1、专题7.1 锐角三角函数（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】锐角三角函数正弦： sinA 余弦： cosA正切： tanA.【知识点二】特殊三角函数度数三角函数3045601【知识点三】解直角三角形的常用关系(1) 三边之间的关系：； (2) 锐角之间的关系：；(3) 边角之间的关系：，.【知识点四】解直角三角形的应用 (1) 仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角(2) 坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度（或者叫做坡比），用字母表示坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用表示，则有. (3) 方向角：平面上，通过观察点作一条水平线（向右为东向）和一条铅
2、垂线（向上为北向），则从点出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角.(4) 解直角三角形实际应用的一般步骤：a.弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；b.将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；c.选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；d.得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解【考点目录】【考点1】锐角三角函数； 【考点2】 特殊角三角函数值的计算；【考点3】 解直角三角形； 【考点4】 锐角三角函数与相关知识综合【考点5】 三角函数与实际问题【考点一】锐角三角函数【例1】（2022上浙江杭州九年级校
3、联考阶段练习）如图，在中，于，（1）求证：（2）若，求的面积【答案】（1）见分析；（2）【分析】（1）根据三角函数的概念可知，根据即可得结论；（2）由的余弦值和（1）的结论即可求得，利用勾股定理求得，即可求解解：（1）证明：，；（2）解：，的面积=【点拨】本题考查了直角三角形中的有关问题，主要考查了勾股定理，三角函数的有关计算，熟练掌握三角函数的概念是解题关键【举一反三】【变式1】（2021上四川成都九年级统考期末）在中，则的值是（）ABCD【答案】C【分析】由题意即可得出，设，则，利用勾股定理可求出的长，最后根据，代入数据求值即可解：如图，根据题意可知，故可设，则，故选：C【点拨】本题考查锐
4、角三角形函数和勾股定理掌握正弦和正切的定义是解题关键【变式2】（2023上河北石家庄九年级统考期中）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长度的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点，则（1）与是否垂直？ （填“是”或“否”）（2） （3） 【答案】 是 / /【分析】（1）如图，作于，的延长线于，由题意知，由，证明，则，则，进而结论得证；（2）由勾股定理得，由，可得；（3）由题意知，即，解得，由勾股定理得，计算求解即可（1）解：如图，作于，的延长线于，由题意知，故答案为：是；（2）解：由勾股定理得，故答案为：；（3）解：由题意知，即，解得，由勾股定理得，故答案为：【
5、点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，三角形内角和定理等知识熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键【考点二】 特殊角三角函数值的计算【例2】（2023上上海九年级校联考阶段练习）计算【答案】【分析】根据0指数幂，二次根式的性质，负指数幂及特殊角三角函数直接求解即可得到答案；解：原式；【点拨】本题主要考查0指数幂，负指数幂及特殊角三角函数，解题的关键是熟练掌握：，【举一反三】【变式1】（2022上河北石家庄九年级校联考期中）已知则（）ABCD【答案】A【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.解：，故选：A.【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟记特殊角的三角函数
6、值是解题的关键.【变式2】（2020河南省直辖县级单位统考一模）计算： 【答案】【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则、特殊角的三角函数、零指数幂分别计算各项，再作加减法即可.解：原式=故答案为：.【点拨】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握幂的乘方与积的乘方法则.【考点三】 解直角三角形【例3】（2023上江苏泰州九年级校考期中）如图，是的中线，求：（1）的长；（2）的正弦值【答案】（1）6；（2）【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作于在中，求出，在中，求出即可解决问题；（2）在中，求出，即可解决问题（1）解：如图，作于在中，在
7、中，（2），在中，的正弦值为【举一反三】【变式1】（2023上山东潍坊九年级统考期中）如图所示，已知在平面直角坐标系中，点A在x轴的负半轴上，点B在y轴的负半轴上，以为边向上作正方形，若反比例函数的图象经过正方形的顶点C，则正方形的边长为（）ABCD【答案】C【分析】过点C作轴于点E，证明，可得，再根据，可得，设，可得，把点的坐标代入反比例函数解析式求得，再利用勾股定理进行计算即可解：过点C作轴于点E，四边形是正方形，又，又，即，设，则，点C的坐标为：，反比例函数的图象经过点C，即（负值舍去），故选：C【点拨】本题考查反比例函数图象上点的特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及锐
8、角三角函数，熟练掌握相关知识，构造全等三角形是解题的关键【变式2】（2019上山西太原九年级太原市志达中学校校考阶段练习）如图，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，若与相似，则的长是 【答案】1或3【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质及锐角三角函数，分两种情况：当时，；当时，分别进行计算即可，熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键解：当时，四边形是矩形，；当时，；综上所述，的长是1或3，故答案为：1或3【考点四】 锐角三角函数与相关知识综合【例4】（2023上江苏苏州九年级统考期中）如图，在
9、中，垂足为点，.（1）求的值；（2）点在上，且，过作，垂足为点，求的长.【答案】（1）；（2）5【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，再由勾股定理确定，利用正弦函数的定义求解即可；（2）根据题意及相似三角形的判定得出，再由其性质得出，继续利用勾股定理求解即可（1）解：，（2），【点拨】题目主要考查等腰三角形的性质，勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键【举一反三】【变式1】（2023上广东深圳九年级校考期中）如图，等腰内接于圆，底边是直径，为的中点，点在上，且，与相交于点，则的正切值为（）ABCD【答案】B【分析】作于，交于，设，则
10、，利用圆周角定理得到，则根据勾股定理计算出，再证明，利用相似比计算出，根据平行线分线段成比例定理，利用可计算出，利用，所以，接着利用勾股定理计算出，然后利用正切的定义得到的值解：作于，交于，如图，设，则，为的中点，为直径，在中，在中，即，解得，故选：B【点拨】本题考查了三角形外接圆与外心：找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个也考查了相似三角形的判定与性质【变式2】（2023广东湛江校考一模）如图，菱形的一边在x轴的负半轴上，O是坐标原点，反比例函数的图象经过点C，与交于点D，若的面积为30，则k的值等于 【答案】
11、【分析】本题主要考查菱形的性质和解直角三角形，由题意得，进一步有，由得，结合菱形面积求得x，可得点F的坐标，代入反比例函数即可求得答案解：如图，过点D作过点C作，设，四边形为菱形，同理，解得：，点C坐标为，反比例函数的图象经过点C，代入点C得：，故答案为：【考点五】 三角函数与实际问题【例5】（2023上上海九年级校联考阶段练习）八年级二班学生到某劳动教育实践基地开展实践活动，当天，他们先从基地门口A处向正北方向走了450米，到达菜园B处锄草，再从B处沿正西方向到达果园C处采摘水果，再向南偏东37方向走了300米，到达手工坊D处进行手工制作，最后从D处回到门口A处，手工坊在基地门口北偏西65方
12、向上求菜园与果园之间的距离（结果保留整数）参考数据：sin65 0.91，cos650.42，tan652.14，sin37 0.60，cos37 0.80，tan370.75【答案】菜园与果园之间的距离为630米【分析】过点作，交于点，则，四边形是矩形，在中，求得，CF=240，进而求得AE=210，在中，利用正切进行求解即可解：如图，过点作，交于点，则，B=90，四边形是矩形，BC=EF，在中，BE=240，AE=AB-BE=210，在中，米BC=EF=DF+DE=180+450=630答：菜园与果园之间的距离630米【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的
13、关键【举一反三】【变式1】（2019上重庆北碚八年级西南大学附中校考期末）如图所示，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB已知观测点C到旗杆的距离（CE的长度）为8m，测得旗杆的仰角ECA为30，旗杆底部的俯角ECB为45，那么，旗杆AB的高度是（） A BCD【答案】D【分析】利用ECA的正切值可求得AE；利用ECB的正切值可求得BE，根据AB=AE+BE进行求解即可.解：在EBC中，有BE=ECtan45=8，在AEC中，有AE=ECtan30=，AB=BE+AE=（8+）（米），故选D.【点拨】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，借助其关系构造直角三角形并解直角三角形是解题的关键【变式2】（2023上上海长宁九年级上海市娄山中学校考期中）如图，土坡是一个梯形，斜坡长130米，坡度是，沿走上平台，可以坐电梯直达矩形观景台顶部，在点观察坡底点，俯角是，则观景台的垂直高度为 米【答案】70【分析】此题考查解直角三角形的应用，勾股定理，以及平行线的性质：根据正切定理设，勾股定理求出，由平行线的性质得出，求出米，即可得到答案解：如图，斜坡长130米，坡度是，设，解得或（舍去），（米）故答案为：70
