1、专题强化练2二次函数在闭区间上最大(小)值的求法一、选择题1.(2019浙江温州十五校联合体高一上期中联考,)函数f(x)=x2-2x+t(t为常数,且tR)在-2,3上的最大值是()A.t-1B.t+6C.t+8D.t+32.(2019湖北宜昌部分示范高中教学协作体高一上期中联考,)函数y=x2-2x+3(-1x2)的值域是()A.RB.3,6C.2,6D.2,+)3.()设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3, f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是.9.(2019浙江杭州十四中高一上期中,)已知函数y=x2+2x在闭区间a,b上的值域为-1,3,则ab的最大值为.三、解答题10
2、.(2019湖北普通高中协作体高一上期中联考,)已知二次函数f(x)满足f(0)=2, f(x)-f(x-1)=2x+1,求函数f(x2+1)的最小值.11.()某旅行团去风景区旅游,若该团人数不超过30,飞机票每张收费900元;若该团人数多于30,则给予优惠,每多1人,机票每张减少10元.该团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.假设一个旅行团不能超过70人.(1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数关系式;(2)该团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?12.(2020河北承德一中高一上月考,)已知函数f(x)=-x2+2x-3.(1)求f(x)在区间a,a+1上的最大值g(a);
3、(2)已知g(a)=-3,求a的值.答案全解全析专题强化练2二次函数在闭区间上最大(小)值的求法一、选择题1.C由f(x)=x2-2x+t=(x-1)2+t-1(t为常数,且tR),得f(x)在-2,1上递减,在1,3上递增,又f(-2)=8+t, f(3)=3+t8+t,f(x)max=f(-2)=8+t,故选C.2.C由y=x2-2x+3=(x-1)2+2得,函数在-1,1上递减,在1,2上递增.当x=-1时,y=(-1-1)2+2=6;当x=1时,y=(1-1)2+2=2;当x=2时,y=(2-1)2+2=3.当-1x2时,ymax=6,ymin=2.y=x2-2x+3(-1x2)的值域
4、为2,6,故选C.3.D由f(x)-m+4可得,mx2-mx-1-m+4,整理得m(x2-x+1)0,由可得,m5x2-x+1.设g(x)=5x2-x+1,则只需满足mg(x)min即可.g(x)=5x2-x+1=5x-122+34,g(x)在1,3上是减函数,g(x)min=g(3)=59-3+1=57.m0,1y2.故选C.二、填空题6.答案-2解析函数f(x)=-x2+4x+m的图象开口向下,图象的对称轴方程为x=2,函数f(x)在区间0,1上单调递增,f(x)max=f(1)=3+m=1,m=-2,f(x)min=f(0)=m=-2.7.答案1,2解析f(x)=(x-1)2+1,由f(
5、x)min=1得,10,m,即m1.又f(x)max=2,且f(0)=2,f(m)2,即m2-2m+22,解得0m2.综上所述,m的取值范围是1,2.8.答案(-3,+)解析对任意x1,+), f(x)0恒成立,只需满足f(x)min0(x1,+)即可.由题知, f(x)=x2+2x+a=(x+1)2+a-1, f(x)在1,+)上单调递增,因此,f(x)min=f(1)=3+a.3+a0,解得a-3.故a的取值范围是(-3,+).9.答案3解析因为函数y=x2+2x=(x+1)2-1,图象开口向上,图象的对称轴为x=-1,所以当x=-1时,函数取得最小值-1.又由题知,当y=3,即x2+2x
6、=3时,可得x=-3或x=1.因为函数y=x2+2x在闭区间a,b上的值域为-1,3,所以a=-3,-1b1,此时-3ab3,或b=1,-3a-1,此时-3ab-1.因此ab的最大值为3.三、解答题10.解析f(x)为二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a0),f(0)=c=2.又f(x)-f(x-1)=2x+1,ax2+bx+c-a(x-1)2-b(x-1)-c=2x+1,即2ax-a+b=2x+1,2a=2,b-a=1,解得a=1,b=2,f(x)=x2+2x+2.令t=x2+1,则t1,函数f(x2+1)即为f(t)=t2+2t+2=(t+1)2+1.f(t)的图象开口向上,图象的
7、对称轴为t=-1,f(t)在1,+)上单调递增,f(t)min=f(1)=5,即f(x2+1)的最小值为5.11.解析(1)设旅行团的人数为x,每张飞机票价格为y元,则y=900,1x30,xN*,900-(x-30)10,30x70,xN*,即y=900,1x30且xN*,1 200-10x,30x70且xN*.(2)设旅行社可获得利润为Q元,则Q=900x-15 000,1x30且xN*,(1 200-10x)x-15 000,30x70且xN*,即Q=900x-15 000,1x30且xN*,-10x2+1 200x-15 000,30x70且xN*.当1x30且xN*时,Qmax=90
8、030-15 000=12 000;当30x70且xN*时,Q=-10(x-60)2+21 000,当x=60时,Qmax=21 000,所以当该团人数为60时,旅行社可获得最大利润21 000元. 12.解析(1)f(x)=-x2+2x-3,当a1时,g(a)=f(a)=-a2+2a-3;当0a1时,g(a)=f(1)=-12+2-3=-2;当a0时,g(a)=f(a+1)=-(a+1)2+2(a+1)-3=-a2-2,综上所述,g(a)=-a2-2,a0,-2,0a1,-a2+2a-3,a1.(2)由题意可得,g(a)=-3,当a0时,令g(a)=-a2-2=-3,解得a=-1或a=1(舍去),当a1时,令g(a)=-a2+2a-3=-3,解得a=2或a=0(舍去).综上所述,a=-1或2.
