1、第二章 参数方程4平白线和渐开线导疑1渐开线方程中，字母r和参数的几何意义是什么？导思1字母r是指基圆的半径，参数是指绳子外端运动时，绳子t的定点M相对于圆心的张角导疑2摆线的参数方程中，字母r和参数的几何意义是什么？导思2字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于一定点运动所张开的角度大小导果1渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线，相应的定圆叫做基圆2摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹，圆的摆线又叫旋轮线3圆的渐开线和摆线的参数
2、方程(1)圆的渐开线方程：(为参数)(2)摆线的参数方程：(为参数)1判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程()(2)圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题()(3)在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程()(4)圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点()答案(1)圆的渐开线的参数方程可以转化为普通方程(2)(3)(4)圆的渐开线和坐标轴交点要看坐标系的选取2做一做(1)已知圆的渐开线的参数方程(为参数
3、)，则此渐开线对应基圆的面积是()A1 B C2 D2答案B解析由参数方程知基圆的半径为1，所以其面积为(2)圆的渐开线方程为(为参数)，当时，渐开线上的对应点的坐标为()A(2，2) B(2，)C(4，2) D(4，2)答案A解析将代入可得即选A(3)半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是()A B2 C12 D14答案C解析圆的摆线的参数方程为(为参数)，由题意得03(1cos)，cos1sin0，2k，kZ，则x32k6k，kZ当kZ时，横坐标可能为12，故选C(4)我们知道关于直线yx对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线(为参数)关于直线yx对称的曲线的参数方程为_答
4、案(为参数)解析关于直线yx对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x与y的互换，所以要写出摆线方程关于yx对称的曲线方程，只需把其中的x，y互换探究圆的渐开线的参数方程例1如图所示，有一标准的渐开线齿轮，齿轮的齿廓线的基圆直径是340 mm，以基圆圆心O为原点建立直角坐标系，求齿廓线AB所在的渐开线的参数方程解由圆的渐开线的参数方程可知，渐开线的参数方程与基圆的半径有关，若基圆的半径确定了，把半径r的值代入，即得圆的渐开线的参数方程由已知，得2r340，即r170，代入圆的渐开线的参数方程，得(为参数)解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程，将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建
5、立等式关系上用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：(1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y)；(2)取定运动中产生的某一角度为参数；(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式；(4)用向量运算得到O的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程【跟踪训练1】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上的两点A，B对应的参数分别是和，求A，B两点的距离解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(为参数)，分别把和代入，可得A，B两点的坐标分别为A，B那么，根据两点之间的距离公式可得A，B两点的距离为|AB| 即A，B两点之间的距离为 探究圆的摆线的参数
6、方程例2已知一个圆的摆线方程是(为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程解根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以其面积是16，该圆对应的渐开线参数方程是(为参数)(1)圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹(2)根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小【跟踪训练2】圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O圆上点M起始处沿顺时针已偏转角试求点M的轨迹方程解xMrrcosr(sin)，yMrrsinr(1cos)即点M的轨迹方程为 1圆的渐开线的参数方程中，字母r
7、表示基圆的半径，字母是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角2由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程1已知圆的渐开线(为参数)上有一个点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为()A B3 C6 D9答案D解析把已知点(3，0)代入参数方程得由得tan，所以0，代入得，3r(cos00)，所以r3，所以基圆的面积为92圆的渐开线(为参数)上与对应点的直角坐标为()A BC D答案A解析将代入圆的渐开线方程，得所以x1，y13摆线(t为参数，0t2)与直线y2的交点的直角坐标是()A(2，2)，(32，2)B(3，2)，(33，2)C(，
8、2)，(，2)D(22，2)，(22，2)答案A解析由22(1cost)得cost0t0，2)，t1，t2代入参数方程得到对应的交点的坐标为(2，2)，(32，2)4已知圆的渐开线的参数方程是(为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是_，当参数时对应的曲线上的点的坐标为_答案2解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2求当时对应的坐标只需把代入曲线的参数方程，得x，y，由此可得对应的坐标为 一、选择题1关于渐开线和摆线的叙述，正确的是 ()A只有圆才有渐开线B渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C正方形也可以有渐开线D
9、对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同答案C解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同2圆(为参数)的渐开线方程是()A(为参数)B(为参数)C(为参数)D(为参数)答案C解析由圆的参数方程知圆的半径为10，故其渐开线方程为(为参数)，选C3半径为1的圆的渐开线的参数方程为()A(为参数)B(为参数)C(为参
10、数)D(为参数)答案C解析由圆的渐开线的参数方程得(为参数)4已知圆的渐开线的参数方程为(为参数)，点M是此渐开线上一点，则点M与原点的距离的最小值是()A B3 C6 D9答案B解析由圆的渐开线的定义，知渐开线开始时的点(3，0)与原点的距离最小，故最小距离为35已知摆线的参数方程为(为参数)，当参数时，对应于摆线上的点的坐标是()A(2，4) B(4，4)C(4，8) D(4，4)答案C解析把代入参数方程，得故所求点的坐标为(4，8)6已知圆的摆线的参数方程为(为参数)，则它的一个拱的宽度和高度分别是()A4，2 B2，4 C2，2 D4，4答案D解析由圆的摆线的参数方程可知，基圆的半径为
11、2，而摆线的拱宽为2r，拱高为2r，故可知此摆线的一个拱的宽度和高度分别为4和4选D二、填空题7渐开线(为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为_答案(6，0)和(6，0)解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r6，其方程为x2y236，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为2y236，整理可得1，这是一个焦点在x轴上的椭圆c6，故焦点坐标为(6，0)和(6，0)8已知圆的渐开线的参数方程是(t为参数)，则该渐开线的基圆的半径为_，参数t对应的点的直角坐标是_答案6(32，32)解析由参数方程，得基圆的半径r6把t代
12、入参数方程，得即参数t对应的点的直角坐标是(32，32)9当分别为和时，渐开线(为参数)上对应的点为A，B，则A，B间的距离为_答案 解析将代入得A将代入得B(1，)故A，B间的距离为|AB|三、解答题10半径为r的圆沿直轨道滚动，M在起始处和原点重合，当M转过和时，求点M的坐标解由摆线方程可知，时，xMr，yMr；时，xMr(72)，yMr点M的坐标分别是，r(72)，r11已知一个圆的平摆线方程是(为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标解由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4当时，y有最大值4，平摆线具有周期性，周期为2平摆线上最高点的坐标为(2k，4)(kZ)12已知圆C的参数方程是(为参数)，直线l的普通方程是xy60(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？(2)写出平移后圆的摆线方程；(3)求摆线和x轴的交点解(1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线xy60的距离为d6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(为参数)(3)令y0，得66cos0cos1，所以2k(kZ)代入x66sin，得x12k(kZ)，即圆的摆线和x轴的交点为(12k，0)(kZ)
