1、5简单复合函数的求导法则Q 一个复杂事物的背后往往有一个简单的本质，之所以复杂，多是我们自己主观的把简单本质包裹起来，使清晰而简单的本质变得复杂难解法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”那么，对于复合函数求导，是否也有简单的方法呢？X 1复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)其中u为中间变量2复合函数的求导法则复合函数yf(x)的导数为yxf(x)f(u)(x)说明：yx
2、表示y对x的导数3求复合函数导数的步骤求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系，即说明函数关系yf(u)，u(x)；(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)，要特别注意中间变量对自变量求导，即先求f(u)，再求(x)；(3)计算f(u)(x)，并把中间变量代回原自变量的函数Y 1下列函数不可以看成是复合函数的是(A)AyxcosxByCy(2x3)4Dysin(x)解析B中函数y是由函数f(u)和函数u(x)lnx复合而成的，其中u是中间变量；C中函数y(2x3)4是由函数f(u)u4和函数u(x)2x3复合而成的，其中u是中间变量；D
3、中函数ysin(x)是由函数f(u)sinu和函数u(x)x复合而成的，其中u是中间变量故选A.2函数ye2x4在点x2处的切线方程为(A)A2xy30B2xy30Cexy2e10Dexy2e10解析y2e2x4，则当x2时，y2e02，斜率为2.又当x2时，ye2241，切点为(2,1)切线方程为2xy30.3函数f(x)(2x1)5，则f(0)的值为10.解析f(x)5(2x1)4(2x1)10(2x1)4，f(0)10.4(2019太原高二检测)设函数f(x)cos(x)(0)，若f(x)f (x)是奇函数，则.解析f (x)sin(x)，f(x)f (x)cos(x)sin(x)2si
4、n.若f(x)f (x)为奇函数，则f(0)f (0)0，即02sin，k(kZ)又(0，)，.H 命题方向1复合函数的求导典例1求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)yeax2bx.思路分析求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数的求导法则求导解析(1)yu4，u13x.yyuux(u4)(13x)4u5(3)12u512(13x)5.(2)yu，uax2bxc.yyuuxu(2axb)(ax2bxc)(2axb) .(3)yeu，uax2bx.yyuuxeu(ax2bx)eu(2axb)eax2bx(2axb)规律总结求复合函数的导数要处理好以下环节：中间变
5、量的选择应是基本函数结构；关键是正确分析函数和复合层次；一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导；善于把一部分表达式作为一个整体；最后要把中间变量换成自变量的函数跟踪练习1求下列函数的导数：(1)yxsincos；(2)y(25x)10.解析(1)yxsincosxcos2x(sin2x)xsin4x，所以ysin4xcos4x4sin4x2xcos4x.(2)y(25x)1010(25x)95.X 巧用函数的求导法则减少运算量 应用和、差、积、商的求导运算法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积、商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行化
6、简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免出错典例2函数ysin2(2x)的导数为2sin(4x).思路分析可先用降幂公式将式子化简后，再求导解析ysin2(2x)1cos(4x)，ycos(4x)0sin(4x)(4x)2sin(4x)规律总结在求导数时，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前可将函数先化简(可能会化去商或积)，然后进行求导，有时可避免使用积、商的求导法则，减少运算量,跟踪练习2求下列函数的导数(1)y1sincos；(2)ysin4cos4.解析(1)y1sincos1sinx，ycosx.(2)ysin4cos4(sin2cos2)22sin2cos
7、21sin2x1cos2x，ysin2x.Y 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数典例3函数yxe12x的导数为_错解ye12xx(e12x)e12xxe12x(1x)e12x.辨析错解中对e12x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全正解ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.点评复合函数yf(x)的导数为yxf(x)f(u)(x)，即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量
8、对自变量的导数掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系，适当选定中间变量，分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数跟踪练习3求函数yln(x)的导数解析令ux，则ylnu.故y(lnu)(x)(1)(1).K 1曲线yln(x2)在点P(1,0)处的切线方程是(A)Ayx1Byx1Cy2x1 Dy2x1解析yln(x2)，y，切线斜率ky|x11，切线方程为y01(x1)，即yx1.2函数f(x)(2x1)2在x1处的导数值是(D)A6B8C10D12解析f(x)2(2x1)24(2x1)8x4.f(1)12，故选D.3若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是(ln2,2)解析依题意，设P点为(x0，y0)，又yex，所以y|xx0ex02，解得x0ln2，y02，即P(ln2,2)4求下列函数的导数：yecosx1；ylog2(2x1)；y2sin(3x)；y .解析设yeu，ucosx1，则yxyuuxeu(sinx)sinxecosx1.设ylog2u，u2x1，则yxyuux.设y2sinu，u3x，则yxyuux2cosu36cos(3x)设yu，u12x，则yx(u)(12x)u(2)(12x).
