1、专题2 不等式与线性规划第4练 用好基本不等式基本不等式是解决函数值域、最值、不等式证明、参数范围问题的有效工具，在高考中经常考查，有时也会对其单独考查.题目难度为中等偏上.应用时，要注意“拆、拼、凑”等技巧，特别要注意应用条件，只有具备公式应用的三个条件时，才可应用，否则可能会导致结果错误.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 1.(2015四川)如果函数 f(x)12(m2)x2(n8)x1(m0，n0)在区间12，2 上单调递减，那么 mn 的最大值为()A.16 B.18C.25 D.812 体验高考 解析 123452.(2015陕西)设 f(x)ln
2、x，0ab，若 pf(ab)，qf ab2，r12(f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()解析 12345A.qrpB.qrpC.prqD.prq 3.(2015 天津)已知a0，b0，ab8，则当a的值为_时，log2alog2(2b)取得最大值.解析 log2alog2(2b)log2a(1log2b)12345log2a1log2b22log2ab122log281224，4解析答案 当且仅当log2a1log2b，即a2b时，等号成立，此时a4，b2.123454.(2016江苏)在锐角三角形ABC中，若sin A2sin Bsin C，则tan Atan Btan C的最小值是
3、_.8解析 答案 解析 由已知，ab1，且ab，ab2 ab2.5.(2016上海)设 a0，b0.若关于 x，y 的方程组axy1，xby1无解，则 ab 的取值范围是_.12345解析答案 返回(2，)高考必会题型 题型一 利用基本不等式求最大值、最小值 1.利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.2.结构调整与应用基本不等式 基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的
4、形式.常见的转化方法有：(1)x bxaxa bxaa(xa).(2)若axby1，则 mxny(mxny)1(mxny)axby manb2 abmn(字母均为正数).(a1)(b2)2abab24ab2，例 1(1)已知正常数 a，b 满足1a2b3，则(a1)(b2)的最小值是_.509解析答案 解析 由1a2b3，得 b2a3ab，又 a0，b0，1a2b22ab，ab89(当且仅当 b2a 时取等号)，(a1)(b2)的最小值为 4892509.解 设x1t，则xt1(t0)，(2)求函数 yx27x10 x1(x1)的最小值.解析答案 点评 yt127t110tt4t52t4t59
5、.ymin9.当且仅当 t4t，即 t2，且此时 x1 时，取等号，变式训练1 已知x0，y0，且2x5y20，(1)求ulg xlg y的最大值；解析答案 解 x0，y0，解析答案(2)求1x1y的最小值.1x1y1x1y 2x5y20 12075yx 2xy 120725yx 2xy 72 1020，当且仅当5yx 2xy 时等号成立.由2x5y20，5yx 2xy，解得x1010203，y204 103.1x1y的最小值为721020.题型二 基本不等式的综合应用 例2(1)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储
6、费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A.60件B.80件C.100件D.120件 解析 (2)某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解析答案 点评 变式训练2(1)已知直线axby60(a0，b0)被圆x2y22x4y0截得的弦长为2 5，则ab的最大值是_.解析答案 解析 圆的方程变形为(x1)2(y2)25，由已知可得直
7、线axby60过圆心O(1，2)，a2b6(a0，b0)，6a2b2 2ab，ab92(当且仅当 a2b 时等号成立)，故 ab 的最大值为92.92写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；解析答案(2)某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千件，需另投入成本为 C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)13x210 x(万元).当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x10 000 x1 450(万元).每件商品售价为 0.05 万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？返回 对称轴为x
8、60，即当x60时，L(x)最大950(万元).解 当 0 x80 时，L(x)13x240 x250.当 x80 时，L(x)1 200(x10 000 x)1 2002 10 0001 000(万元)，当且仅当x100时，L(x)最大1 000(万元)，综上所述，当x100时，年获利最大.解析答案 高考题型精练 12345解析 ln xln yln xy1xye.678910 11 121.已知 x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数列，则 xy()A.有最大值 e B.有最大值 eC.有最小值 e D.有最小值 e 解析 x1，y1，且14ln x，14，ln y 成等比数
9、列，ln xln y14ln xln y22，2.若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()解析 12345678910 11 12A.245B.285C.5D.6 3.若正数 a，b 满足1a1b1，则 1a1 9b1的最小值是()A.1B.6C.9D.16 解析 解析 正数 a，b 满足1a1b1，最小值为6.故选B.b aa10，解得 a1.同理可得 b1，1a1 9b1 1a19aa11 1a19(a1)21a19a16，当且仅当 1a19(a1)，即 a43时等号成立，12345678910 11 12 A.4B.16C.9D.3 解析 12345678910 11 12
10、4.已知 a0，b0，若不等式m3ab3a1b0 恒成立，则 m 的最大值为()5.一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率为 a，得 2 分的概率为 b，不得分的概率为 c(a、b、c(0，1)，已知他投篮一次得分的均值为 2，则2a 13b的最小值为()A.323B.283C.143D.163解析 12345678910 11 12 6.已知 m0，a1a20，则使得m21m|aix2|(i1，2)恒成立的 x 的取值范围是()A.0，2a1 B.0，2a2C.0，4a1 D.0，4a2解析 12345678910 11 12 7.已知x0，y0，x3yxy9，则x3y的最小值为_.1234
11、5678910 11 12解析 答案 68.已知三个正数 a，b，c 成等比数列，则acb bac的最小值为_.52解析 由条件可知 a0，b0，c0，且 b2ac，即 b ac，故acb 2 acb2，令acb t，则 t2，所以 yt1t在2，)上单调递增，故其最小值为 21252.12345678910 11 12解析答案 12345678910 11 12解析答案 9.已知x，yR且满足x22xy4y26，则zx24y2的取值范围为_.x24y24(当且仅当x2y时取等号)，又(x2y)262xy0，即2xy6，zx24y262xy12(当且仅当x2y时取等号)，综上可知4x24y21
12、2.4，12解析 2xy6(x24y2)，而 2xyx24y22，6(x24y2)x24y22，12345678910 11 12解析 答案 10.当 x(0，1)时，不等式 41xm1x恒成立，则 m 的最大值为_.912345678910 11 12解析答案 11.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；12345678910 11 12解析答案 解 y2 340 x1318x26 10，(2
13、)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.当且仅当2 340 x13x18，即 x18 10时等号成立.故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元.12345678910 11 1212.某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？解析答案 解 设每件定价为t元，依题意，有8t2510.2 t258，整理得t265t1 0000，解得25t40.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.12345678910 11 12返回 解析答案(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 x 元.公司拟投入16(x2600)万元作为技改费用，投入 50 万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量 a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.本课结束 更多精彩内容请登录：
