1、江苏省江阴高级中学2020-2021学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数(为虚数单位)，则（ ）AB2.CD12已知道试题中有道代数题和道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为（ ）ABCD3水以匀速注入如右图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（）ABCD4的展开式中，系数最大的项是（ ）A第项 B第项 C第项 D第或项5从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数
2、字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）A51个B54个C12个D45个6已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD7易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）ABC D8已知函数，若，则的最大值为（ ）A B C D 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得
3、 0 分，部分选对的得2分.9下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）A抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量D某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X10若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的有（ ）A与所成的角为45B与所成的角为90C与平面所成角的正弦值为D平面与平面所成角的正切值是11的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（ ）AB展开式中常数项为3C展开式中的系数为30D展开式中x的偶数次幂项的系数之和为6412如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
4、为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFa，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13复数，满足，则_.14某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且mn则_.15
5、若是正奇数，则被9除的余数为_.16在桌面上有一个正四面体DABC任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作如图，现底面为ABC，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为_；操作n次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为_.四、解答题17(本小题满分10分)已知复数：（1）在为实数，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若_，求实数的取值或范围；（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围.18(本小题满分12分)已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最
6、大值和最小值.19(本小题满分12分)幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜哪一个花轿里是自已的妈妈.假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的.（1） 已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自 己妈妈的概率；（2）如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为，求的分布列.20(本小题满分12分)如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上,设，矩形的面积为.（1）写出矩形的面积关于的函数，
7、问怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？求出最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积.21(本小题满分12分)如图，四边形为正方形，平面，于点，交于点（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值22(本小题满分12分)已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数有三个极值点，（），求的取值范围2020-2021学年度江阴高级中学高二数学期中考试卷答案2021.04一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1已知复数(
8、为虚数单位)，则（ ）AB2.CD1【答案】A【详解】因为，所以.故选：A.2已知道试题中有道代数题和道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为（ ）ABCD【答案】C【详解】设事件“第次抽到代数题”，事件“第次抽到几何题”， ,则，所以在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率为.故选：C.3水以匀速注入如右图容器中，试找出与容器对应的水的高度与时间的函数关系图象（）ABCD【答案】B【解析】由于容器上细下粗，所以水以横速注入水，开始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与图象越来越陡峭，原来越大，选B4的展开式中，系数最大的
9、项是（ ）A第项 B第项 C第项 D第或项【答案】C【详解】，要使其系数最大，则应为偶数，又在中，由二项式系数的性质可知，当或时，最大，故在的展开式中，当，即第项系数最大，故选：C.5从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）A51个B54个C12个D45个【答案】A【详解】由题意分类讨论：（1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有(个).（2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有（个）.（3）当这个三位数，
10、2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有（个）由分类加法计数原理得共有(个)故选：A6已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【详解】因为函数有两个不同的零点，所以方程有两个不同的实数根，因此函数与函数有两个交点.,当时，单调递减，当时，单调递增，因此当时，函数有最大值，最大值为：，显然当时，当时，当时，因此函数的图象如下图所示：通过函数的图象和上述分析的性质可知：当时，函数与函数有两个交点. 故选：D7易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图
11、，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这个数中任取个数，则这个数中至少有个阳数的概率为（ ）ABCD【答案】B【详解】由题意可知，个数中，、是阳数，、是阴数，若任取个数中有个阳数，则，若任取个数中有个阳数，则，故这个数中至少有个阳数的概率，故选：B.8已知函数，若，则的最大值为（ ）A B C D 【答案】D【详解】由题意得，即，令函数，则，所以，时，在上单调递减，时，在上单调递增，又当时，时，作函数的图象如图所示.由图可知，当时，有唯一解，故，且，.设，则，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，即的最大值为.故选：D.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的
12、选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得2分.9下列问题中的随机变量服从两点分布的是（ ）A抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量XB某射手射击一次，击中目标的次数为随机变量XC从装有5个红球，3个白球的袋中取1个球，令随机变量D某医生做一次手术，手术成功的次数为随机变量X【答案】BCD【详解】两点分布又叫分布，所有的实验结果有两个，选项BCD 满足题意，A中随机变量X的取值有6个，不服从两点分布，故选：BCD.10若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论正确的有（ ）A与所成的角为45B与所成的角为90C与平面所成角的正弦值为D平面与平面所成角的正切值
13、是【答案】BCD【详解】取中点O，连接.若将正方形沿对角线折成直二面角，则，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设，则，与所成的角为60，故A不正确；易得，故B正确；设平面的一个法向量为，则取，则，又，设与平面所成的角为，故C正确；易知平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则取，则，设平面与平面所成的角为，则，平面与平面所成角的正切值是，故D正确.故选：BCD.11的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论中正确的是（ ）AB展开式中常数项为3C展开式中的系数为30D展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64【答案】ABD【详解】设
14、，令，则，令，则，由得，所以，解得，即，令，可得，即展开式中常数项为3，由得，所以，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64，又由展开式中的系数为.故选：ABD.12如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EFa，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值【答案】ABC【详解】对于A，根据题意ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，则ACBE，所以A正确；对于B，A到平面BDD1B1的距离是定值，所以点A到BEF的距离为定值，则B正确；对于C
15、，三棱锥ABEF的体积为V三棱锥ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的，正确；对于D，如图所示异面直线AE，BF所成的角的平面角为不为定值，命题D错误；故选：ABC三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13复数，满足，则_.【答案】114某大学选拔新生补充进“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团，据资料统计，新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立，2020年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“篮球”，“电子竞技”，“国学”三个社团的概率依次为概率依次为m，n，已知三个社团他都能进入的概率为，至
16、少进入一个社团的概率为，且mn则_.【答案】【详解】由题知三个社团都能进入的概率为，即，又因为至少进入一个社团的概率为，即一个社团都没能进入的概率为，即，整理得. 故答案为：.15若是正奇数，则被9除的余数为_.【答案】7【详解】由题可知：原式=，因为为正奇数，所以上式可化简为：所以该式除以9，余数为：7.16在桌面上有一个正四面体DABC任意选取和桌面接触的平面的三边的其中一条边，以此边为轴将正四面体翻转至另一个平面，称为一次操作如图，现底面为ABC，且每次翻转后正四面体均在桌面上，则操作3次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为_；操作n次后，平面ABC再度与桌面接触的概率为_.【答案】;
17、四、解答题17(本小题满分10分)已知复数：（1）在为实数，为虚数，为纯虚数，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.若_，求实数的取值或范围；（2）当在复平面内对应的点位于第三象限时，求的取值范围.【答案】选择，当为实数时，有，解得或，4分选择，当为虚数时，有，解得或，4分选择，当为纯虚数时，有，解得，；4分（2）因为在复平面内对应的点位于第三象限，所以，解得，所以的取值范围为.10分18(本小题满分12分)已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值和最小值.【详解】（1）因为，所以，.2分又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.4分（2）设，则.6分当时，所以在区
18、间上单调递减.8分所以对任意有，即.所以函数在区间上单调递减.10分因此在区间上的最大值为，最小值为.12分19(本小题满分12分)幼儿园组织“选妈妈”游戏：有四位妈妈分别躲在四个外观一模一样的花轿里让小朋友们去猜哪一个花轿里是自已的妈妈.假设各位小朋友都是随机选择，选到每一位妈妈都是等可能的.（2） 已知妮妮的妈妈在某个花轿里，如果给妮妮两次机会单独去玩“选妈妈”游戏，求他选到自 己妈妈的概率；（2）如果四位妈妈所对应的四位小朋友一起选择，一人只选一个花轿，而且每个人选的花轿都不相同，记恰好选到自己妈妈的人数为，求的分布列.【答案】（1）记“妮妮选到自己妈妈”为事件，则；2分（2）由题意知的
19、所有可能值为，3分则， 5分 ，7分，9分 ，11分随机变量的分布列：12分20(本小题满分12分)如图，在半径为的半圆形（为圆心）铝皮上截取一块矩形材料，其中点、在直径上，点、在圆周上,设，矩形的面积为.（1）写出矩形的面积关于的函数，问怎样截取才能使截得的矩形的面积最大？求出最大面积；（2）若将所截得的矩形铝皮卷成一个以为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），应怎样截取，才能使做出的圆柱形罐子体积最大？并求最大体积.【详解】（1）连结.则，其中. 所以矩形的面积关于的函数：（）2分.当且仅当，即时，取最大值为.4分所以，取为时，矩形的面积最大，最大值为. 6分（2）设圆柱底面半径为
20、，高为，体积为.由，得，所以，其中.8分由，得，因此在上是增函数，在上是减函数.所以当时，的最大值为.10分取为时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大值为.12分21(本小题满分12分)如图，四边形为正方形，平面，于点，交于点（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）证明：平面，平面，1分四边形为正方形中，,平面，2分平面，3分，,平面，4分平面平面平面5分（2）解：设，则，由（1）知平面，以，为，轴建立空间直角坐标系，则，7分设平面，即,，9分平面，10分设二面角的平面角为，11分又二面角的平面角为锐角，二面角的余弦值为12分22(本小题满分12分)已知函数（1）讨论的单调性；（2）若函数有三个极值点，（），求的取值范围【详解】（1），1分当时，在上单调递减；2分当时，令，得，当时，；当时，故在上单调递减，在上单调递增4分（2），因为有三个极值点，所以有三个根，假设，是的两个根，6分结合（1）可知，当时，满足条件，则，解得，7分所以，又，所以方程的两个根中有一个小于1，一个大于1，又，所以，是的两个根，9分所以，所以，11分令，则，所以在（0，1）上单调递增，所以，所以的取值范围是12分
