12
2、=AB2+AD2+AA12+2ABAA1+2ABAD+2ADAA1=1+1+4+2+0+2=10.2.已知直线l过点P(1，-2)，且在x轴和y轴上的截距互为相反数，则直线l的方程为()Ax-y-3=0Bx+y+1=0或2x+y=0Cx-y-3=0或2x+y=0Dx+y+1=0或x-y-3=0或2x+y=0【答案】C【解析】解：当直线过原点时，由于斜率为-2-01-0=-2，故直线方程为 y=-2x，即2x+y=0当直线不过原点时，设方程为xa+y-a=1，把点A(1，-2)代入可得a=3，故直线的方程为x-y-3=0，故答案为：2x+y=0，或x-y-3=0，故选：C 3.已知直线ax+by
3、+c-1=0bc0经过圆x2+y2-2y-5=0的圆心，则的最小值是A9B8C4D2【答案】A解：圆0化成标准方程，得6，圆0的圆心为C(0，1)，半径r直线axbyc10经过圆心C，a0b1c10，即bc1，因此b、c0，4，当且仅当2时等号成立由此可得当b2c，即b且c时的最小值为9故选：A4对于任意实数k，直线k2x-1ky-20与点-2，-2的距离为d，则d的取值范围是A0，42B0，42C0，255D0，255【答案】B对于任意实数k，直线(k2)x(1k)y20恒过(2，2)点，当直线与yx垂直时，d取最大值当直线过(2，2)时，d取最小值0，故d的取值范围是故正确；故答案为：B5
4、有下列四个命题：（1）已知A，B，C，D是空间任意四点，则ABBCCDDA0；（2）若两个非零向量AB与CD满足ABCD0，则ABCD；（3）分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量；（4）对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OPxOAyOBzOCx，y，zR，则P，A，B，C四点共面其中正确命题的个数是A3B2C1D0【答案】B【解析】（1）项，由向量的运算可知正确，故（1）项正确；（2）项，若两向量和为零向量，则两向量大小相等方向相反，所以平行，故（2）项正确；（3）项，向量无起始位置，可以在空间中仼意平行，故皆为共面向量，故（3）项错误；（4）
5、项，若 O 点在平面 ABC 外，则 P 点为以 xOA，yOB，zOC 为三棱作出的平行六面体的 O 点的对点，故 P，A，B，C 四点不一定共面，故（4）项错误综上所述，正确选项有 2 个6.直线kx-y=k+2和x-ky=k（k1）与y轴围成的三角形的面积的最小值为A3B22+32C52D2+32【答案】B【解析】直线 kx-y=k+2 与 y 轴交点为 A0,-k-2，x-ky=k 与 y 轴交点为 B0,-1，直线 kx-y=k+2 与 x-ky=k 的交点为 Ckk-1,2-kk-1，SABC=12k+1kk-1=12k-1+2k-1+3122k-12k-1+3=22+32.当且仅
6、当 k=2+1 时，等号成立7.已知点Px,y是直线kx+y+4=0k0上一动点，PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线，A,B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为A3B212C22D2【答案】D【解析】如图，当 CP 垂直于直线时，四边形 PACB 面积最小8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，P是AA1的中点，点M在侧面AA1B1B（含边界）内，若D1MCP，则BCM面积的最小值为A8B4C82D855【答案】D【解析】以 D 为原点，DA 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系，如图，则 P4
7、,0,2，C0,4,0，D10,0,4，B4,4,0，设 M4,a,ba,b0,4，则 D1M=4,a,b-4，CP=4,-4,2，因为 D1MCP，所以 D1MCP=16-4a+2b-8=0，得 b=2a-4，所以 M4,a,2a-4，所以 BM=4-42+a-42+2a-42=5a-1252+165，当 a=125 时，BM 取最小值 455，易知 BC=4，所以 SBCM 的最小值为 455412=855二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长
8、为a，则下列结论正确的是AABA1C1=-a2BBDBD1=2a2CACBA1=-a2DABAC1=2a2【答案】B；C【解析】如图所示：对于A选项，ABA1C1=ABAC=ABAB+AD=AB2=a2，A选项错误；对于B选项，BDBD1=AD-ABBD+DD1=AD-ABAD-AB+AA1=AD2+AB2=2a2，B选项正确；对于C选项，ACBA1=AB+ADAA1-AB=-AB2=-a2，C选项正确；对于D选项，ABAC1=ABAB+AD+AA1=AB2=a2，D选项错误10.关于空间向量，以下说法正确的是A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B若对空间中任意一点O，有
9、OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面C设a,b,c是空间中的一组基底，则a+b,b+c,c+a也是空间的一组基底D若ab0,则a,b是钝角【答案】ABC【解析】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B中，若对空间中任意一点 O，有 OP=16OA+13OB+12OC，根据空间向量的基本定理，可得 P，A，B，C 四点一定共面，所以是正确的；对于C中，由 a,b,c 是空间中的一组基底，则向量 a，b，c 不共面，可得向量 a+b，b+c，c+a 也不共面，所以 a+b,b+c,c+a 也是空间的一组
10、基底，所以是正确的；对于D中，若 ab0交于不同的Ax1,y1，Bx2,y2两点，下列结论正确的有Aax1-x2+by1-y2=0B2ax1+2by1=a2+b2Cx1+x2=aDy1+y2=2b【答案】ABC【解析】两圆方程相减可得直线 AB 的方程为 a2+b2-2ax-2by=0，即 2ax+2by=a2+b2，故B正确；分别把 Ax1,y1，Bx2,y2 代入 2ax+2by=a2+b2，得 2ax1+2by1=a2+b2，2ax2+2by2=a2+b2，两式相减得 2ax1-x2+2by1-y2=0，即 ax1-x2+by1-y2=0，故A正确；由圆的性质可知，线段 AB 与线段 C
11、1C2 互相平分，所以 x1+x2=a，y1+y2=b，故C正确三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.直线l1过点A0,1，l2过点B5,0，若l1l2，且l1与l2的距离为5，则l1与l2的方程分别是_【答案】 l1:12x-5y+5=0，l2:12x-5y-60=0 或 l1:x=0，l2:x=5 【解析】若直线 l1，l2 的斜率不存在，则 l1 的方程为 x=0，l2 的方程为 x=5，它们之间的距离为 5，满足条件若直线 l1，l2 的斜率存在，设两直线的斜率为 k，则 l1 的方程为 y=kx+1，即 kx-y+1=0l2 的方程为 y=kx-5，即 kx-y-5k=
12、0因为直线 l1 过点 A0,1，则点 A 到直线 l2 的距离 d=-1-5kk2+-12=5，解得 k=125，所以 l1 的方程为 12x-5y+5=0，l2 的方程为 12x-5y-60=0综上所述，满足条件的直线方程有两组l1:12x-5y+5=0，l2:12x-5y-60=0 或 l1:x=0，l2:x=514.设O为坐标原点，向量OA=1,2,3，OB=2,1,2，OP=1,1,2，点Q在直线OP上运动，则当QAQB取得最小值时，点Q的坐标为_【答案】 【解析】设，则有， 从而 所以当 t=43，即Q的坐标为时，QAQB 最小15.已知0k4，直线l1:kx-2y-2k+8=0和
13、直线l2:2x+k2y-4k2-4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为_【答案】18【解析】直线 l1:kx-2y-2k+8=0 即 kx-2-2y+8=0，过定点 B2,4，与 y 轴的交点为 C0,4-k；直线 l2:2x+k2y-4k2-4=0，即 2x-4+k2y-4=0，过定点 2,4，与 x 轴的交点为 A2k2+2,0如图所示，由题意知，四边形的面积等于三角形 ABD 的面积和梯形 OCBD 的面积之和，故所求四边形的面积为 1242k2+2-2+24-k+42=4k2-k+8，所以 k=18 时，所求四边形的面积最小16.如图所示，正方体ABCD-A1
14、B1C1D1的棱长为1，M，N为线段BC，CC1上的动点，过点A1，M，N的平面截该正方体的截面记为S，则下列命题正确的是_.当BM=0且0CN0，解得 -3-32b0，所以 b=-4 或 b=1，即直线的方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=018.已知圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A0,-4，B0,-2(1)求圆C的标准方程；(2)求圆C上的点到直线2x-y-1=0的距离的最大值和最小值【答案】(1) 由题意，圆心在直线 y=-3 上，联立 y=-3,2x-y-7=0, 解得 x=2,y=-3. 则圆心坐标为 2,-3，则圆 C 的半径 r=2-02+-3+22=5所以
15、圆 C 的标准方程为 x-22+y+32=5(2)圆心 C2,-3 到直线 2x-y-1=0 的距离 d=4+3-15=655，圆的半径为 5，所以圆 C 上的点到直线 2x-y-1=0 的距离的最大值为 655+5=1155，最小值为 655-5=5519.如图1，在RtABC中，ACB=30，ABC=90，D为AC的中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示(1)求证：AE平面BCD；(2)求二面角A-DC-B的余弦值【答案】（1）因为 平面ABD平面BCD，交线为 BD，AEBD，AE平面ABD，所以 AE平面BCD（2）由（1）知 A
16、E平面BCD，又 EF平面BCD，所以 AEEF，由题意知 EFBD，AEBD，如图，以 E 为坐标原点，EF，ED，EA 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 E-xyz，设 AB=BD=DC=AD=2，则 BE=ED=1，所以 AE=3，BC=23，EF=33，则 E0,0,0，D0,1,0，A0,0,3，C3,2,0，所以 DC=3,1,0，AD=0,1,-3，EA=0,0,3，由 AE平面BCD 知，平面 BCD 的一个法向量为 EA=0,0,3，设平面 ADC 的一个法向量为 n=x,y,z，则 nDC=3x+y=0,nAD=y-3z=0,，取 x=1，得 n=
17、1,-3,-1，所以 cosn,EA=nEAnEA=-55，易知二面角 A-DC-B 的平面角为锐角，故其余弦值为 5520.如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，AFDE，DEAD，ADBE，AF=AD=12DE=1，AB=2(1)求二面角B-EF-D的余弦值；(2)判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ平面BEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（1）因为 平面ADEF平面ABCD，平面ADEF平面ABCD=AD，DEAD，所以 DE平面ABCD，又 DB平面ABCD，所以 DEDB因为 DEAD，ADBE，DEBE=E，所以 AD
18、平面BDE，又 BD平面BDE，所以 ADBD故 DA，DB，DE 两两垂直，以 D 为坐标原点，DA，DB，DE 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 D0,0,0，A1,0,0，B0,1,0，C-1,1,0，E0,0,2，F1,0,1，所以 BE=0,-1,2，EF=1,0,-1，DC=-1,1,0易知 n=0,1,0 为平面 DEF 的一个法向量设平面 BEF 的一个法向量为 m=x,y,z，则 mBE=0,mEF=0, 即 -y+2z=0,x-z=0, 令 z=1，得 m=1,2,1所以 cosm,n=mnmn=63易知二面角 B-EF-D 的平
19、面角为锐角，所以其余弦值为 63（2）线段 BE 上存在点 Q，使得 平面CDQ平面BEF设 BQ=BE=0,-,20,1，所以 DQ=DB+BQ=0,1-,2设平面 CDQ 的法向量为 u=a,b,c，则 uDQ=0,uDC=0, 即 1-b+2c=0,-a+b=0, 令 b=1，得 u=1,1,-12由（1）知平面 BEF 的一个法向量为 m=1,2,1，若 平面CDQ平面BEF，则 mu=0，即 1+2+-12=0，解得 =17，所以线段 BE 上存在点 Q，使得 平面CDQ平面BEF，此时 BQBE=1721.已知圆C:x2+y+12=4，过点p0,2的直线l与圆相交于不同的两点A，B
20、(1)判断PAPB是否为定值若是，求出这个定值；若不是，请说明理由(2)若OAOB=1，求直线l的方程【答案】（1）当直线l与x轴垂直时（斜率不存在），A，B的坐标分别为0,1，0,-3，此时PAPB=5，当直线l与x轴不垂直时，设l的斜率为k，直线l的方程为y=kx+2，设Ax1,y1，Bx2,y2，联立y=kx+2,x2+y+12=4,消去y得1+k2x2+6kx+5=0，则有x1+x2=-6k1+k2，x1x2=51+k2,=36k2-201+k20k254，PAPB=x1x2+y1-2y2-2，又y1=kx1+2，y2=kx2+2，所以PAPB=x1x2+k2x1x2=k2+1x1x2
21、=5，综上，PAPB为定值5（2）所以直线l的方程为y=2x+2或y=-2x+222.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，SAD是等边三角形，平面SAD平面ABCD，AB=1，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为.(1)若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面PEF平面SCD；(2)是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为3010?若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由【答案】（1）在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是SPAD，又平面SAD平面ABCD，平面SAD平面ABCD=AD，SP平面SAD，所以SP平面ABCD
22、，所以SP是四棱锥S-ABCD的高，设AD=m，则SP=32m，S矩形ABCD=m，所以VS-ABCD=13S矩形ABCDSP=13m32m=233，所以m=2，如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则P0,0,0，A1,0,0，B1,1,0，S0,0,3，E12,0,32，F12,12,32，所以PE=12,0,32，PF=12,12,32，设n1=x1,y1,z1是平面PEF的法向量，则n1PE=0,n1PF=0,即12x1+32z1=0,12x1+12y1+32z1=0,令z1=1，则x1=-3，y1=0，所以n1=-3,0,1同理可得平面SCD的一个法向量n2=-3,0,1因为n1=n2，所以平面PEF平面SCD（2）存在.理由如下：设AE=AS=-1,0,3=-,0,301，PE=PA+AE=1,0,0+-,0,3=1-,0,3，PB=1,1,0，设平面PEB的一个法向量为m1=x,y,z，则m1PE=1-x+3z=0,m1PB=x+y=0,令x=3，则m1=3,-3,-1，易知平面SAD的一个法向量m2=AB=0,1,0，所以cosm1,m2=m1m2m1m2=-372-2+1=3010，因为01，所以=13，所以存在点E，位于AS上靠近A点的三等分点
