1、第六节 平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是_,就说这两个平面互相垂直2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的_,那么这两个平面互相垂直3.如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面基础梳理交线直二面角一条垂线基础达标1.两个平面互相垂直,一条直线和其中一个平面平行,则这条直线和另一个平面的位置关系是2.二面角l是直二面角,a,b,且a,b都不与l垂直,有下列说法:a与b可能垂直,但不平行;a与b不垂直,但可能平行;a与b可能垂直,也可能平行;a与b不垂直,也不平行其中正确的是_2.解析:根据面面垂直的性质定理以及线线、
2、线面的位置关系来判断平行或相交或在另一个平面内1.解析:这条直线与另一个平面三种位置关系都有可能3.(教材P43第2题改编)已知,表示两个不同的平面,m为平面内的一条直线,则“”是“m”的_条件 解析:由平面与平面垂直的判定定理知,如果m为平面a内的一条直线,且mb,则ab;反过来则不一定所以“ab”是“mb”的必要不充分条件必要不充分4.(2010南京师大附中暑期作业)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为正方形,P点在平面ABCD内的射影为A,则二面角CPDA的大小为_ 解析:P点在平面ABCD内的射影为A,PA平面ABCD.CD平面ABCD,PACD.在正方形ABCD中CDAD且P
3、AAD=A,CD平面PAD.又CD平面PCD,平面PCD平面PAD,二面角CPDA的大小为90.90 经典例题【例1】(2011南通第一次调研)如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACAD,DE2AB,F为CD的中点(1)求证:AF平面BCE;(2)求证:平面BCE平面CDE.题型一 平面与平面垂直的判定分析:判定两个平面垂直的方法:(1)利用定义证明二面角是直二面角;(2)利用判定定理:aa,abab.(1)因为AB平面ACD,DE平面ACD,所以ABDE.取CE的中点G,连结BG、GF,因为F为CD的中点,且GFEDBA,GF=ED=BA,所以四边形ABGF是平行四边形,所以AFBG
4、.因为AF平面BCE,BG平面BCE,所以AF平面BCE.(2)因为AB平面ACD,AF平面ACD,所以ABAF,即四边形ABGF是矩形,所以AFGF.又AC=AD,所以AFCD.而CDGF=F,所以AF平面GCD,即AF平面CDE.因为AFBG,所以BG平面CDE.因为BG平面BCE,所以平面BCE平面CDE.12证明:变式11如图所示,在三棱锥SABC中,SA平面ABC,平面SAB平面SBC.求证:ABBC.证明:如图,作AHSB于H,平面SAB平面SBC,AH平面SBC,AHBC.又SA平面ABC,SABC.又SAAH=A,SA,AH平面SAB,BC平面SAB.BCAB.3【例2】(20
5、10江苏如皋中学考前指导)如图,在四棱锥PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形,已知AD4,BD4 ,AB2CD8.求证:BD平面PAD.题型二 平面与平面垂直的性质分析:由面面垂直的性质定理可得到线面垂直证明:在ABD中,AD=4,BD=4 ,AB=8,AD2+BD2=AB2,ADBD.又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,BD平面ABCD,BD平面PAD.3变式21在四边形ABCD中,ABBCCDa,B90,BCD135.沿对角线AC将四边形ABCD折成直二面角求证:AB平面BCD.解析“平面ABC平面ACD,且CDAC,CD平面ABC.又AB
6、平面ABC,CDAB.又ABBC,BCCD=C,AB平面BCD.变式22(2011扬州市高三期中试题)如图,将两块三角板拼凑成直二面角ACBD,其中DBCB,DCB30,ABAC,ABAC,E,F分别是AB,CB的中点(1)求证:EF平面ACD;(2)求证:平面DEF平面ABD.解析:(1)E,F分别为AB,CB中点,EFAC,EF平面ACD,AC平面ACD,EF平面ACD.(2)平面DBC平面ABC,平面DBC平面ABC=BC,DBBC,DB平面BCD,DB平面ABC,又AC平面ABC,DBAC,EFAC,EFBD,EFAB.ABBD=B,EF平面ABD,又EF平面DEF,平面DEF平面AB
7、D.【例3】(2010江苏苏北四市期末联考)如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBB1,AC1平面A1BD,D为AC的中点(1)求证:B1C平面A1BD;(2)求证:B1C1平面ABB1A1;(3)设E是CC1上一点,试确定E的位置,使平面A1BD平面BDE,并说明理由题型三 面面垂直的探索性问题分析:(3)中只要找出其中一个平面的一条垂线即可解:(1)证明:如图,连接AB1与A1B相交于M,则M为A1B的中点,连结 MD,又D为AC的中点,B1CMD.又B1C平面A1BD,MD平面A1BD,B1C平面A1BD.(2)证明:AB=B1B,四边形ABB1A1为正方形,A1BAB1,又A
8、C1面A1BD,AC1A1B,A1B平面AB1C1,A1BB1C1,又在直棱柱ABCA1B1C1中,BB1B1C1,B1C1平面ABB1A1.(3)当点E为C1C的中点时,平面A1BD平面BDE.D、E分别为AC、C1C的中点,DEAC1,AC1平面A1BD,DE平面A1BD,又DE平面BDE,平面A1BD平面BDE.2变式31如图,A,B,C,D为空间四点在ABC中,AB2,ACBC,等边三角形ADB以AB为轴转动(1)当平面ADB平面ABC时,求CD;(2)当ADB以AB为轴转动时,是否总有ABCD?并证明你的结论.23解析:(1)取AB的中点E,连接DE,CE.如图所示因为ADB是等边三
9、角形,所以DEAB.当平面ADB平面ABC时,因为平面ADB平面ABC=AB,所以DE平面ABC,所以DECE.由已知可得DE=,EC=1.在RtDEC中,CD=2.(2)当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD.证明:当D在平面ABC内时,因为AC=BC,AD=BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即ABCD;当D不在平面ABC内时,由(1)知ABDE.又因为AC=BC,所以ABCE.又DE,CE为相交直线,所以AB平面CDE.由CD平面CDE,得ABCD.综上所述,当ADB以AB为轴转动时,总有ABCD.22EDEC链接高考(2010山东改编)在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA平面ABCD,PDMA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点求证:平面EFG平面PDC.知识准备:会用面面垂直的判定定理证明面面垂直证明证明:由已知MA平面ABCD,PDMA,所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD,所以PDBC.因为四边形ABCD为正方形,所以BCDC.又PDDC=D,因此BC平面PDC.在PBC中,G,F分别为PB,PC的中点,所以GFBC,所以GF平面PDC,又GF平面EFG,所以平面EFG平面PDC.