1、A组专项基础测试三年模拟精选一、选择题1(2022泰安模拟)已知向量m，n分别是直线l和平面的方向向量和法向量，若cosm，n，则l与所成的角为()A30 B60 C120 D150解析设l与所成角为，cosm，n，又直线与平面所成角满足090，sin .30.答案A2(2022广州模拟)在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin，的值为()A. B. C. D.解析设正方体棱长为2，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，可知(2，2，1)，(2，2，1)，cos，sin，.答案B3(2022石家庄调研)设正方体
2、ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是()A. B. C. D.解析如图，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，2)，A1(2，0，2)，D(0，0，0)，B(2，2，0)，(2，0，0)，(2，0，2)，(2，2，0)，设平面A1BD的法向量n(x，y，z)，则令x1，则n(1，1，1)点D1到平面A1BD的距离d.答案D4(2022江西南昌质检)二面角l等于120，A、B是棱l上两点，AC、BD分别在半平面、内，ACl，BDl，且ABACBD1，则CD的长等于()A. B. C2 D.解析如图，二面角l等于120，与夹角为60.由题设知，|1，|2|2|2|2|2
3、22232cos 604，|2.答案C二、填空题5(2022青岛模拟)在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_解析以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设n(x，y，z)为平面A1BC1的法向量，则n0，n0，即令z2，则y1，x2，于是n(2，1，2)，(0，2，0)，sin |cosn，|.答案一年创新演练6已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG2，E，F分别是AB，AD的中点，则点C到平面GEF的距离为_解析建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则(0，0，2)，由题意可求得平面G
4、EF的一个法向量为n(1，1，3)，所以点C到平面GEF的距离为d.答案7如图，三棱锥PABC中，PAPBPC，CACB，ACBC. (1)求点B到平面PAC的距离；(2)求二面角CPAB的余弦值解取AB中点O，连接OP，CO，CACB，ACB90，COAB，且AB2，CO1.PAPB，POAB，且PO.PO2OC23PC2，POC90，即POOC.OA，OC，OP两两垂直如图所示，分别以OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则各相关点的坐标为A(1，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)(1)设平面PAC的一个法向量为n(x，y，1)，则(1，1，0
5、)，(1，0，)，xy，n(，1)(2，0，0)，点B到平面PAC的距离为d.(2)(0，1，0)是平面PAB的一个法向量，cosn，.综合图形可见，二面角CPAB的大小为锐角，二面角CPAB的余弦值为.B组专项提升测试三年模拟精选一、选择题8(2022宁夏银川调研考试)已知正三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦值等于()A. B. C. D.解析法一取A1C1的中点E，连接AE、B1E.由题易知B1E平面ACC1A1，则B1AE为AB1与侧面ACC1A1所成的角令正三棱柱侧棱长与底面边长为1，则sinB1AE，故选A.法二如上图，以A1C1中
6、点E为原点建立空间直角坐标系Exyz，设棱长为1，则A(，0，1)，B1(0，0)，设AB1与面ACC1A1所成角为，则sin |cos，|.答案A二、填空题9(2022江苏徐州一模)将锐角A为60，边长为a的菱形ABCD沿BD折成60的二面角，则A与C之间的距离为_解析设折叠后点A到达A1点的位置，取BD的中点E，连接A1E、CE.BDCE，BDA1E. A1EC为二面角A1BDC的平面角A1EC60，又A1ECE，A1EC是等边三角形A1ECEA1Ca.即折叠后点A与C之间的距离为a.答案a三、解答题10.(2022南京模拟)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SABC2
7、，AB4.M，N，D分别是SC，AB，BC的中点(1)求证：MNAB；(2)求二面角SNDA的余弦值；(3)求点A到平面SND的距离解以B为坐标原点，BC，BA为x，y轴的正方向，垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系(如图)(1)证明由题意得A(0，4，0)，B(0，0，0)，M(1，2，1)，N(0，2，0)，S(0，4，2)，D(1，0，0)所以：(1，0，1)，(0，4，0)，0，MNAB.(2)设平面SND的一个法向量为m(x，y，z)，则：m0，且m0.(0，2，2)，(1，2，0)，即令z1，得：x2，y1，m(2，1，1)又平面AND的法向量为n(0，0，1)，cos
8、m，n.由题图易知二面角SNDA为锐角，故其余弦值为.(3)(0，2，0)，点A到平面SND的距离d.11(2022广东六校联盟模拟)如图，将长为4，宽为1的长方形折叠成长方体ABCDA1B1C1D1的四个侧面，记底面上一边ABt(0t0)，P是侧棱AA1上的动点(1)当AA1ABAC时，求证：A1C平面ABC1；(2)试求三棱锥PBCC1的体积V取得最大值时的t值；(3)若二面角ABC1C的平面角的余弦值为，试求实数t的值(1)证明连接A1C.AA1平面ABC，AB、AC平面ABC，AA1AC，AA1AB.又ABAC，以A为原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示
9、的空间直角坐标系则A(0，0，0)，C1(0，1，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，(0，1，1)，(0，1，1)，(1，0，0)设平面ABC1的法向量n(x，y，z)，则解得令z1，则n(0，1，1)n，A1C平面ABC1.(2)解AA1平面BB1C1C，点P到平面BB1C1C的距离等于点A到平面BB1C1C的距离t2(32t)t2t3(0t)，Vt(t1)，令V0，得t0(舍去)或t1，列表得t(0，1)1V0V递增极大值递减当t1时，Vmax.(3)解A(0，0，0)，C1(0，t，32t)，B(t，0，0)，C(0，t，0)，A1(0，0，32t)，(0，t，2t3)，(0，t，32t)，(t，0，0)，(0，0，32t)，(t，t，0)设平面ABC1的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则解得令z1t，则n1(0，2t3，t)设平面BCC1的一个法向量为n2(x2，y2，z2)，则0t，解得令y21，则n2(1，1，0)设二面角ABC1C的平面角为，由图可知为锐角，则有|cos |.化简得5t216t120，解得t2(舍去)或t.当t时，二面角ABC1C的平面角的余弦值为.
