1、北京市一零九中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、选择题：1一个物体的运动方程为，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（ ）A米/秒B米/秒C米/秒D米/秒【答案】A【解析】，将代入可得，由导数的意义可知物体在秒末的瞬时速度是米/秒故选2设，是两个非空集合，定义，若，则中元素的个数是（ ）ABCD【答案】C【解析】，中元素的个数是故选3已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程是（ ）ABCD【答案】D【解析】由椭圆长轴长为，离心率为，可知，得，故，又椭圆焦点在轴上，所以椭圆的标准方程是故选4有名男医生、名女医生，从中选出名男医生、名女医生
2、组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A种B种C种D种【答案】C【解析】根据题意，先从名男医生中选人，有种选法，再从名女医生中选出人，有种选法，则不同的选法共有种故选5已知函数在上是单调减函数，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】由，得，函数在上是单调减函数，在恒成立，解得，即实数的取值范围是故选6已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）ABCD【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中底面是等腰直角三角形，底面，该三棱锥的四个面中，面积最大的为侧面，其面积故选7下列计算错误的是（ ）ABCD【答案
3、】D【解析】项，故正确；项，故正确；项，故正确；项，故错误综上所述故选8“”是“函数存在极值”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】函数的定义域为，导数，若函数存在极值，则有解，即有解，即有解，即，则“”是“函数存在极值”的必要不充分条件故选9某同学有同样的画册本，同样的集邮册本，从中取出本赠送给位朋友，每位朋友本，则不同的赠送方法共有（ ）A种B种C种D种【答案】B【解析】若赠送本画册，本集邮册，需从人中选取人赠送画册，其余送邮册，有种方法若赠送本画册，本集邮册，需从人中选出人送画册，其余送邮册，有种方法，由分类加法计数原理，不同的赠送方法
4、有种故选10设，函数的图像可能是（ ）ABCD【答案】C【解析】根据，函数可知，当时，当时，故选11已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）ABCD【答案】B【解析】由导数的图象可得，导函数的值在上逐渐增大，故函数在上增长速度逐渐变大，函数的图象是下凹型的；导函数的值在上逐渐减小，函数在上的增长速度逐渐变小，故函数的图象是上凸型的故选12已知三次函数的图象如图所示，则（ ）ABCD【答案】A【解析】由得，函数在取得最大值，在取得极小值，即，解得，故选二、填空题：13现将张连号的电影票分给甲乙等个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有_种不同的分法
5、（用数字作答）【答案】【解析】将张电影票分给甲，乙等人，每人一张，且甲乙分得的电影票是连号，相当于将人进行全排列，且甲、乙必须相邻，故共有种不同的分法14用数字，组成_个没有重复数字的五位偶数【答案】【解析】若末尾数字是零，则其余个数全排列，共个五位偶数；若末尾数字是或，则从除以外个数中选一个放在首位，其余三个数全排列，共种可能，故用数字，可组成个没有重复数字的五位偶数15二项式的展开式中，的项的系数是_；是否存在常数项_（填是或否）【答案】否【解析】二项式展开式的通项为：，令，得，故的项的系数是，令，得，故不存在常数项16若，则_【答案】【解析】展开式的通项公式为：，令，得常数项，令得，故1
6、7曲线在点处的切线的斜率是_，切线的方程为_【答案】【解析】由得，即曲线在点处的切线的斜率是，又，故切线方程为，即18已知函数的定义域为，部分对应值如下表：的导函数的图象如图所示下列关于的命题：函数是周期函数；函数在上是减函数；如果当时，的最大值是，那么的最大值是；当时，函数有个零点；其中正确命题的序号是_（写出所有正确命题的序号）【答案】【解析】由导函数的图象，可得到原函数的大致图象，如图所示：对于，由图可知函数不能确定是否是周期函数，故错误；对于，由导函数图象可知，当时，所以函数在上是减函数，故正确；对于，根据对应值表知，函数在区间上的最大值是，故如果当时，的最大值是，则的值可以是，故错误
7、；对于，表中没有给出的值，故当时，函数的零点个数不确定，故错误综上所述，其中正确命题的序号是：三、解答题19盒中放有标号为、的四个白球，标号为、的两个红球，现从中任取两个球（）列出所有的取球情况（）恰为白球红球的取法有多少种？（）两球同色的取法有多少种？（）记抽取球的标号分别为，记，则的取法有多少种？【答案】见解析【解析】解：（）所有的取球情况为，（）恰有个红球个白球的取球情况有种（）两球同色的取法有种（）满足的取法有，共种20已知函数，（）求函数的最小值（）求函数的最大值（）证明：对任意，都有成立【答案】见解析【解析】解：（）由，得，的定义域是，令得，令得，函数在区间上是减函数，在区间上是增
8、函数，故函数的最小值为（）由得，令得，令，得，函数在上是增函数，在区间上是减函数，故函数的最大值为（）证明：由（）（）可知，当时，对任意，有，即，即，故对任意，都有成立21如图，在三棱柱中，平面，分别为，中点（）求证：平面（）求证：平面平面（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】见解析【解析】（）证明：连结，交于，则是的中点，连结，在中，分别是，的中点，且，又是中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面（）证明：，且是的中点，又平面，平面，平面又，平面，平面平面（）如图建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得直线与平面所成角的正弦值为22已知函数（）当时，求函数的极值（）若函数
9、在上是减函数，求实数的取值范围【答案】见解析【解析】解：（）函数的定义域为，当时，令得，令，得，函数在区间上单调递减，在上单调递增，在时取得极小值，无极大值（）由得，已知函数在上是减函数，则在上恒成立，即在上恒成立，令，则，当时，故在上为减函数，即实数的取值范围是23已知函数，（）当时，求函数的单调区间（）当时，讨论函数的零点个数【答案】见解析【解析】解：（）函数的定义域是，且，当时，时，时，当时，时，当时，当时，恒成立，综上所述：当时，的单调减区间是，单调增区间是；当时，的单调增区间是和，单调减区间是；当时，的单调增区间是（）由（）知，当时，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值当时，令，解得，此时在上只有一个零点；当时，此时在上只有一个零点；当时，此时在上没有零点；当时，且，此时在上有两个零点当时，在上单调递减，在，上单调递增，【注意有文字】而，故在上只有一个零点；当时，在上单调递增，且，故在上只有一个零点；综上所述，当或时，在上只有一个零点；当时，在上没有零点；当时，在上有两个零点
