1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷一填空题（本大题满分70分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1命题“xR，x22x+10”的否定形式为2双曲线=1的渐近线方程为3课题组进行城市空气质量调查，按地域把城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、8、12若采用分层抽样的方法抽取一个容量n的样本，且每一个城市被抽到的概率都是0.25，则乙组中应抽取的城市数为4运行如图所示的程序框图，所得的结果是5为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为6同时抛掷两枚质地
2、均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为7a=2是直线4x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1相互平行的条件（选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”）8在ABC的边BC上取一个点P，记ABP和ACP的面积分别为S1和S2，则S13S2的概率是9函数y=lnx（x0）的图象与直线相切，则a等于10已知圆C：（x+3）2+（y4）2=4，若直线l1过点A（1，0），且与圆C相切，则直线l1的方程为11关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中真命题的序号是（1）若aM，bM，则ab； （2）若aM
3、，aN，则MN；（3）若aM，bM，且la，lb，则lM；（4）若ab，bM，则aM12设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是13设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，则a的取值范围为14已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上设直线AB的斜率为k，若0k，则e的取值范围为二解答题（本大题90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：函数f（x）=x3+（k3）
4、x+1既有极大值点，又有极小值点若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求k的取值范围16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）若PCPA，PD=AD，求证：平面BDE平面PAB17在平面直角坐标系xoy中，已知圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，1），且圆心在直线上（1）求圆C的方程； （2）判断直线l：x+y+2=0和圆C的位置关系；（3）已知点B（4，2）设P和Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标18某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且ABBC，OABC，A
5、B=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km2）19已知椭圆的离心率，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2原点到直线A2B2的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与以MN为直径的圆G相切，切点
6、为T证明：线段OT的长为定值，并求出该定值20已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），g（x）=x3+ax2x+2（1）当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值；（2）当a=1时，求函数y=g（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；（3）当x1，e时，讨论方程f（x）=0根的个数2015-2016学年江苏省淮安市清江中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一填空题（本大题满分70分）请把答案直接填写在答题纸相应位置上.1命题“xR，x22x+10”的否定形式为xR，x22x+10【考点】特称命题；命题的否定【专题】探究型【分析】利用特称命题的否定是全称命题来求解【解
7、答】解：因为命题是特称命题，所以根据特称命题的否定是全称命题，所以命题“xR，x22x+10”的否定形式为：xR，x22x+10故答案为：xR，x22x+10【点评】本题主要考查特称命题的否定，比较基础2双曲线=1的渐近线方程为【考点】双曲线的简单性质【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据双曲线的渐近线方程即可得到结论【解答】解：双曲线的方程=1，a2=9，b2=16，即a=3，b=4，则双曲线的渐近线方程为，故答案为：【点评】本题主要考查双曲线渐近线的判断，根据双曲线的方程确定a，b是解决本题的关键比较基础3课题组进行城市空气质量调查，按地域把城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别
8、为4、8、12若采用分层抽样的方法抽取一个容量n的样本，且每一个城市被抽到的概率都是0.25，则乙组中应抽取的城市数为2【考点】分层抽样方法【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计【分析】利用分层抽样的性质求解【解答】解：按地域把城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4、8、12采用分层抽样的方法抽取一个容量n的样本，且每一个城市被抽到的概率都是0.25，乙组中应抽取的城市数为：80.25=2故答案为：2【点评】本题考查样本单元数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用4运行如图所示的程序框图，所得的结果是2【考点】程序框图【专题】计算题；图表型；分析法；算法和
9、程序框图【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出该程序的运行结果是什么【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=0，S=0+21=2，k=1+1=2，满足条件S12，输出k的值为2故答案为：2【点评】本题考查了程序框图的运行过程，解题时应模拟算法程序的运行过程，从而得出正确的结果，是基础题5为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为5【考点】极差、方差与标准差【专题】计算题【分析】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出六个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方
10、差【解答】解：根据茎叶图可知这组数据的平均数是=18，这组数据的方差是+（1818）2+（2018）2+（2118）2=5，故答案为：5【点评】本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题6同时抛掷两枚质地均匀的骰子一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具，观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=66=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本
11、事件有5种，由此利用对立事件概率计算公式能求出两个点数之积不小于4的概率【解答】解：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=66=36，观察向上的点数，则两个点数之积小于4的基本事件有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5种，两个点数之积不小于4的概率p=1=故答案为：【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式和对立事件概率计算公式的合理运用7a=2是直线4x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1相互平行的充要条件（选填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”）【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专
12、题】方程思想；综合法；直线与圆；简易逻辑【分析】首先，根据两直线平行得到a=2，当a=2时，两直线重合，从而得到结果【解答】解：直线4x+ay=2a+2与直线ax+y=a+1平行，4a2=0，a=2，当a=2时，两直线重合，“a=2”是“直线2x+ay+2=0与直线ax+2y2=0平行”的充要条件，故答案为：充要【点评】本题重点考查了两直线平行的判断、充条件、必要条件、充要条件等知识，属于中档题8在ABC的边BC上取一个点P，记ABP和ACP的面积分别为S1和S2，则S13S2的概率是【考点】几何概型【专题】计算题；数形结合；定义法；概率与统计【分析】由S13S2，可得AP3BP，以长度为测度
13、，即可求得概率【解答】解：由题意，设AB边上的高为h，则S1=APh，S2=BPh，S13S2，AP3BP，S13S2的概率是，故答案为：【点评】本题考查概率的计算，考查三角形面积的计算，确定AP3BP，以长度为测度是解题的关键9函数y=lnx（x0）的图象与直线相切，则a等于ln21【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用【分析】根据切点在曲线上，可以设切点P（m，lnm），根据导数的几何意义，可以得到切线的斜率a=y|x=m，再由切点在切线上，可以得到lnm=a+m，解两个方程，即可得到a的值【解答】解：根据切点P在曲线上，设切点P的坐标为（m，ln
14、m），函数y=lnx，y=，根据导数的几何意义可以得到，切线的斜率k=y|x=m=，又切点P（m，lnm）在切线y=x+a上，lnm=a+m，由，解得m=2，a=ln21，故答案为：ln21【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上属于中档题10已知圆C：（x+3）2+（y4）2=4，若直线l1过点A（1，0），且与圆C相切，则直线l1的方程为x=1或3x+4y+3=0【考点】圆的切线方程【专题】计算题；分类讨论；综合法；直线与圆【分析】分类讨论，利用直线与圆C相切，根据点到直线的距离公式，距离方
15、程，即可求直线l1的方程【解答】解：若直线l1的斜率不存在，直线l1：x=1，符合题意 若直线l1的斜率存在，设直线l1为y=k（x+1），即kxy+k=0由题意得， =2，解得k=，直线l1：3x+4y+3=0直线l1的方程是x=1或3x+4y+3=0故答案为：x=1或3x+4y+3=0【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于中档题11关于直线a，b，l以及平面M，N，下面命题中真命题的序号是（2）（1）若aM，bM，则ab； （2）若aM，aN，则MN；（3）若aM，bM，且la，lb，则lM；（4）若ab，bM，则aM【考点】空间中直线与平面之间的位置
16、关系【专题】空间位置关系与距离【分析】利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答，找出正确命题【解答】解：对于（1），若aM，bM，则a与b有相交平行或者异面；故（1）错误； 对于（2），若aM，aN，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理得到MN；故（2）正确；对于（3），若aM，bM，且la，lb，如果直线a，b平行得不到lM；故（3）错误；对于（4），若ab，bM，则a可能在平面M内故（4）错误；故答案为：（2）【点评】本题考查了线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理的运用；熟练的运用定理进行分析是关键12设P为函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线
17、的倾斜角为，则的取值范围是，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的几何意义【专题】计算题【分析】由f（x）=+，再利用基本不等式求其范围，从而得出切线的倾斜角为的正切值的取值范围，而0，从而可求的取值范围【解答】解：函数，y=+2=（当且仅当=取等号），y，+），tan，又0，故答案为：，）【点评】本题考查导数的几何意义，关键在于通过导数解决问题，难点在于对切线倾斜角的理解与应用，属于中档题13设f（x）=，其中a为正实数，若f（x）为R上的单调函数，则a的取值范围为0a1【考点】复合函数的单调性【专题】导数的综合应用【分析】求出原函数的导函数，由f（x）为R上的单调函数，可知导函数
18、在（0，+）大于等于0（或小于等于0）恒成立，然后转化为二次函数恒成立问题求得a的取值范围【解答】解：由f（x）=，得，f（x）为R上的单调函数，0对任意实数x恒成立，或0对任意实数x恒成立，由得，ex（ax22ax+1）0对任意实数x恒成立，a0，解得：0a1由得，ex（ax22ax+1）0对任意实数x恒成立，a0，满足ex（ax22ax+1）0对任意实数x恒成立的a不存在综上，a的取值范围为0a1故答案为：0a1【点评】本题考查了函数单调性的性质，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题14已知椭圆+=1（ab0）的右焦点为F1（1，0），离心率为e设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF
19、1的中点为M，BF1的中点为N，原点O在以线段MN为直径的圆上设直线AB的斜率为k，若0k，则e的取值范围为1，1）【考点】椭圆的简单性质【专题】直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】通过几何法得到|F1C|=|CO|=，由，可得到A点坐标，从而求出OA的斜率，由直线AB斜率为0k，求出a的取值范围，从而求出e的取值范围【解答】解：记线段MN与x轴交点为CAF1的中点为M，BF1的中点为N，MNAB，|F1C|=|CO|=，A、B为椭圆上关于原点对称的两点，|CM|=|CN|原点O在以线段MN为直径的圆上，|CO|=|CM|=|CN|=|OA|=|OB|=c=1|OA|b，a2=b2+c
20、22c2，e=设A（x，y），由，得直线AB斜率为0k，03，1a21+，即为a，e=，由于0e1，离心率e的取值范围为1，1）故答案为：1，1）【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆方程的运用，同时考查圆的性质和直线斜率公式的运用，考查运算能力，属于中档题二解答题（本大题90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15设命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：函数f（x）=x3+（k3）x+1既有极大值点，又有极小值点若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求k的取值范围【考点】复合命题的真假【专题】转化思想；定义法；简易逻辑【分析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利
21、用复合命题真假之间的关系进行判断求解【解答】解：p真：则，即，即1k4（2分）若f（x）=x3+（k3）x+1既有极大值点，又有极小值点，则函数的f（x）=3x2+（k3）有两个不同的零点，则k30，即k3，即q真：k3（4分），若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则p，q为一真一假若p真q假：（7分）若p假q真：，得k1（10分）综上，k1或3k4，（14分）【点评】本题主要考查复合命题真假的应用，根据条件求出两个命题的为真命题的等价条件是解决本题的关键16如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点（1）求证：PC平面BDE；（2）若PCPA，PD=AD，
22、求证：平面BDE平面PAB【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【专题】证明题；空间位置关系与距离【分析】（1）连结AC，交BD于O，连结OE，E为PA的中点，利用三角形中位线的性质，可知OEPC，利用线面平行的判定定理，即可得出结论；（2）先证明PADE，再证明PAOE，可得PA平面BDE，从而可得平面BDE平面PAB【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE因为ABCD是平行四边形，所以OA=OC（2分）因为E为侧棱PA的中点，所以OEPC（4分）因为PC平面BDE，OE平面BDE，所以PC平面BDE（6分）（2）因为E为PA中点，PD=AD，所以PADE（8分）因为P
23、CPA，OEPC，所以PAOE因为OE平面BDE，DE平面BDE，OEDE=E，所以PA平面BDE（12分）因为PA平面PAB，所以平面BDE平面PAB（14分）【点评】本题考查线面平行的判定，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题17在平面直角坐标系xoy中，已知圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，1），且圆心在直线上（1）求圆C的方程； （2）判断直线l：x+y+2=0和圆C的位置关系；（3）已知点B（4，2）设P和Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（
24、1）可设圆心坐标为C（2a，a），利用圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，1），求出a，即可求圆C的方程； （2）利用圆心到直线l：x+y+2=0的距离与半径的关系，判断直线l：x+y+2=0和圆C的位置关系；（3）求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径【解答】解：（1）因为圆心在直线上，可设圆心坐标为C（2a，a），又圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，1），a=1，圆心坐标为C（2，1），圆C的方程为（x2）2+（y1）2=5（5分）（2）圆心到直线l：x+y+2=0的距
25、离是，直线l与圆相离（9分）（3）直线l：x+y+2=0到原点的距离，直线与圆相离点B（4，2），则PB+PQBCr，B到圆上点的最短距离为PB+PQ最小值为，直线BC的方程为，直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为（15分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18某地有如图所示的一块不规则的非农业用地ABCO，且ABBC，OABC，AB=BC=4km，AO=2km，曲线段OC是以O为顶点，开口向上，且对称轴平行于AB的抛物线的一段当地政府为科技兴市，欲将该地规划建成一个矩形高科技工业园区PMBN，矩形的相邻两边BM，BN分
26、别落在AB，BC上，顶点P在曲线段OC上问应如何规划才能使矩形园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到0.1 km2）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；基本不等式在最值问题中的应用【专题】综合题；函数思想；综合法；导数的概念及应用【分析】求出曲线OC的方程，设出P点坐标，用P点坐标表示出矩形的面积函数，求出面积函数的最大值【解答】解：以O为原点，直线AO为x轴，且以1 km为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系，于是C（2，4），B（2，4）设曲线段OC所在抛物线方程为x2=2py（p0），于是22=2p4，得2p=1所以曲线段OC所在抛物线方程为x2=y设P（x，x2）（0x
27、2），则M（2，x2），N（x，4），MP=x+2，PN=4x2，矩形PMBN的面积S（x）=MPPN=（x+2）（4x2）=x32x2+4x+8（0x2），令S=0得或x=2（舍）当时，S0，函数S在内是单调增函数；当时，S0，函数S在内是单调减函数时，S（x）取得最大值S（）=9.5故选取P点距AB距离约为2.7 km时，能使矩形园区的用地面积最大，最大面积约为9.5 km2【点评】本题考查了导数与函数的单调性，函数最值之间的关系，求出矩形的面积函数是解题关键19已知椭圆的离心率，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2原点到直线A2B2的
28、距离为（1）求椭圆C的方程；（2）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与以MN为直径的圆G相切，切点为T证明：线段OT的长为定值，并求出该定值【考点】椭圆的简单性质【专题】证明题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设a=2m，c=m，则b=m直线A2B2方程为mx2my2m2=0由点到直线距离公式能求出m=1由此能求出椭圆方程（2）由A1（0，1）A2（0，1），设P（x0，y0），分别求出直线PA1和直线PA2，法一：设圆G的圆心为（），0），利用圆的性质能证明线段OT的长度为定值2；法二：由切割线定理得OT2=OMO
29、N=4从而得到线段OT的长度为定值2【解答】解：（1）因为椭圆C的离心率e=，故设a=2m，c=m，则b=m直线A2B2方程为 bxayab=0，即mx2my2m2=0所以=，解得m=1所以a=2，b=1，椭圆方程为+y2=1（5分）证明：（2）由（1）可知A1（0，1）A2（0，1），设P（x0，y0），直线PA1：y1=x，令y=0，得xN=，（6分）直线PA2：y+1=x，令y=0，得xM=，（7分）解法一：设圆G的圆心为（），0），（9分）则r2=（）2=（+）2（11分）OG2=（）2OT2=OG2r2=（）2（+）2=（13分）而+y02=1，所以x02=4（1y02），所以OT2
30、=4，（15分）所以OT=2，即线段OT的长度为定值2（16分）解法二：OMON=|（）|=，而+y02=1，所以x02=4（1y02），所以OMON=4由切割线定理得OT2=OMON=4所以OT=2，即线段OT的长度为定值2（16分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆、圆、点到直线距离公式、切割线定理等知识点的合理运用20已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数），g（x）=x3+ax2x+2（1）当a=4时，求函数f（x）在1，e上的最大值及相应的x值；（2）当a=1时，求函数y=g（x）的图象过点P（1，1）的切线方程；（3）当x1，e时，讨论方程f
31、（x）=0根的个数【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值【专题】转化思想；数形结合法；导数的概念及应用【分析】（1）求出函数的导数，求得单调区间，可得最大值及相应的x的值；（2）设出切点的坐标，求得切线的斜率，解方程可得切点的坐标，进而得到切线的方程；（3）1，e，方程f（x）=0根的个数等价于x（1，e时，方程根的个数，设g（x）=，求得导数，求得单调区间，画出图象，平移直线y=a，即可得到所求根的情况【解答】解：（1）函数f（x）=alnx+x2的导数为，当时，f（x）0当时，f（x）0，又f（e）f（1）=4+e210，故，当x=e时，取等号；（2）a=1时
32、，g（x）=x3x2x+2，设切点坐标是M（x0，y0），（x01），则有=3x022x01，将y0=x03x02x0+2，代入上式整理得2x034x02+2x0=0，即2x0（x01）2=0，得x0=1或x0=0则函数的图象过点P（1，1）的切线方程为x+y2=0或y=1（3）易知x1，故x1，e，方程f（x）=0根的个数等价于x（1，e时，方程根的个数 设g（x）=，当时，g（x）0，函数g（x）递减，当时，g（x）0，函数g（x）递增又g（e）=e2，作出y=g（x）的图象，由图象知：当2eae2时，即e2a2e时，方程f（x）=0有2个相异的根；当ae2或a=2e时，方程f（x）=0有1个根；当a2e时，方程f（x）=0有0个根【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！
