1、北京市石景山区2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合 A=x|x2-x-20 ， B=x|-2x1 ，则 AB= （ ） A.x|-1x2B.x|-2x2C.x|-2bcB.bacC.cbaD.cab6.若a，b，c，dR，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.设函数 f(x)=2x+lnx ，则（ ） A.x=12 时 f(x) 取到极大值B.x=12 时 f(x) 取到极小值C.x=2 时 f(x) 取到极大值D.x=2 时 f(x)
2、取到极小值8.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A.81125B.54125C.36125D.271259.已知函数 f(x)=ex-a|x| 有三个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(-,0)B.(0,1)C.(0,e)D.(e,+)10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙二、填空题（共5题；共20分）1
3、1.函数 f(x)=xex 的导函数 f(x)= _. 12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是_元13.已知 f(x)=-x3+ax+3 在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是_. 14.若数列 an 满足： a1=-14 ， anan-1=an-1-1(n1,nN*) ，则 a2021= _. 15.已知集合 A0=x|0x1 .给定一个函数 y=f(x) ，定义集合 An=y|y=f(x),xAn-1 ，若
4、AnAn-1= 对任意的 nN* 成立，则称该函数具有性质“ ”.现给出下列函数： y=1x ； y=x2+1 ； y=cos2x+2 ，其中具有性质“ ”的函数的序号是_（写出所有正确答案的序号） 三、解答题（共5题；共40分）16.已知 an 是各项均为正数的等比数列， a1=2 ， a3=2a2+16 。 （1）求 an 的通项公式； （2）设 bn=log2an ，求数列 bn 的前n项和。 17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.
5、（1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列. 18.已知函数 f(x)=2x3-ax2+2 . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）当 0a3 时，求 f(x) 在区间 0,1 上的最大值及最小值. 19.为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设数学史、生活中的数学、数学与哲学、数学建模四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的. （1）求甲、乙、丙
6、三人选择的课程互不相同的概率； （2）设 X 为甲、乙、丙三人中选修数学史的人数，求 X 的分布列和数学期望 E(X) . 20.已知函数 f(x)=xlnx+kx ， kR . （1）求 y=f(x) 在点 (1,f(1) 处的切线方程； （2）若不等式 f(x)x2+x 恒成立，求 k 的取值范围. 答案解析部分一、单选题（共10题；共40分）1.已知集合 A=x|x2-x-20 ， B=x|-2x1 ，则 AB= （ ） A.x|-1x2B.x|-2x2C.x|-2x1D.x|-2x2【答案】 B 【考点】并集及其运算 【解析】【解答】 A=x|-1x2,B=x|-2x1 ， AB=x|
7、-2bcB.bacC.cbaD.cab【答案】 D 【考点】对数值大小的比较 【解析】【解答】解： a=log2e1,b=ln2log2e=a则a ， b ， c的大小关系为：cab故答案为：D【分析】先判断出b比1小，再将比1都大的a,c化为同底，由对函数的单调性，可比较a,c的大小.6.若a，b，c，dR，则“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】【解答】解：若a，b，c，d依次成等差数列， 则a+d=b+c，即必要性成立，若a=2
8、，d=2，b=1，c=3，满足+d=b+c，但a，b，c，d依次成等差数列错误，即充分性不成立，即“a+d=b+c”是“a，b，c，d依次成等差数列”的必要不充分条件，故选：B【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列的性质进行判断即可7.设函数 f(x)=2x+lnx ，则（ ） A.x=12 时 f(x) 取到极大值B.x=12 时 f(x) 取到极小值C.x=2 时 f(x) 取到极大值D.x=2 时 f(x) 取到极小值【答案】 D 【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值 【解析】【解答】解： f(x)=-2x2+1x=x-2x2(x0) ， 所以当 0x2 时
9、， f(x)2 时， f(x)0 ，故函数 f(x) 在 (0,2) 上递减，在 (2,+) 递增，所以 x=2 时 f(x) 取到极小值.故答案为：D. 【分析】 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极小值点即可.8.某人射击一次击中的概率是0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为（ ） A.81125B.54125C.36125D.27125【答案】 A 【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 【解析】【解答】由题意可得：此人至少有两次击中目标的概率为： C32(35)2(1-35)+C33(35)3=81125 ， 故答案为：A. 【
10、分析】 由题意知本题符合独立重复试验的条件,是一个独立重复试验，经过3次射击，至少有2次击中目标包含两次击中目标和三次击中目标，代入公式得到结果.9.已知函数 f(x)=ex-a|x| 有三个零点，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(-,0)B.(0,1)C.(0,e)D.(e,+)【答案】 D 【考点】函数的图象，函数的零点 【解析】【解答】显然 a0 不满足三个零点，所以 a0 ， f(x)=ex+ax,x0ex-ax,x0 ，当 x0 时， ex=-ax （ a0 ）两图像必有一交点，所以必有一零点在 (-,0) 当x0时， f(x)=ex-ax,f(x)=ex-a, 所以f(x)在
11、(0,lna) 单调递减，在 (lna,+) 上单调递增 (0,+) 上要有两个零点，只需 f(0)=1,f(lna)=a-alnae ， 故答案为：D. 【分析】根据零点判定定理，再观察两图像交点个数，从而可求得答案。10.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测。 甲：我的成绩比乙高。乙：丙的成绩比我和甲的都高。丙：我的成绩比乙高。成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（ ）A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙【答案】 A 【考点】进行简单的演绎推理 【解析】【解答】解:由题意，可把三人的预测简写如下: 甲：甲乙.
12、 乙：丙乙且丙甲. 丙；丙乙. 只有一个人预测正确, 分析三人的预测,可知:乙、丙的预测不正确. 如果乙预测正确,则丙预测正确，不符合题意。 如果丙预测正确,假设甲、乙预测不正确， 则有丙乙，乙甲, 乙预测不正确,而丙乙正确, 只有丙甲不正确， 甲丙，这与丙乙，乙甲矛盾.不符合题意. .只有甲预测正确,乙、丙预测不正确, 甲乙，乙丙. 故答案为：A 【分析】本题可从三人预测中互相关联的乙、丙两人的预测入手,因为只有一个人预测正确 ,而乙对则丙必对,丙对乙很有可能对,假设丙对乙错则会引起矛盾故只有-种情况就是甲预测正确乙、丙错误,从而得出结果.二、填空题（共5题；共20分）11.函数 f(x)=
13、xex 的导函数 f(x)= _. 【答案】(x+1)ex【考点】导数的运算 【解析】【解答】 f(x)=xex ， f(x)=ex+xex=(x+1)ex .故答案为： (x+1)ex . 【分析】根据函数的导数运算公式，即可得到答案。12.某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%；如果失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：投资成功投资失败192例8例则该公司一年后估计可获收益的数学期望是_元【答案】 4760 【考点】离散型随机变量的期望与方差 【解析】【解答】解：由题意知本题投资成功的概率是 192200 ，投资失败的概率是
14、 8200 ， 投资成功的收益是5000012%，投资失败的损失是500000.5该公司一年后估计可获收益的期望是5000012% 192200 -5000050% 8200 =4760元故答案为4760 【分析】 由题意可以做出本题投资成功的概率，投资失败的概率，也可以做出投资成功的收益是 50000X12%，和投资失败的损失是50000X0.5，利用期望公式，得到可获益的期望.13.已知 f(x)=-x3+ax+3 在定义域上单调递减，则实数a的取值范围是_. 【答案】(-,0【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由题意知 f(x)=-3x2+a0 对于 xR 恒成立， 可得
15、a3x2 对于 xR 恒成立，令 y=3x2 ，只需要 a(3x2)min 即可，因为当 x=0 时， y=3x2 最小为 0 ，所以 a0 ，所以实数a的取值范围是 (-,0 ，故答案为： (-,0 . 【分析】由题意可得f(x)=-3x2+a0 对于 xR 恒成立，即a3x2 对于 xR 恒成立，由此可解出实数a的取值范围。14.若数列 an 满足： a1=-14 ， anan-1=an-1-1(n1,nN*) ，则 a2021= _. 【答案】 5 【考点】数列递推式 【解析】【解答】由 anan-1=an-1-1(n1,nN*) 得 an=an-1-1an-1=1-1an-1 ， 所以
16、 a2=1-1a1=5 ，a3=1-1a2=45 ，a4=1-1a3=-14=a1 ，所以 an 是以3为周期的周期数列，所以 a2021=a6733+2=a2=5 .故答案为：5 【分析】 由递推公式分别求出数列的前四项，由此推导出an是周期为3的周期数列，由此能求出a2021.15.已知集合 A0=x|0x1 .给定一个函数 y=f(x) ，定义集合 An=y|y=f(x),xAn-1 ，若 AnAn-1= 对任意的 nN* 成立，则称该函数具有性质“ ”.现给出下列函数： y=1x ； y=x2+1 ； y=cos2x+2 ，其中具有性质“ ”的函数的序号是_（写出所有正确答案的序号）
17、【答案】 【考点】归纳推理 【解析】【解答】对于， A0=x|0x1 ， A2=x|0x1 ，依次循环下去，符合 AnAn-1= ； 对于， A0=x|0x1 ， A1=x|1x2 ， A2=x|2x5 ， A3=x|5x26 ，根据函数 y=x2+1 的单调性得相邻两个集合不会有交集，符合 AnAn-1= ；对于， A0=x|0x1 ， A1=x|2x3 ， A2=x|1x2 ， A3=x|1x2 ，不符合 AnAn-1= ；所以具有性质“ ”的函数序号是.故答案为： 【分析】分别运用反比例函数，二次函数，余弦函数的单调性和值域，结合新定义，即可得出答案。三、解答题（共5题；共40分）16.
18、已知 an 是各项均为正数的等比数列， a1=2 ， a3=2a2+16 。 （1）求 an 的通项公式； （2）设 bn=log2an ，求数列 bn 的前n项和。 【答案】 （1）解：设 an 的公比为q，由题设得 2q2=4q+16 ，即 q2-2q-8=0 .解得 q=-2 （舍去）或q=4.因此 an 的通项公式为 an=24n-1=22n-1 .（2）由（1）得 bn=(2n-1)log22=2n-1 ，因此数列 bn 的前n项和为 1+3+2n-1=n2 .【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前n项和 【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于q的方程，求
19、出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可。（2）由已知求出数列 bn 的通项公式，再利用等差数列的前n项和公式即可求出结果。 17.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. （1）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率； （2）设 X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列. 【答案】（1）解：从这8名运动员中随机选择4人参加比赛，共有C84=70种，其中事件A所包含的基本
20、事件数为C22C32+C32C32=12，所以P(A)=1270=635 .（2）解：随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，P(X=1)=C51C33C84=570=114，P(X=2)=C52C32C84=3070=37，P(X=3)=C53C31C84=3070=37，P(X=4)=C54C84=570=114，所以随机变量X的分布列为:：X1234P1143737114【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率，离散型随机变量及其分布列 【解析】【分析】(1)根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。 (2)根据题意即可得出X的
21、取值，再由概率的公式求出对应的X的概率由此得到X的分布列即可。18.已知函数 f(x)=2x3-ax2+2 . （1）讨论 f(x) 的单调性； （2）当 0a0 ，则当 x(-,0)(a3,+) 时， f(x)0 ；当 x(0,a3) 时， f(x)0 .故 f(x) 在 (-,0) ， (a3,+) 单调递增，在 (0,a3) 单调递减；若 a=0 ， f(x) 在 (-,+) 单调递增；若 a0 ；当 x(a3,0) 时，f(x)0 .故 f(x) 在 (-,a3) ， (0,+) 单调递增，在 (a3,0) 单调递减.（2）当 0a3 时，由（）知， f(x) 在 (0,a3) 单调递
22、减，在 (a3,1) 单调递增， 所以 f(x) 在 0,1 的最小值为 f(a3)=-a327+2 ，最大值为 f(0)=2 或 f(1)=4-a .不妨设最小值为m，最大值为M，则 m=-a327+2 ， M=4-a,0a2,2,2a0 ， a=0 ， a0 讨论函数的单调性； （2） 当0a0 ， g(x) 单调递增，x(1,+) ， g(x)0 ， lnx-x+k-10 ， g(x)max=g(1)=k-20 即可，故 k2 【考点】函数恒成立问题，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】 (1)先对函数求导，然后结合导数的几何意义求出切线斜率，进而可求切线方程； (2)构造函数 g(x)=lnx-x+k-1 ， 然后求导，结合导数可研究其单调性，由不等式的恒成立转化为求解函数的最值，可求 k的取值范围.
