1、3.1.1方程的根与函数的零点 教学设计课前准备1、教学内容分析方程的根与函数的零点是人教A版必修一第三章函数的应用第一节的内容。必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数。本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间。零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案。（2）生活中的应用。通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性。本节课根据学生已经掌握的函数的
2、知识，从初中一元二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念。进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课。本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用。2、学情分析首先，泥河中学2016级高一学生，基础比较差，所以我们一直是采用“低起点，小步子，重基础”的策略，所以很多问题我们讲的比较仔细，比较基础；其次，经过开学初衔接教材的学习和必修1前面二章的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以做出一
3、些函数图象，具备一定的读图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础；另外，但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难，尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，有的知识要到学高等数学才能解决，所以不必挖掘过深。让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点。所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，师生共同探究，获得了一般性的结论的过程。一、教学目标：1、理解函数零点的定义；2、掌握零点存在区间的判断方法；3、在
4、学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；4、感受学习、探索、发现的乐趣。二、教学重点：函数零点与方程实数根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识。三、教学难点：理解函数零点存在的判定条件。 四、教学策略：1、教学方法的选定（1）在教学中，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，合理利用了多媒体，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。（2）在零点概念的教学上，我充分利用了 “由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广。而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发
5、探究讨论”的模式。2、突破重、难点的策略对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分。 五、教学过程教学活动教师活动学生活动设计意图创设情境，提出问题给出具体的三个一元方程及相应的二次函数填表.提出问题：方程的根与函数的图象有什么联系？通过追问，引导学生准确回答二者的关系。继续追问：上述结论是否可以推广到一般的一元二次方程与二次函数关系上？再次追问：上述结论是否可以推广到一般方程与函数的关系上？学生积极思考，认真填表，回答出方程的根与函数图象和x轴交点的横坐标
6、相等。学生思考，类比，归纳。体会方程的根与函数图象的联系，为零点概念的引出做好铺垫。由特殊到一般，感受零点产生的过程，使零点不再抽象，而是更加具体形象，便于零点概念的理解。概念引入1.零点的定义2.零点求法：（1）代数法（2）图像法 理解、归纳概念应用练习：1、函数f(x)=x(x24)的零点为（ D ）A(0，0)，(2，0) B0，2 C(2，0)，(0，0)，(2，0) D2，0，22、函数f(x)=x2-2x+a有两个不同的零点，则实数a的范围是_。让学生独立完成，提问学生A、B、C，教师点评。 让学生参与独立完成，然后提问。可以补充练习。通过练习的设置，加深对定义的理解。求解过程体现
7、了函数方程思想及数形结合思想.师生共同探究零点存在性定理：提出问题： 在怎样的条件下，函数yf(x)在区间a,b上存在零点？ 观察二次函数f(x)x22x3的图象：在区间-2，1上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0（“”或“”）在区间2，4上有零点_；f(2)f(4)_0（“”或“”）。 各小组积极参与，并派代表到前面总结，在讨论过程中，不断的质疑，产生思维的火花，使学生成为课堂的主体。 推广：观察函数的图象并填空:在区间(a,b)上f(a)f(b)_0(“”或“”)。 在区间(a,b)上_(有/无)零点； 在区间(b,c)上f(b)f(c) _ 0(“”或“”)
8、在区间(b,c)上_(有/无)零点； 在区间(c,d)上f(c)f(d) _ 0(“”或”) 在区间(c,d)上_(有/无)零点；函数零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间a,b上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。关键词：连续不断 f(a)f(b)0 存在c(a,b)，使得f(c)=0对于零点存在性定理的理解可以通过练习加强。不要挖得过深。练习： 判断正误：1）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b
9、)内有且仅有一个零点。（ ）（2）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续，且f (a) f(b) 0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点。（ ）（3）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续且在区间(a,b)内存在零点.，则f(x)必满足f (a) f(b) 0。（4）已知函数y=f (x)在区间a,b上连续的单调函数且满足 f (a) f(b) 0，则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个 零点。 通过具体问题的探究，为零点存在性定理讨论的引出进行了铺垫。 由特殊到一般，学生很容易找到问题讨论的切入点。通过以上学生们的讨论，使得零点存在性定理的生成水到渠成。定理应用例1 判断函数
10、f(x)=lnx+2x 6的零点的个数。解法一：解法二：（根据时间是否允许，适当展开）.学生积极思考，师生共同完成，并利用投影讲解答题过程。反馈、巩固、加强。反思总结引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：一个定义、一种关系、一个定理、两种数学思想方法。让学生参与总结。反思总结核心任务是归纳，加深和提升对知识的认识和理解，让学生知道我这节课到底学了什么；体会获取知识的乐趣，让学生快乐学习，健康成长！布置作业1.必做题：课本P88的练习1，2。2.思考题：方程lnx+2x6=0在区间_内有解，如何求出这个解的近似值？ 请预习下一节。 进一步巩固提高，激发学生学习热情。板书设计3.1.1 方程的根与函数的零点一、零点1.定义2.等价关系3.零点的求法：代数法、图像法二、零点存在性定理三、例题解析例1课堂小结：教学反思：
