1、选修21综合测评(时间：120分钟满分：150分)第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知命题p：xR，ax0(a0且a1)，则()Ap：xR，ax0Bp：xR，ax0Cp：x0R，ax00Dp：x0R，a x00解析：全称命题的否定是特称命题，ax0的否定是ax0.答案：D2(2018天津卷)设xR，则“”是“x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：x0x1.“”是“x1)上两点A，B满足 2，则当m_时，点B横坐标的绝对值最大解析：设A(x1，y1)，B
2、(x2，y2)，由2，得x12x2，y132y2.点A，B在椭圆上，解得y2m，x4(my)4m42m2m(m5)244.当m5时，点B的横坐标的绝对值有最大值，最大值为2.答案：516四边形ABCD是边长为2的正方形，MA和PB都与平面ABCD垂直，且PB2MA2，设平面PMD与平面ABCD所成二面角为，则sin _.解析：以A为坐标原点建立如图坐标系Axyz，M(0,0,1)，D(2,0,0)，P(0,2,2)，(0,2,1)，(0,0,1)，(2,0，1)设平面MDP的法向量为n(x，y，z)，由可得n(1,1，2)又为平面ABCD的一个法向量，cos，n.sin .答案：三、解答题(本
3、大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知c0，设命题p：函数ycx为减函数；命题q：当x时，函数f(x)x恒成立如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围解：若命题p为真，则0c1，由2x知，要使q为真，需2，即c.若p或q为真命题，p且q为假命题，则p，q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0c；当p假q真时，c的取值范围是c1.综上可知，c的取值范围是.18(12分)抛物线y与过点M(0，1)的直线l相交于A，B两点，O为坐标原点，若直线OA和OB的斜率之和为1，求直线l的方程解：解法一：如图所示，设A(x1，y1)，B(x
4、2，y2)，直线l的方程为ykx1.则k.由kOAkOB1，又y1，y2，则有1，即1.于是k1，所以直线l的方程为yx1.解法二：将直线ykx1与抛物线y联立，消去y，得x22kx20.由韦达定理，得x1x22k，x1x22.又12k2kk，则直线l的方程为yx1.19(12分)如图，ABC和ABD均为等腰直角三角形，ADDB，ACBC，平面ABC平面ABD，EC平面ABC，EC1，AD2.(1)证明：DEAB；(2)求二面角DBEA的余弦值解：(1)证明：设AB的中点为F，连接DF，CF.ABC，ABD为等腰直角三角形，ACBC，ADBD，ABDF，ABCF.又DFCFF，AB平面CFD.
5、平面ABC平面ABD，平面ABC平面ABDAB，DF平面ABD，DFAB，DF平面ABC.又EC平面ABC，DFEC，DF，EC可确定唯一的平面ECFD.又DE平面ECFD，DEAB.(2)以F为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.则B(2,0,0)，E(0,2,1)，D(0,0,2)，A(2,0,0)，(4,0,0)，(2,2,1)，(2,0,2)设平面ABE的法向量m(x1，y1，z1)则即令y11，得m(0,1，2)设平面DBE的法向量n(x2，y2，z2)，则即令x21，得n.设二面角DBEA的平面角为，则|cos |cosm，n|，又二面角DBEA为锐角，二面角DBEA的
6、余弦值为.20(12分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，焦距为2，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l经过点M(0,1)，且与椭圆C交于A，B两点，若2，求直线l的方程解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，因为焦距为2，所以c1，e，所以a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，则由，得(34k2)x28kx80，且0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由2得，x12x2.又所以消去x2，得2.解得k2，k.所以直线l的方程为yx1，即x2y20或x2y20.21(12分)已知抛物线C：y22px经过点P(2,2)，A，B是
7、抛物线C上异于点O的不同的两点，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)若OAOB，求AOB面积的最小值解：(1)由抛物线C：y22px经过点P(2,2)，得4p4，p1.抛物线C的方程为y22x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)由题知，直线AB不与y轴垂直，设直线AB：xtya，由消去x，得y22ty2a0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22t，y1y22a.OAOB，x1x2y1y20，即y1y20，解得y1y20(舍)或y1y24.2a4，a2.直线AB：xty2.直线AB过定点(2,0)SAOB2|y1y2|4.当且仅当y12，y2
8、2或y12，y22时，等号成立AOB面积的最小值为4.22(12分)(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值解：(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，B1C1EC1C1，所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知，BEB190，由题设知，RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1,0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的法向量n(x，y，z)，则即所以可取n(0，1，1)设平面ECC1的法向量为m(x1，y1，z1)，则即所以可取m(1,1,0)于是cosn，m.所以二面角BECC1的正弦值为.
