1、考点测试27平面向量基本定理及坐标表示一、基础小题1已知向量a(2,1)，b(4，m)，若ab，则m()A2B2CD答案A解析由向量的坐标运算可得1m，解得m2.2下列各组向量中，可以作为基底的是()Ae1(0,0)，e2(1，2)Be1(5,7)，e2(1，2)Ce1(3,4)，e2(6,8)De1(2,3)，e2答案B解析A、C、D三个选项中两向量均共线，由平面向量基本定理知，基底不能共线，故选B.3若向量(1，3)，(3，8)，则2()A(4,10)B(2,5)C(4,5)D(8,10)答案A解析(1，3)(3,8)(2,5)，故2(4,10)4已知点A(1，2)，若向量与向量a(2,3
2、)同向，且|，则点B的坐标为()A(2,3)B(2,3)C(3,1)D(3，1)答案C解析设(x，y)，则ka(k0)，即由|得k1，故(1，2)(2,3)(3,1)故选C.5已知向量a(1,1)，2ab(4,3)，c(x，2)且bc，则x的值为()A4B4C2D2答案B解析由2a(2,2)及2ab(4,3)，得b(2,1)由bc，得x40，得x4.6已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，当A、B、C三点共线时，实数k的值为()A3B11C2D2或11答案D解析因为(4k，7)，(6，k5)，且，所以(4k)(k5)6(7)0，解得k2或11.7已知平面直角坐标系内的两个向量a(1,
3、2)，b(m,3m2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成cab(、为实数)，则实数m的取值范围是()A(，2)B(2，)C(，)D(，2)(2，)答案D解析由题意知向量a，b不共线，故2m3m2，即m2.8已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若，则()A3B3C4D4答案A解析建立如图所示的平面直角坐标系xAy，则(2，2)，(1,2)，(1,0)，由题意可知(2，2)(1,2)(1,0)，即解得所以3.故选A.9已知向量a(3,2)，b(1,0)，ab与a2b垂直，则实数的值为()ABCD答案A解析由条件得，ab(31,2)，a2b(1,2)，因两者垂直，所以3140，解得.10
4、设A1，A2，A3，A4是平面上给定的4个不同点，则使0成立的点M的个数为()A0B1C2D4答案B解析解法一：设M(x，y)，Ai(xi，yi)(i1,2,3,4)，则(xix，yiy)，由 0，得即故点M只有1个解法二：取特殊值，令A1(0,0)，A2(0,1)，A3(1,1)，A4(1,0)，则满足0的条件的点有且仅有1个，即正方形A1A2A3A4的中心11若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则向量a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为_答案(0,2)解析向量a在基底p，q
5、下的坐标为(2,2)，a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，故即故向量a在基底m，n下的坐标为(0,2)12已知O为坐标原点，B，D分别是单位圆与x轴正半轴，y轴正半轴的交点，点P为劣弧BD上一点，若xy，BOP，则xy_.答案解析如图，x()y.y(1x)(1x).BOP，y，由得，解得x2，y22，xy.二、高考小题13已知向量a(1，m)，b(3，2)，且(ab)b，则m()A8B6C6D8答案D解析由题可得ab(4，m2)，又(ab)b，432(m2)0，m8.故选D.14在下列向量组中，可以把向量a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2
6、)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)答案B解析由平面向量基本定理可知，平面内任意一个向量可用平面内两个不共线向量线性表示，A中，e10e2，B中，e1，e2为两个不共线向量，C中，e22e1，D中，e2e1.故选B.15在平面内，定点A，B，C，D满足|，2，动点P，M满足|1，则|2的最大值是()ABCD答案B解析由|及DBCA，DCAB，DACB，且ADCADBBDC120，ABC为正三角形，设|a，则a2cos1202a2AC2OC3，如图建立平面直角坐标系xOy，则A(，0)，B(，0)，C(0,3)由P，M，C三点共线且M为PC的中点，
7、设P(x，y)，由|1(x)2y21，令则即P(sin，cos)，M，|2(3712).|2的最大值为.故选B.16已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC.若点P的坐标为(2,0)，则|的最大值为()A6B7C8D9答案B解析解法一：由圆周角定理及ABBC，知AC为圆的直径故2(4,0)(O为坐标原点)设B(cos，sin), (cos2，sin)，(cos6，sin)，|7，当且仅当cos1时取等号，此时B(1,0)，故|的最大值为7.故选B.解法二：同解法一得2(O为坐标原点)，又，|3|3|3217，当且仅当与同向时取等号，此时B点坐标为(1,0)，故|max7.故选B.17设
8、向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.答案解析由于a，b不平行，所以可以以a，b作为一组基底，于是ab与a2b平行等价于，即.18已知向量a(2,1)，b(1，2)，若manb(9，8)，(m，nR)，则mn的值为_答案3解析由a(2,1)，b(1，2)，可得manb(2m，m)(n，2n)(2mn，m2n)，由已知可得解得从而mn3.三、模拟小题19已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是()Ae1e2和e1e2B3e12e2和4e26e1Ce12e2和e22e1De2和e1e2答案B解析4e26e12(3e12e2)，3e12e2与4
9、e26e1共线，又作为一组基底的两个向量一定不共线，它们不能作为一组基底20已知点A(6,2)，B(1,14)，则与共线的单位向量为()A或B.C或D.答案C解析A(6,2)，B(1,14)，(5,12)，|13，则与共线的单位向量为(5,12).21在ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且APAB，BQBC，若a，b，则()AabBabCabDab答案A解析由题意知()ab，故选A.22已知D是ABC所在平面内一点，且满足()()0，则ABC是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形答案A解析()()()0，所以，所以acosBbcosA，利用余弦定理化简得a2b2，
10、即ab，所以ABC是等腰三角形23已知在梯形ABCD中，ADBC，AD4，BC6，若mn(m，nR)，则()A3BCD3答案A解析由题意得，mn，m1，n，故3.24在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为BC的三等分点，则()ABCD答案B解析由|，化简得0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以与垂直，所以ABC为直角三角形以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以，所以.25.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，CO的延长线与线段AB交于圆内一点D，
11、若xy，则()A0xy1Cxy1D1xy0答案C解析A，D，B三点共线，(1)(01)，设(1)，(1)，1，xy1，故选C.26已知向量a(3，2)，b(x，y1)且ab，若x，y均为正数，则的最小值是()A24B8CD答案B解析ab，2x3(y1)0，即2x3y3，(2x3y)8，当且仅当2x3y时，等号成立的最小值是8.故选B.27在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.答案解析D、A、B三点共线，1，.28如图，已知平面内有三个向量、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2.若(，R)，则的值为_答案6解析以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，
12、C(3，)由，得解得所以6.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且t.(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由？解(1,2)，(3,3)，(1,2)t(3,3)(13t,23t)(1)若P在x轴上，则有23t0，t；若P在y轴上，则有13t0，t；若P在第二象限，则有解得t.(2)不能理由：(33t,33t)，若四边形OABP是平行四边形，则有，即有33t1，且33t2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP不能成为平行四边形2在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(1,0)，|1，且AOCx，其中O为坐标原点(1)若x，设点D为线段OA上的动点，求|的最小值；(2)若x，向量m，n(1cosx，sinx2cosx)，求mn的最小值及对应的x值解(1)设D(t,0)(0t1)，由题易知C，所以，所以|2tt2t2t12(0t1)，所以当t时，|2最小，则|最小，最小值为.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m(cosx1，sinx)，则mn1cos2xsin2x2sinxcosx1cos2xsin2x1sin.因为x，所以2x，所以当2x，即x时，sin取得最大值1，所以mn的最小值为1，此时x.
