1、第六节 平面与平面垂直1.平面与平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直2.平面与平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直3.如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面基础梳理交线直二面角一条垂线基础达标1.两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则这条直线和另一个平面的位置关系是2.二面角l是直二面角，a，b，且a，b都不与l垂直，有下列说法：a与b可能垂直，但不平行；a与b不垂直，但可能平行；a与b可能垂直，也可能平行；a与b不垂直，也不平行其中正确的是_2.解析：根据面面垂直的性质定理以及线线、
2、线面的位置关系来判断平行或相交或在另一个平面内1.解析：这条直线与另一个平面三种位置关系都有可能3.(教材P43第2题改编)已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的_条件 解析：由平面与平面垂直的判定定理知，如果m为平面a内的一条直线，且mb，则ab；反过来则不一定所以“ab”是“mb”的必要不充分条件必要不充分4.(2010南京师大附中暑期作业)如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，P点在平面ABCD内的射影为A，则二面角CPDA的大小为_ 解析：P点在平面ABCD内的射影为A，PA平面ABCD.CD平面ABCD，PACD.在正方形ABCD中CDAD且P
3、AAD=A，CD平面PAD.又CD平面PCD，平面PCD平面PAD，二面角CPDA的大小为90.90 经典例题【例1】(2011南通第一次调研)如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACAD，DE2AB，F为CD的中点(1)求证：AF平面BCE；(2)求证：平面BCE平面CDE.题型一 平面与平面垂直的判定分析：判定两个平面垂直的方法：(1)利用定义证明二面角是直二面角；(2)利用判定定理：aa，abab.(1)因为AB平面ACD，DE平面ACD，所以ABDE.取CE的中点G，连结BG、GF，因为F为CD的中点，且GFEDBA，GF=ED=BA，所以四边形ABGF是平行四边形，所以AFBG
4、.因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF平面BCE.(2)因为AB平面ACD，AF平面ACD，所以ABAF，即四边形ABGF是矩形，所以AFGF.又AC=AD，所以AFCD.而CDGF=F，所以AF平面GCD，即AF平面CDE.因为AFBG，所以BG平面CDE.因为BG平面BCE，所以平面BCE平面CDE.12证明：变式11如图所示，在三棱锥SABC中，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求证：ABBC.证明：如图，作AHSB于H，平面SAB平面SBC，AH平面SBC，AHBC.又SA平面ABC，SABC.又SAAH=A，SA，AH平面SAB，BC平面SAB.BCAB.3【例2】(20
5、10江苏如皋中学考前指导)如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，已知AD4，BD4 ，AB2CD8.求证：BD平面PAD.题型二 平面与平面垂直的性质分析：由面面垂直的性质定理可得到线面垂直证明：在ABD中，AD=4，BD=4 ，AB=8，AD2+BD2=AB2，ADBD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，BD平面ABCD，BD平面PAD.3变式21在四边形ABCD中，ABBCCDa，B90，BCD135.沿对角线AC将四边形ABCD折成直二面角求证：AB平面BCD.解析“平面ABC平面ACD，且CDAC，CD平面ABC.又AB
6、平面ABC，CDAB.又ABBC，BCCD=C，AB平面BCD.变式22(2011扬州市高三期中试题)如图，将两块三角板拼凑成直二面角ACBD，其中DBCB，DCB30，ABAC，ABAC，E，F分别是AB，CB的中点(1)求证：EF平面ACD；(2)求证：平面DEF平面ABD.解析：(1)E，F分别为AB，CB中点，EFAC，EF平面ACD，AC平面ACD，EF平面ACD.(2)平面DBC平面ABC，平面DBC平面ABC=BC，DBBC，DB平面BCD，DB平面ABC，又AC平面ABC，DBAC，EFAC，EFBD，EFAB.ABBD=B，EF平面ABD，又EF平面DEF，平面DEF平面AB
7、D.【例3】(2010江苏苏北四市期末联考)如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBB1，AC1平面A1BD，D为AC的中点(1)求证：B1C平面A1BD；(2)求证：B1C1平面ABB1A1；(3)设E是CC1上一点，试确定E的位置，使平面A1BD平面BDE，并说明理由题型三 面面垂直的探索性问题分析：(3)中只要找出其中一个平面的一条垂线即可解：(1)证明：如图，连接AB1与A1B相交于M，则M为A1B的中点，连结 MD，又D为AC的中点，B1CMD.又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，B1C平面A1BD.(2)证明：AB=B1B，四边形ABB1A1为正方形，A1BAB1，又A
8、C1面A1BD，AC1A1B，A1B平面AB1C1，A1BB1C1，又在直棱柱ABCA1B1C1中，BB1B1C1，B1C1平面ABB1A1.(3)当点E为C1C的中点时，平面A1BD平面BDE.D、E分别为AC、C1C的中点，DEAC1，AC1平面A1BD，DE平面A1BD，又DE平面BDE，平面A1BD平面BDE.2变式31如图，A，B，C，D为空间四点在ABC中，AB2，ACBC，等边三角形ADB以AB为轴转动(1)当平面ADB平面ABC时，求CD；(2)当ADB以AB为轴转动时，是否总有ABCD？并证明你的结论.23解析：(1)取AB的中点E，连接DE，CE.如图所示因为ADB是等边三
9、角形，所以DEAB.当平面ADB平面ABC时，因为平面ADB平面ABC=AB，所以DE平面ABC，所以DECE.由已知可得DE=，EC=1.在RtDEC中，CD=2.(2)当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.证明：当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即ABCD；当D不在平面ABC内时，由(1)知ABDE.又因为AC=BC，所以ABCE.又DE，CE为相交直线，所以AB平面CDE.由CD平面CDE，得ABCD.综上所述，当ADB以AB为轴转动时，总有ABCD.22EDEC链接高考(2010山东改编)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点求证：平面EFG平面PDC.知识准备：会用面面垂直的判定定理证明面面垂直证明证明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.因为四边形ABCD为正方形，所以BCDC.又PDDC=D，因此BC平面PDC.在PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，所以GFBC，所以GF平面PDC，又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.