1、1用向量求异面直线所成的角，应当注意异面直线所成的角的范围为(0，902用法向量解题的基本原理或方法：(1)证明线与面的垂直：原理：直线的方向向量与平面的法向量平行，那么这条直线就与该平面垂直(2)证明面与面的垂直：原理：如果两个平面的法向量互相垂直，那么这两个平面就互相垂直(3)证明线与面的平行：原理：如果直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，且直线不在该平面内，那么这条直线就与该平面平行(4)证明面与面的平行：原理：如果两个不重合平面的法向量互相平行，那么这两个平面互相平行(5)求直线与平面所成的角：原理：如图所示，已知AB为过平面的一条斜线，n为平面的法向量，设AB与平面所成的角为，则s
2、in|cosAB，n|ABn|AB|n|.(6)求二面角的大小：原理：如图所示，设n1与n2分别为二面角l两个面的法向量，则：当n1与n2分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角l 的大小即为n1，n2的大小；当n1与n2同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角l 的大小即为(n1，n2)的大小(7)求点到平面的距离：原理：如图所示，已知平面的法向量为n，P为平面外一点，A为平面内任一点，则P到平面的距离d|APn|n|.(8)求两条异面直线的距离：原理：设A与B分别为异面直线a与b上的两点，n为与直线a，b都垂直的一个向量(如图所示)，则直线a与b间的距离d|ABn|n|.考点一 求法向量与求距离
3、示范1已知在三棱锥SABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC平面ABC，SASC2 3，M，N分别为AB，SB的中点，建立空间直角坐标系如右图所示，求面CMN的一个法向量解析法一 可得CM(3，3，0)，MN(1,0，2)设n(x，y，z)为平面CMN的一个法向量由nCM 3x 3y0，nMN x 2z0，取z1，得x 2，y 6，n(2，6，1)为平面CMN的一个法向量法二 设BH 平面CMN，垂足为H，H，C，M，N四点共面，由共面向量定理，可设 BH BC BM(1)BN(2，3 3，2(1)，由BH CM 9330，BH MN 320，得19，23.BH(89，8 39，4 2
4、9)注：还可求得|BH|的长度展示1如图所示，已知在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上且CC14CP，(1)设点O在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；(2)求点P到平面ABD1的距离【解析】(1)法一 连接BD，AC，则BDAC.又AP在平面ABCD内的射影为AC，可得APBD.又BDD1O，所以D1OAP.又OH平面D1AP，垂足为H，D1O在平面D1AP内的射影为D1H，所以D1HAP.法二 由法一，得D1OAP，OH平面D1APOHAP.又OHD1OO，所以AP平面D1OHD1HAP.(2)基本解法：连接BC1，在平面
5、BCC1B1中，过点P作PQBC1，垂足为Q，AB平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1，PQAB.PQ平面ABC1D1，垂足为Q.PQ就是点P到平面ABD1的距离在RtC1PQ中，C1QP90，PC1Q45，PC1 34CC13，PQ3 22，即点P到平面ABD1的距离为3 22.法一(等积代换法)由正方体性质，得AB平面BCC1B1，四边形ABC1D1是矩形ABD1ABC1.1ABDS1ABCS，点P到平面ABD1的距离d可视为以P为顶点、以ABD1为底面的三棱锥的高1PABDV 1PABCV 1APBCV.又1ABDS1211ABC DS1244 28 2，1PBCS12PC1BC123
6、46，三棱锥APBC1的高是AB4，131ABDSd131PBCSAB，即8 2d64.d 323 22.故点P到平面ABD1的距离为3 22.法二(法向量与投影法)建立如图所示的空间直角坐标系，则AB(0,4,0)，AD1(4,0,4).PA(4，4，1)设平面ABD1的法向量n(x，y,1)，n平面ABD1，nAB，nAD1.nAB0，nAD1 0，即x04y010，4x0y140.y0，x1.n(1,0,1)由向量的数量积的几何意义，知点P到平面ABD1的距离d就是向量PA 在法向量n方向的投影的绝对值，即d|PA|cos|.由数量积，可知|PA|cos PAn|n|.d|PAn|n|4
7、14011|1212 323 22.故点P到平面的ABD1的距离为3 22.方法点拨：在平面内任取两不共线向量a，b，设法向量为nx，y，z则na0，nb0，可求出一组x，y，z的值，事实上为比例值.求距离参见知识要点28.考点二求线面所成的角示范2如图所示，已知在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长AB2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F，(1)求证：A1C平面BED；(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值解析(1)证明：如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz.D(0,0,0)，A(2,0
8、,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)设E(0,2，t)，则BE(2,0，t)，B1C(2,0，4)t1，E(0,2,1)，BE(2,0,1)又A1C(2,2，4)，DB(2,2,0)，A1C BE4040且A1C DB 4400.A1C DB 且A1C BE.A1CBD，A1CBE，且BDBEB.A1C平面BDE.(2)由(1)知A1C(2,2，4)是平面BDE的一个法向量，又A1B(0,2，4)，cosA1C，A1B A1C A1B|A1C|A1B|306.A1B与平面BDE所成角的正弦值为 306.展示2
9、已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，求EB与底面ABCD所成角的正切值【解析】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设C(0，a,0)，B(a，a,0)，P(0,0，a)，则E0，a2，a2，DP(0,0，a)，EBa，a2，a2.设异面直线DP与EB所成的角为，直线EB与底面ABCD所成的角为，显然 DP 是底面ABCD的法向量，于是有sin cos|EBDP|EB|DP|16.tan 55.故EB与底面ABCD所成角的正切值为 55.方法点拨：主要考虑斜线上的向量与法向量所成的角，参见知识要点25.考点三 求二面角 示范3(2
10、011四川)如下图所示，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点且PB1平面BDA1，(1)求证：CDC1D；(2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离解析 解法一：(1)连结AB1与BA1交于点O，连结OD.PB1平面BDA1，PB1平面AB1P，平面AB1P平面BDA1OD，ODPB1.又AOB1O，ADPD.又ACC1P，CDC1D.(2)过A作AEDA1于点E，连结BE.BACA，BAAA1，且AA1ACA.BA平面AA1C1C.由三垂线定理可知BEDA1，BEA为二
11、面角AA1DB的平面角在RtA1C1D中，A1D12212 52，又1AA DS121112 52 AE，AE2 52.在RtBAE中，BE122 5523 55，cosBEAAEBE23.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为23.(3)由题意知，点C到平面B1DP的距离是点C到平面DB1A的距离，设此距离为h.1cDB AV 1BACDV，131DB ASh13SACDB1A1.由已知可得AP 5，PB1 5，AB1 2，在等腰AB1P中，1AB PS12AB1AP212AB1232，1DB AS121AB PS34.又SACD12ACCD14，h111ACDDB ASB AS13.故C到平
12、面B1DP的距离等于13.解法二：如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1B1C1A，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)(1)设C1Dx，ACPC1，C1PAC C1DCD x1x.由此可得D(0,1，x)，P(0,1 x1x，0)，A1B(1,0,1)，A1D(0,1，x)，B1P(1,1 x1x，0)设平面BA1D的一个法向量为n1(a，b，c)，则n1A1B ac0，n1A1D bcx0.令c1，则n1(1，x，1)PB1平面BA1D，n1B1P 1(1)x(1 x1x)(1)00.由此
13、可得x12，故CDC1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n11，12，1.又n2(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量cosn1，n2 n1n2|n1|n2|113223.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为23.(3)PB1(1，2,0)，PD(0，1，12)设平面B1DP的一个法向量n3(a1，b1，c1)，则n3PB1 a12b10，n3PD b1c120.令c11，可得n31，12，1.又DC 0，0，12，C到平面B1DP的距离d|DC n3|n3|13.展示3如下图所示，已知在四棱锥PABCD中，底面ABCD 为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E，F，G分别为P
14、C，PD，BC的中点，(1)求证：PAEF；(2)求二面角DFGE的余弦值【解析】(1)PD平面ABCD，CD平面ABCD，CDPD.又四边形ABCD为正方形，CDAD.PDADD，CD平面PAD.PA平面PAD，CDPA.EFCD，PAEF.(2)以D为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，F(0,0,1)，G(1,2,0)，E(0,1,1)，DF(0,0,1)，DG(1,2,0)，EF(0，1,0)，EG(1,1，1)，FG(1,2，1)过D作FG的垂线，垂足为M，F，G，M三点共线，DM DF(1)DG.DM FG 0，DF FG(1)DG FG 0，即(1)
15、(1)50.解得56.DM 56DF 16DG 16，13，56.再过E作FG的垂线，垂足为N，F，G，N三点共线，ENEF(1)EG.ENFG 0，EFFG(1)EG FG 0.即(2)(1)40.解得23.EN23EF13EG 13，13，13.cosDM，EN DM EN|DM|EN|105.DM 与EN所成的角就是二面角DFGE的平面角，所以二面角DFGE的余弦值为 105.方法点拨：利用向量求二面角的三角函数值方法有两种，其一是利用法向量，其二是利用定义.一般说来，用向量法解立体几何题的步骤为：证：证垂直，可建系；建：写出各点的坐标；算：计算角与距离；还原：向量结果还原为立体几何结果
16、有时候，对转化的步骤还要求甚细.1(2010山东)如图所示，已知在五棱锥PABCDE中，PA平面ABCDE，ABCD，ACED，AEBC，ABC45，AB2 2，BC2AE4，三角形PAB是等腰三角形，(1)求证：平面PCD平面PAC；(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小；(3)求四棱锥PACDE的体积【解析】(1)在ABC中，因为ABC45，BC4，AB2 2，所以AC2AB2BC22ABBCcos 458.因此AC2 2.故BC2AC2AB2.所以BAC90.又PA平面ABCDE，ABCD，所以CDPA，CDAC.又PA，AC平面PAC且PAACA，所以CD平面PAC.又CD平面PCD
17、，所以平面PCD平面PAC.(2)法一 因为PAB是等腰三角形，所以PAAB2 2.因此PB PA2AB24.又ABCD，所以点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离由于CD平面PAC，在RtPAC中，PA22，AC2 2，所以PC4，点A到PC边上的距离为2，此即为点A到平面PCD的距离所以B到平面PCD的距离为h2.设直线PB与平面PCD所成的的角为，则sin hPB 2412.又0，2，所以6.法二 由(1)，知AB，AC，AP两两相互垂直，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由于PAB是等腰三角形，所以PAAB2 2.又AC22，因此A(0,0
18、,0)，B(22，0,0)，C(0,22，0)，P(0,0，2 2)因为ACED，CDAC，所以四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135.因此CAE45.故CDAEsin 45222 2.所以D(2，22，0)因此CP(0，2 2，2 2)，CD(2，0,0)设m(x，y，z)是平面PCD的一个法向量，则m CP 0，mCD 0.解得x0，yz.取y1，得m(0,1,1)又BP(2 2，0,2 2)，设表示向量BP 与平面PCD的法向量m所成的角，则cos mBP|m|BP|12.所以3.因此直线PB与平面PCD所成的角为6.(3)因为ACED，CDAC，所以
19、四边形ACDE是直角梯形因为AE2，ABC45，AEBC，所以BAE135.因此CAE45，故CDAEsin 452 22 2，EDACAEcos 452 22 22 2.所以S四边形ACDE 22 22 23.又PA平面ABCDE，所以VPACDE1332 22 2.2(2011重庆)如下图所示，已知在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD30，(1)若AD2，AB2BC，求四面体ABCD的体积；(2)若二面角CABD为60，求异面直线AD与BC所成角的余弦值【解析】(1)设F为AC的中点，由于ADCD，所以DFAC.由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即D
20、F是四面体ABCD的面ABC上的高且DFADsin 301，AFADcos 30 3.在RtABC中，因AC2AF23，AB2BC，由勾股定理，易知BC2 155，AB4 155.故四面体ABCD的体积V13SABCDF13124 1515 2 1515 415.(2)法一 设G，H分别为边CD，BD的中点，则FGAD，GHBC.从而FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角设E为边AB的中点，则EFBC.由ABBC，知EFAB.由(1)，有DF平面ABC.故可得DEAB.所以DEF为二面角CABD的平面角由题设知DEF60.设ADa，则DFADsinCADa2.在RtDEF中，EFDFtan
21、DEFa2 33 36 a，从而GH12BCEF 36 a.因RtADERtBDE，故BDADa.从而在RtBDF中，FH12BDa2.又FG 12 AD a2，从而在FGH中，因FGFH，由余弦定理，得cosFGHFG2GH2FH22FGGH GH2FG 36.因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 36.法二 如图所示，过F作FMAC交AB于M，ADCD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直以F为原点、射线FM，FC，FD分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.不妨设AD2，由CDAD，CAD30，易知点A，C，D的坐标分别为A(0，3，0)，C(0，3
22、，0)，D(0,0,1)则AD(0，3，1)显然k(0,0,1)是平面ABC的法向量已知二面角CABD为60，故可取平面ABD的单位法向量n(l，m，n)，使得n，k60.从而n12.由nAD，有 3mn0.从而m 36.由l2m2n21，得l 63.设点B的坐标为B(x，y,0)，由 AB BC，n AB，取l63，有x2y23，63 x 36 y 30.解得x4 69，y7 39 或x0，y 3(舍去)易知l 63 与空间直角坐标系的建立方式不合，舍去因此点B的坐标为4 69，7 39，0.所以 CB4 69 2 39，0.从而cosAD，CB AD CB|AD|CB|32 39314 6922 392 36.故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为 36.【点评】本题考查空间线线垂直，线面垂直的判断，求解异面直线所成角的同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力，本题属中等难度题
