1、北师大版九年级上册第二章一元二次方程（解方程及判别式专题）同步测试一、解答题1. 解方程:(用配方法)(1)x2-2x-2=0; (2)2x2+3=7x.2. 解下列方程:(1)3x2-27=0; (2)(2x-1)2=(3)2;(3)(x+5)(x-5)=24; (4)x2-6x+9=2;(5)(x+2)2-16=0; (6)(x-1)2-18=0.3. 解方程(2x-1)2=x(3x+2)-7.4. 用配方法解方程x2-4x+1=0.5. 用配方法解方程:x2-6x-6=0.6. 用配方法解下列方程.(1)x2+2mx-n2=0; (2)4x2-7x-2=0.7. 用适当的方法解下列一元二
2、次方程:(1)2(x-3)2=18; (2)x(x-5)=7x; (3)x2-2x-4=0.8. 解方程:(1)x2=121289; (2)(x+2)2=324;(3)5(x-3)2=125; (4)(2x+3)2=(x+4)2.9. 解下列方程(1)x2-2x-2=0; (2)(x+3)2-2x(x+3)=0.10. 用因式分解法解下列方程:(1)3y2-6y=0; (2)x2-8x+16=0;(3)(1+x)2-9=0; (4)(x-4)2=(5-2x)2.11. 用公式法解下列方程:(1)2x2-4x-1=0; (2)4x2-3x+1=0;(3)3x2=5x+2; (4)(x-2)(3x
3、-5)=1;(5)4x2+4x+10=1-8x.12. 解下列一元二次方程.(1)2x2-4x-3=0; (2)(x-2)(x+3)=-4.13. 解方程:3x(x-2)=2(2-x).14. 解方程:(1)(3x+8)2-(2x-3)2=0; (2)2x2-6x+3=0.15. 解方程:2(x-3)=3x(x-3).16. 请利用公式:(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq解决下列问题:(1)因式分解:x2+5x+6; x2-x-6. (2)解方程:x2+6x+8=0; x2-2x-8=0.17. 已知关于x的方程ax2=b的两根分别为m-1和2m+7,试求方程ax2=b的两根.18
4、. 已知一元二次方程x2-4x+1+m=5,请你任取一个适当的m的值,使方程能用直接开平方法求解,并解这个方程.(1)你选的m的值是;(2)解这个方程.19. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.(1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为5.当ABC是等腰三角形时,求k的值.20. 已知关于x的方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0.(1)求证:方程恒有两个不相等的实数根;(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求出以此两根为两边长的直角三角形的周长.21. 当m为何值时,关于x的一元二
5、次方程2x2-(4m+1)x+2m2-1=0.(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根.22. 某校甲、乙两同学对关于x的方程:-3(x-1)2+m=0进行探究,其结果:甲同学发现,当m=0时,方程的两根都为1,当m0时,方程有两个不相等的实数根;乙同学发现,无论m取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零.(1)请找一个m的值代入方程使方程的两个根为互不相等的整数,并求这两个根;(2)乙同学发现的结论是否正确?试证明.23. 已知关于x的一元二次方程mx2-2(2m+1)x+4m-1=0.(1)当m为何值时,方程有两个相等的实数根?(2)当m为何值时,方程有两个不
6、相等的实数根?(3)当m为何值时,方程无实数根?24. 已知:关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0.(1)求证:方程总有实数根.(2)当k取哪些整数时,关于x的方程kx2+(2k-3)x+k-3=0的两个实数根均为负整数?25. 已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求证:无论k取任何实数值,方程总有实数根;(2)若等腰三角形ABC的一边长a=1,另两边长b,c恰好是这个方程的两个根,求ABC的周长.26. 已知x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说
7、明理由;(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.27. 已知a,b为关于x的一元二次方程x2-2(m-2)x+m2=0的两个实数根,且满足a2-ab+b2=16,求m的值.28. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1x2.(1)求m的取值范围;(2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值.29. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围.(2)是否存在实数k使得x1x2-x12-x220成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.30. 已知x1,x2是关于x的一
8、元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实数根,问x1和x2能否同号?若能同号,请求出相应的m的取值范围;若不能同号,请说明理由.31. 已知两方程x2-mx+5+m=0和x2-(7m+1)x+13m+7=0至少有一个相同的实数根,求这两个方程的四个实数根的乘积.32. 已知关于x的一元二次方程x2+cx+a=0的两个整数根恰好比方程x2+ax+b=0的两根都大1,求a+b+c的值.33. 已知关于x的方程mx2-(m+2)x+2=0(m0).(1)求证:方程总有两个实数根;(2)若方程的两个实数根都是整数,求正整数m的值.34. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实
9、数根.(1)求k的取值范围;(2)如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.35. 阅读下面的例题,解方程(x-1)2-5x-1-6=0.例:解方程x2-x-2=0.解:原方程化为x2-x-2=0.令y=x,原方程化成y2-y-2=0.解得y1=2,y2=-1.当x=2时,x1=2,x2=-2;当x=-1时,不合题意,舍去.原方程的解是x1=2,x2=-2.北师大版九年级上册第二章一元二次方程（解方程及判别式专题）同步测试参考答案1.(1) 【答案】配方,得(x-1)2=3,所以x-1=3,所以原方程的解为x1=1+3,x2=
10、1-3.(2) 【答案】移项,得2x2-7x=-3,二次项系数化为1,得x2-72x=-32.配方,得x2-72x+(-74)2=-32+(-74)2,整理,得(x-744)2=2516,所以x-74=54,所以原方程的解为x1=3,x2=12.2.(1) 【答案】由题意得x2=9,x=3,x1=3,x2=-3.(2) 【答案】2x-1=3,x=132,x1=1+32,x2=1-32.(3) 【答案】整理,得x2=49,x=7,x1=7,x2=-7.(4) 【答案】原方程变为(x-3)2=2,x-3=2,x=32,x1=3+2,x2=3-2.(5) 【答案】移项,得(x+2)2=16,x+2=
11、4,x=-24,x1=2,x2=-6.(6) 【答案】移项,得(x-1)2=18,x-1=32,x=132,x1=1+32,x2=1-32.3. 【答案】原方程可化为4x2-4x+1=3x2+2x-7,即x2-6x+8=0.(x-3)2=1.x-3=1.x1=2,x2=4.4. 【答案】将原方程移项得x2-4x=-1,配方得x2-4x+4=-1+4,即(x-2)2=3,x=23.故原方程的解为x1=2+3,x2=2-3.5. 【答案】x2-6x-6=0,即x2-6x=6,x2-6x+(-3)2=6+(-3)2,(x-3)2=6+9,(x-3)2=15,即x-3=15或x-3=-15,所以x1=
12、3+15,x2=3-15.6.(1) 【答案】移项,得x2+2mx=n2,配方,得x2+2mx+m2=n2+m2,即(x+m)2=m2+n2,开平方,得x+m=m2+n2,故x1=-m+m2+n2,x2=-m-m2+n2.(2) 【答案】4x2-7x-2=0,方程两边都除以4,得x2-74x-12=0,移项,得x2-74x=12,配方,得x2-74x+(78)2=12+(78)2,即(x-78)2=8164,开平方,得x-78=98,即x-78=98或x-78=-98.故x1=2,x2=-14.7.(1) 【答案】原方程可变形为(x-3)2=9,即x-3=3或x-3=-3,x1=6,x2=0.
13、(2) 【答案】原方程变形为x(x-5)-7x=0.x(x-5)-7=0.即x=0或x-12=0.x1=0,x2=12.(3) 【答案】方法1:a=1,b=-2,c=-4.b2-4ac=(-2)2-41(-4)=200,x=-(-2)202=2252,即x1=1+5,x2=1-5.方法2:原方程可变形为x2-2x=4,配方,得x2-2x+1=4+1,即(x-1)2=5,x-1=5,x1=1+5,x2=1-5.8.(1) 【答案】因为x=121289,即x=1117,所以x1=1117,x2=-1117.(2) 【答案】因为x+2=324,所以x+2=18,即x+2=18或x+2=-18,所以x
14、1=16,x2=-20.(3) 【答案】因为5(x-3)2=125,即(x-3)2=25,所以(x-3)2=52,即x-3=5或x-3=-5,所以x1=8,x2=-2.(4) 【答案】因为(2x+3)2=(x+4)2,即2x+3=x+4或2x+3=-x-4,所以x1=1,x2=-73.9.(1) 【答案】x2-2x-2=0.移项,得x2-2x=2,配方,得x2-2x+(-1)2=2+(-1)2,即(x-1)2=3,开平方,得x-1=3,所以x1=1+3,x2=1-3.(2) 【答案】(x+3)2-2x(x+3)=0,(x+3)(x+3-2x)=0,所以x+3=0或x+3-2x=0,所以x1=-
15、3,x2=3.10.(1) 【答案】有公因式3y,提出来化为3y(y-2)=0,3y=0,或y-2=0,y1=0,y2=2.(2) 【答案】这是一个完全平方式(x-4)2=0,x1=x2=4.(3) 【答案】等式左边是两数的平方差,利用平方差公式得(1+x+3)(1+x-3)=0,即(x+4)(x-2)=0,x+4=0,或x-2=0.x1=-4,x2=2.(4) 【答案】移项,得(x-4)2-(5-2x)2=0,由平方差公式得(x-4+5-2x)(x-4-5+2x)=0,即(1-x)(x-3)=0,1-x=0,或x-3=0,x1=1,x2=3.11.(1) 【答案】b2-4ac=(-4)2-4
16、2(-1)=240.x=-(-4)2422=4264=262,x1=2+62,x2=2-62.(2) 【答案】b2-4ac=(-3)2-441=-70.x=-bb2-4ac2a=576.x1=5+76=2,x2=5-76=-13.(4) 【答案】方程化为3x2-11x+9=0.a=3,b=-11,c=9.b2-4ac=(-11)2-439=130.x=-(-11)1323=11136,x1=11+136,x2=11-136.(5) 【答案】移项得4x2+12x+9=0.a=4,b=12,c=9.b2-4ac=0,x1=x2=-1242=-32.12.(1) 【答案】2x2-4x-3=0,x2-
17、2x-32=0,移项,得x2-2x=32.配方,得x2-2x+1=32+1,即(x-1)2=52,两边开平方,得x-1=102,即x=1102,所以x1=1+102,x2=1-102.(2) 【答案】(x-2)(x+3)=-4,整理,得x2+3x-2x-6=-4,移项,得x2+x=2,配方,得x+x+122=2+122,即x+122=94,两边开平方,得x2+12=32,x+12=32或x+12=-32.所以x1=1,x2=-2.13. 【答案】3x(x-2)=2(2-x)整理得3x(x-2)+2(x-2)=0,因式分解得(3x+2)(x-2)=0,即3x+2=0或x-2=0,解得x1=-23
18、,x2=2.14.(1) 【答案】(3x+8+2x-3)(3x+8-2x+3)=5(x+1)(x+11)=0,x+1=0或x+11=0,x1=-1,x2=-11.(2) 【答案】a=2,b=-6,c=3,b2-4ac=36-24=12.x=61222=6234=332,x1=3+32,x2=3-32.15. 【答案】原方程可化为(x-3)(2-3x)=0,x1=3,x2=23.16.(1) 【答案】2与3的和为5,积为6,所以有x2+5x+6=(x+2)(x+3).2与-3的和为-1,积为-6,所以有x2-x-6=(x+2)(x-3).(2) 【答案】找到一组数：2,4,有2+4=6,2*4=
19、8,所以有(x+2)(x+4)=0,x+2=0,或x+4=0,x1=-2,x2=-4.找到一组数：2,-4,有2+(-4)=-2,2*(-4)=-8,所以有(x+2)(x-4)=0,x+2=0,或x-4=0,x1=-2,x2=4.17. 【答案】根据x2=a2x=a可得m-1与2m+7互为相反数,所以m-1+2m+7=0,解得m=-2.所以m-1=-2-1=-3,2m+7=2(-2)+7=3,即方程ax2=b的两根为x1=-3,x2=3.18.(1) 【答案】3(2) 【答案】当m=3时,原方程可化为x2-4x+1+3=5,所以(x-2)2=5,所以x-2=5,所以x=25.所以x1=2+5,
20、x2=2-5.答案不唯一.例如还可以取m=8,此时有x2-4x+4=0,即(x-2)2=0,x=2.19.(1) 【答案】=(2k+1)2-4(k2+k)=10,方程有两个不相等的实数根;(2) 【答案】一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0的解为x=2k+112,即x1=k,x2=k+1,当AB=k,AC=k+1,且AB=BC时,ABC是等腰三角形,则k=5;当AB=k,AC=k+1,且AC=BC时,ABC是等腰三角形,则k+1=5,解得k=4.20.(1) 【答案】证明:方程的判别式为=-(m+2)2-41(2m-1)=m2-4m+8=(m-2)2+40,方程恒有两个不相等的实数根
21、.(2) 【答案】方程的一个根是1,把x=1代入方程x2-(m+2)x+(2m-1)=0中,解得m=2,原方程为x2-4x+3=0,解这个方程得:x1=1,x2=3,方程的另一个根为x=3.当1,3为直角三角形的两直角边长时,斜边长为12+32=10,周长为1+3+10=4+10,当3为斜边长时,另一直角边长为32-12=22,周长为1+3+22=4+22.21.(1) 【答案】方程的判别式为=-(4m+1)2-42(2m2-1)=8m+9.(1)当8m+90,即m-98时,方程有两个不相等的实数根.(2) 【答案】当8m+9=0,即m=-98时,方程有两个相等的实数根.(3) 【答案】当8m
22、+90,即m0时,由(x-1)2=m3,可得x=1m3,x1=1+m3,x2=1-m3.因为1+m3+1-m3=2,所以无论m取什么正实数,都不能使方程的两根之和为零,所以乙同学发现的结论正确.23.(1) 【答案】a=m,b=-2(2m+1),c=4m-1,=b2-4ac=4(2m+1)2-4m(4m-1)=20m+4.方程有两个相等的实数根,20m+4=0,解得m=-15.因此,当m=-15时,方程有两个相等的实数根.(2) 【答案】方程有两个不相等的实数根,20m+40且m0,解得m-15且m0.因此,当m-15且m0时,方程有两个不相等的实数根.(3) 【答案】方程无实数根,20m+4
23、0,解得m-15.因此,当m0,方程有两个不相等的实数根.综上所述,方程总有实数根.(2) 【答案】因为方程有两个实数根,所以方程为一元二次方程,利用求根公式求得x=-(2k-3)92k,即x1=6-2k2k=3k-1,x2=-1.方程有两个负整数根,3k-1是负整数,即k是3的约数,k=1,3,但k=1或k=3时,根不是负整数,k=-1或k=-3.25.(1) 【答案】证明:证法一：因为方程的判别式为=-(k+2)2-412k=(k-2)20,无论k取任何实数值,方程总有实数根.证法二：方程可以因式分解为(x-2)(x-k)=0,方程的两根为2,k,所以命题得证.(2) 【答案】解法一:当b
24、=c时,=(k-2)2=0,k=2,b+c=k+2=2+2=4,又b=c,b=c=2,2,2,1符合三角形的三边关系,ABC的周长=4+1=5;当b,c中有一个与a相等时,不妨设b=a=1,1是方程x2-(k+2)x+2k=0的一个根,12-(k+2)1+2k=0,解得k=1,b+c=k+2=1+2=3,c=3-b=3-1=2,2,1,1不符合三角形的三边关系,a不能为ABC的腰长.综上所述,ABC的周长为5.解法二：由题意得另两边长分别为2,k,因为ABC为一个等腰三角形,所以k=1,或k=2,但k=1时构不成三角形,所以k=2.此时三角形的周长为1+2+2=5.26.(1) 【答案】首先应
25、有a-60.x1,x2是一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0的两个实数根,由根与系数的关系可知,x1x2=aa-6,x1+x2=-2aa-6.一元二次方程(a-6)x2+2ax+a=0有两个实数根,=4a2-4(a-6)a0,且a-60,解得a0且a6.-x1+x1x2=4+x2,x1x2=4+(x1+x2),即aa-6=4-2aa-6,解得a=24,存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立,a的值是24;(2) 【答案】(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=aa-6-2aa-6+1=-6a-6,当(x1+1)(x2+1)为负整数且a为整数时,有a-6=6,a-6=
26、3,a-6=2,a-6=1,a=12,9,8,7,使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值有12,9,8,7.27. 【答案】根据根与系数的关系,得a+b=2(m-2),ab=m2.因为a2-ab+b2=16,所以(a+b)2-3ab=16,所以2(m-2)2-3m2=16,整理,得m2-16m=0,解得m1=0,m2=16.当m=0时,方程的常数项变为0,方程化为x2+4x=0,符合题意.当m=16时,=-2(m-2)2-4m2=282-4162=-2400,不符合题意,舍去.所以m=0.28.(1) 【答案】原方程有两个实数根,=9-4(m-1)0,解得m134.(2) 【答案】
27、由题意得x1+x2=-3,x1x2=m-1,2(-3)+(m-1)+10=0,解得m=-3.29.(1) 【答案】x2-(a+b)x+ab-1=0有两个实数根,=-(2k+1)2-4(k2+2k)0,整理得1-4k0,解得k14.故当k14时,原方程有两个实数根.(2) 【答案】假设存在实数k使得x1x2-x12-x220成立.x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2,x1+x2=2k+1,x1x2=k2+2k.x1x2-x12-x220,即3x1x2-(x1+x2)20,3(k2+2k)-(2k+1)20,整理得-(k-1)20,只有当k=1时,上式才能成立.又由第1问知k
28、14,故不存在实数k使得x1x2-x12-x220成立.30. 【答案】关于x的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0有两个非零实数根,=4(m-1)2-44m2=-32m+160,解得m12.又x1,x2是方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个实数根,x1+x2=-(m-1),x1x2=14m2.x1,x2同号存在两种可能:(1)若x10,x20,则有x1+x20,即-(m-1)0.解得m1.m12时方程才有实数根,此种情况不成立.(2)若x10,x20,则有x1+x20,x1x20,即-(m-1)0,14m20.解得m1.m12时方程才有实数根,当m12时,两根能同号.31. 【
29、答案】设两方程的相同根为,根据根的意义可得2-m+5+m=0,2-(7m+1)+13m+7=0.两式相减,得(6m+1)=2(6m+1),当6m+1=0时,m=-16,方程x2-mx+5+m=0根的判别式=(-m)2-4(m+5)=(16)2-4(-16+5)=136-5830,因此k4.(2) 【答案】由第1问知k取的最大整数为3,将k=3代入方程x2-4x+k=0中得x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.当相同的根为x=1时,m=0;当相同的根为x=3时,m=-83.35. 【答案】该解法的原理是x2=|x|2,对比例题解法,原方程可以化为|x-1|2-5|x-1|-6=0.令y=|x-1|,原方程化成y2-5y-6=0.解得y1=6,y2=-1.当|x-1|=6时,x1=7,x2=-5;当|x-1|=-1时,不合题意,舍去.原方程的解是x1=7,x2=-5.
