1、景博高中2020-2021学年度第一学期高一第二次月考数学试卷满分：120分 考试时间：120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷一、选择题（每小题4分，共48分）1. 如图，长方体中，则线段的长是（ ）A. B. C. 28D. 【答案】A【解析】【分析】利用体对角线公式直接计算即可.【详解】，故选A.【点睛】本题考查长方体体对角线的计算，属于基础题.2. 若、为异面直线，直线与平行，则与的位置关系是（ ）A. 相交B. 异面C. 平行D. 异面或相交【答案】D【解析】【分析】根据异面直线所成角判断.【详解】因为、为异面直线，所以、所成的
2、角为锐角或直角，因为直线与平行，所以与所成的角为锐角或直角，所以与的位置关系是异面或相交，故选：D3. 底面直径和高都是4的圆柱的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题中条件先求出底面积，再利用圆柱的体积公式计算即得结果.【详解】依题意，圆柱底面半径为r=2，高为h=4，故底面面积为，圆柱的体积为.故选：C.4. 如图所示的直观图的平面图形中，则原四边形的面积( )A. B. C. 12D. 10【答案】C【解析】【分析】本题首先可以根据直观图绘出原图，并根据直观图的各边长得出原图的各边长，最后根据梯形的面积公式即可得出结果【详解】如图，根据直观图的相关性质可绘出
3、原图，其中，故原四边形的面积为，故选C【点睛】本题考查通过直观图绘出原图，直观图图中与轴平行的直线在原图中长度不变，直观图图中与轴平行的直线为原图中长度的一半，考查绘图能力，是简单题5. 若圆锥的横截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】圆锥的底面直径为2，母线为2，代入面积公式可求出侧面积【详解】由题意，圆锥的母线长为2，底面半径为1，底面周长为，则该圆锥的侧面积为.故答案为B.【点睛】本题考查了圆锥的性质，考查了圆锥的侧面积，考查了学生的计算能力，属于基础题6. 如图，长方体中，分别是，的中点，则异面直线
4、与所成角是（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】D【解析】【分析】连接，由长方体的结构特征易得，从而是异面直线与所成角，然后在中求解.【详解】如图所示：连接，由长方体的结构特征得，所以是异面直线与所成角，因为， 所以，即，所以，故异面直线与所成角故选：D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7. 下列命题正确的是 ()一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平
5、行，则这两个平面平行A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线对于：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在对于：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同.对于：一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行这是两个平面平行的定义对于：一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行这是两个平面平行的判定定理所以只有正确，故选D点睛: 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平
6、行，也即是两个平面没有任何公共直线两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面必平行.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面分别平行，则这两个平面平行8. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列说法中，错误的为（ ）A. ACBDB. ACBDC. AC截面PQMND. 异面直线PM与BD所成角为45【答案】B【解析】【分析】根据PQMN是正方形，利用线面平行的判定定理、性质定理，即可判断A、C、D的正误，利用三角形相似及题干条件，即可判断B的正误，即可得答案.【详解】因为截面PQMN是正方形，所以PQMN，QMPN，则PQ平面ACD，QM平面
7、BDA，所以PQAC，QMBD，由PQQM，可得ACBD，故A正确；由PQAC，可得AC截面PQMN，故C正确；由BDPN，所以MPN(或其补角)是异面直线PM与BD所成角，又PQMN是正方形，故D正确；由上面可知，BDPN，MNAC.所以，而ANDN，PNMN，所以BDAC，故B错误故选：B.9. 已知正方体的棱长为1，点P是面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为（ ）A. 1B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】证明是的中位线即可.【详解】连接，点是面的中心，是的中点，平面，平面,平面平面，即是的中位线故选：C.10. 如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，
8、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行与平面的是（）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用线面平行的判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图所示，连接， 在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于B选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于C选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，平面，平面，平面；对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接
9、，连接交于点，若平面，平面，平面平面，则，则，由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，、分别为、的中点，则，且，则，则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.【点睛】判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（，）.11. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是
10、圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出球的半径，然后根据球的表面积公式求得半径，根据体积相减即可求得结果.【详解】解：设球的半径为r，则由题意可得球的表面积为，所以r1，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.故选：B.【点睛】本题考查圆柱的内接球，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力12. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】如
11、图，正四棱锥中，为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心必在正四棱锥的高线所在的直线上，延长交球面于一点，连接，由球的性质可知为直角三角形且，根据平面几何中的射影定理可得，因为，所以侧棱长，所以，所以，所以故选A第卷二、填空题（每小题4分，共16分）13. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_【答案】【解析】【分析】结合三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥和一个半球，分别计算出三个几何体的体积，然后作差即可.【详解】结合三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥和一个半球，如图圆柱的体积为圆锥体积为半球的体积为所以该几何体的体积为：故答案为：.14.
12、已知平面平面，过点的直线与，分别交于，两点，过点的直线与，分别交于，两点，且，则的长为_.【答案】或【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形进行分析，点可能在两平面之间或在两平面之外两种情况，然后利用比例关系求出的长即可.【详解】如图：当点在两平面之外即在延长线上时，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因为，所以，解得，如图：当点在两平面之间即在线段上时，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以，因为，所以，解得，所以，综上所述：的长为或，故答案为：或【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用面面平行的性质定理可得，再利用平行线分线段成比例求的长，但是要注意需要讨论点的位置.1
13、5. 下面四个命题：若直线异面，异面，则异面；若直线相交，相交，则相交；若，则与c所成角相等；若是两条直线，且，那么平行于经过b的任何平面其中真命题的序号为_【答案】【解析】【分析】线线的位置关系，用到线线的判断定理及性质定理，逐个分析即可得到正确结果.【详解】若直线异面，异面，则三种位置关系都有，所以不正确；若直线相交，相交，则三种位置关系都有，所以不正确；若，则与c所成的角相等，这是平行线的性质，所以正确；若是两条直线，且，那么平行于经过b不经过的平面，所以不正确.故答案为：16. 如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E、F、G、H分别为PA、PD、PC、PB的中点，在此
14、几何体中，给出下面四个结论：平面EFGH平面ABCD；平面PADBC；平面PCDAB；平面PAD平面PAB.其中正确的有_.(填序号)【答案】【解析】【详解】【分析】把平面展开图还原为四棱锥如图所示，则EHAB，所以EH平面ABCD.同理可证EF平面ABCD，所以平面EFGH平面ABCD；平面PAD，平面PBC，平面PAB，平面PDC均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交ABCD，平面PCDAB.同理平面PADBC;故填.三、解答题（本题共5小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥PA1B1C1D1，下部的形状是
15、正四棱柱ABCDA1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB6 m，PO12 m，则仓库的容积是多少？【答案】【解析】【分析】分别计算四棱锥和四棱柱的体积，相加即得【详解】由PO12 m，知O1O4PO18 m.因为A1B1AB6 m，所以正四棱锥PA1B1C1D1的体积V锥PO162224(m3)；正四棱柱ABCDA1B1C1D1的体积V柱AB2O1O628288(m3)，所以仓库的容积VV锥V柱24288312(m3).故仓库的容积是312 m3.【点睛】本题考查组合体的体积，解题关键是确定这个组合体是由哪些柱锥台球组合切割而来的然后计算各个部分
16、的体积，再相加减可得18. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等.（1）求圆柱的侧面积；（2）求三棱柱的体积.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）设底面半径为r，则母线长为2r，由V圆柱=r22r=2，求出r=1，由此能求出该圆柱的侧面积；（2）因为ABC为正三角形，底面圆的半径为1，所以可得边长AB=，利用三棱柱的体积，即可得解.试题解析：（1）设底面圆的直径为，由题可知圆柱的侧面积（2）因为ABC为正三角形，底面圆的半径为1，可得边长AB=三棱柱的体积19. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长AB=1.（）求异
17、面直线A1B与 B1C所成角的大小；（）求证：平面A1BD平面B1CD1【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）根据异面直线所成角的定义，易知图中就为所求角，又三角形为正三角形；（）根据面面平行的判定定理，要证平面A1BD平面B1CD 1 可转化为两相交直线BD和A1B平行于平面B1CD 1即可【详解】（）因为B1C/A1D，所以为异面直线A1B与B1C所成角在中，易得（），且所以考点：1、异面直线的角；2、面面平行；4、线面平行和线线平行.20. 如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：（1）平面；（2）平面平面【答案】（1）见证明；（2）见证明【解析】【分析】（1）设与的交点为，连结
18、，证明，再由线面平行的判定可得平面； （2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面【详解】证明：（1）设与的交点为，连结，四边形为平行四边形，为中点，又是的中点，是三角形的中位线，则，又平面，平面，平面；（2）为线段的中点，点是的中点，且，则四边形为平行四边形，又平面，平面，平面又平面，且平面，平面，平面平面【点睛】本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，是中档题21. 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E，F分别是棱DD1，C1D1的中点.(1)求三棱锥B1A1BE的
19、体积；(2)试判断直线B1F与平面A1BE是否平行，如果平行，请在平面A1BE上作出与B1F平行的直线，并说明理由.【答案】（1）；（2）B1F平面A1BE；延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线，证明见解析【解析】【分析】（1）用换底法，即；（2）把截面作全，B1F平面A1BE；延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线【详解】(1)如图所示，.(2)B1F平面A1BE.延长A1E交AD延长线于点H，连BH交CD于点G，则BG就是所求直线因为BA1平面CDD1C1，平面A1BH平面CDD1C1GE，所以A1BGE.又A1BCD1，所以GECD1.又E为DD1的中点，则G为CD的中点.故BGB1F，BG就是所求直线.【点睛】本题考查棱锥的体积，考查线面平行的性质，属于基础题
