1、单元质检五数列(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.已知等差数列an的前n项和为Sn,a3=5,S6=36,则a6=()A.9B.10C.11D.122.在单调递减的等比数列an中,若a3=1,a2+a4=52,则a1=()A.2B.4C.2D.223.设an=-n2+9n+10,则数列an前n项和最大时n的值为()A.9B.10C.9或10D.124.等比数列an的前n项和为Sn,已知S3=a2+5a1,a7=2,则a5=()A.12B.-12C.2D.-25.对于数列an,定义数列an+1-an为数列an的“差数列”,若a1=2,数列a
2、n的“差数列”的通项为2n,则数列an的前n项和Sn=()A.2B.2nC.2n+1-2D.2n-1-26.已知函数f(x)=ax+b(a0,a1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5).当nN*时,an=f(n)-1f(n)f(n+1),记数列an的前n项和为Sn,当Sn=1033时,n的值为()A.7B.6C.5D.4二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.在3和一个未知数之间填上一个数,使三个数成等差数列,若中间项减去6,则三个数成等比数列,此未知数是.8.已知数列an满足:a1=1,an=an-12+2an-1(n2),若bn=1an+1+1an+2(nN*),则数列bn
3、的前n项和Sn=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)已知各项均为正数的等比数列an,其前n项和为Sn,S2=6,S4=30.(1)求an的通项公式;(2)设bn=1(log2an)(log2an+2),bn的前n项和为Tn,证明:Tn34.10.(15分)已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nb2n-1的前n项和(nN*).11.(15分)已知数列an满足a1=1,an+1=1-14an,其中nN*.(1)设bn=22an-1
4、,求证:数列bn是等差数列,并求出an的通项公式.(2)设cn=4ann+1,数列cncn+2的前n项和为Tn,是否存在正整数m,使得Tn0,a1)的图象经过点P(1,3),Q(2,5),a+b=3,a2+b=5,a=2,b=1.f(x)=2x+1.an=2n+1-1(2n+1)(2n+1+1)=12n+1-12n+1+1.Sn=13-15+15-17+12n+1-12n+1+1=13-12n+1+1=1033,n=4,故选D.7.3或27解析 设此三个数为3,a,b,则2a=3+b,(a-6)2=3b,解得a=3,b=3或a=15,b=27.故这个未知数为3或27.8.1-122n-1解析
5、当n2时,an+1=an-12+2an-1+1=(an-1+1)20,两边取以2为底的对数可得log2(an+1)=log2(an-1+1)2=2log2(an-1+1),则数列log2(an+1)是以1为首项,2为公比的等比数列,log2(an+1)=2n-1,an=22n-1-1,又an=an-12+2an-1(n2),可得an+1=an2+2an(nN*),两边取倒数可得1an+1=1an2+2an=1an(an+2)=121an-1an+2,即2an+1=1an-1an+2,因此bn=1an+1+1an+2=1an-1an+1,所以Sn=b1+bn=1a1-1an+1=1-122n-1
6、,故答案为1-122n-1.9.(1)解 设an的公比为q,由题意知q1.a1(1-q2)1-q=6,a1(1-q4)1-q=30,由,得a1(1+q2)(1-q2)1-q=30,将代入,得1+q2=5,q2=4.q0,q=2,代入,得a1=2.an=2n.(2)证明 由(1)得bn=1(log22n)(log22n+2)=1n(n+2)=121n-1n+2,Tn=121-13+1212-14+1213-14+121n-1n+2=121+12-1n+1-1n+20,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=
7、1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,数列an的通项公式为an=3n-2,数列bn的通项公式为bn=2n.(2)设数列a2nb2n-1的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)4n+1,上述两式相减,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=12(1-4n)1-4-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得Tn=3n-234n+1+83.所以,数列a2nb2n-1的前n项和为3n-234n
8、+1+83.11.解 (1)bn+1-bn=22an+1-1-22an-1=221-14an-1-22an-1=4an2an-1-22an-1=2(常数),数列bn是等差数列.a1=1,b1=2,因此bn=2+(n-1)2=2n.由bn=22an-1,得an=n+12n.(2)由cn=4ann+1,an=n+12n,得cn=2n,cncn+2=4n(n+2)=21n-1n+2,Tn=21-13+12-14+13-15+1n-1n+2=21+12-1n+1-1n+23,依题意要使Tn1cmcm+1对于nN*恒成立,只需1cmcm+13,即m(m+1)43,解得m3或m-4.又m为正整数,m的最小值为3.
