1、2011年高三数学综合训练（理） 试卷编号：422一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1在样本的频率分布直方图中，共有个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它个小长方形的面积和的，且样本容量为，则中间一组的频数为（ ）ABCD 2已知、都是实数，且，则“”是“”成立的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D不充分也不必要条件3已知函数是上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，则的值 （ ）A恒为正数 B恒为负数 C恒为 D可正可负4已知函数为奇函数，该函数的部分图象如图所示，是边长为的等边三角形，则的
2、值为（ ）A B C D5设是夹角为的异面直线，则满足条件“，且”的平面（ ） A不存在 B有且只有一对 C有且只有两对 D有无数对6双曲线上到定点的距离是的点的个数是（ ） A个 B个 C个 D个7已知实数满足，若恒成立，则的最小值为（ ） A B C D8已知函数定义域为，且函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）ABCD 9节日期间，某种鲜花进价是每束元，销售价是每束元；节后卖不出的鲜花以每束元的价格处理。根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求服从如下表所示的分布列。 若进这种鲜花束，则期望利润是（ ）A元B元C元D元10给定实数集合满足（其中表示不超过的最大整数，），则（
3、 ）ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11在平面直角坐标系中，方程表示过点且平行于轴的直线。类比以上结论有：在空间直角坐标系中，方程表示 。4主视图4左视图4俯视图442212一几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 。13已知为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式的展开式中含项的系数是 。14已知圆的方程为，是圆上的一个动点，若的垂直平分线总是被平面区域覆盖，则实数的取值围是 。15将一个棋盘中的个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 种不同的染法。 （用数字作答）16已知是锐角的外接圆圆心，若，则 。（用表示）。17若是复数（是虚数单位）
4、的虚部，且函数（且）在区间内恒成立，则函数的递增区间是 。三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足。（1）求的值；（2）若点在双曲线上，求的值19（本题满分14分）数列的前项和为，等差数列满足，。（1）分别求数列，的通项公式；（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围。 20（本题满分14分）如图一，平面四边形关于直线对称，。把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于。对于图二，（1）求的长，并证明：平面 ；（2）求直线与平面所成角的正弦值。21（本题满分15分）设椭圆：，直线过椭圆左焦点且不与轴重合，与椭
5、圆交于，当与轴垂直时，为椭圆的右焦点，为椭圆上任意一点，若面积的最大值为。（1）求椭圆的方程；（2）直线绕着旋转，与圆：交于两点，若，求的面积的取值范围。22（本题满分15分） 函数，其中。 （1）若函数在其定义域内是单调函数，求的取值范围； （2）若对定义域内的任意，都有，求的值； （3）设，。当时，若存在，使得，求实数的取值范围。 参考答案一、1、C；2、B；3、A；4、D；5、D；6、C；7、D；8、A；9、B；10、A。二、11、过点且平行于平面的平面；12、；13、；14、；15、；16、；17、。三、18、（1）已知等式即，亦即，即，即。所以，故。（2），由已知，所以 。19、（1
6、）由-得-，得 ，又，也满足上式，；，。（2），对恒成立， 即对恒成立。令，当时，当时，。20、（1）取的中点，连接，由，得： ，就是二面角的平面角，。中，故。 由，即、，又，平面。（2）法一：由（1）知平面，平面，平面平面，平面平面，作交于，则平面， 是与平面所成的角，。法二：设点到平面的距离为，于是与平面所成角的正弦为。法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则。设平面的法向量为，则，得，取，则，于是与平面所成角的正弦即为。21、（1）设椭圆半焦距为，将代入椭圆方程得，；又由已知得；由解得、。所求椭圆方程为：。（2）设直线：即，圆心到的距离，由圆性质：，又，得。联立方程组，消去得。设，则，。（令）。设，对恒成立， 在上为增函数，所以，。22、（1）。由题设，在内恒成立，或在内恒成立。 若，则，即恒成立，显然在内的最大值为，所以，。 若，则，显然该不等式在内不恒成立。 综上，所求的取值范围为。 （2）由题意，是函数的最小值，也是极小值。因此，解得。经验证，符合题意。 （3）由（1）知，当时，在内单调递增，从而在上单调递增，因此，在上的最小值，最大值 。 ，由知，当时，因此，在上单调递减，在上的最小值，最大值 ，因，所以。 若，即时，两函数图象在上有交点，此时 显然满足题设条件。 若，即时，的图象在上，的图象在下，只需，即，即， 解得。 综上，所求实数的取值范围为。
