1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题5倍长中线模型解题策略如图，AD是ABC的中线，延长AD至点E使DEAD，易证：ADCEDB（SAS）如图，D是BC中点，延长FD至点E使DEFD，易证：FDBEDC（SAS）当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移经典例题【例1】（2020陕西咸阳一模）问题提出（1）如图，AD是ABC的中线，则AB+AC_2AD；（填“”“AC，且BD=CE，BCD=CBE，求CFE的度数；(2)如图2，若AB=AC，且BD=AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60得到线段CM，连接
2、MF，点N是MF的中点，连接CN在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想7（2022全国八年级专题练习）如图1，在ABC中，CM是AB边的中线，BCN=BCM交AB延长线于点N，2CM=CN （1）求证AC=BN；（2）如图2，NP平分ANC交CM于点P，交BC于点O，若AMC=120，CP=kAC，求CPCM的值8（2021全国八年级单元测试）（1）如图1，ABC中，AD为中线，求证：AB+AC2AD；（2）如图2，ABC中，D为BC的中点，DEDF交AB、AC于E、F求证：BE+CFEF9（2022江苏八年级课时练习）（1）如图1，已知ABC中，AD
3、是中线，求证：AB+AC2AD；（2）如图2，在ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+ACAD+AE；（3）如图3，在ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE求证：AB+ACAD+AE10（2022全国八年级课时练习）在ABM中，AMBM，垂足为M，AMBM，点D是线段AM上一动点（1）如图1，点C是BM延长线上一点，MDMC，连接AC，若BD17，求AC的长；（2）如图2，在（1）的条件下，点E是ABM外一点，ECAC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：BDFCEF（3）如图3，当E在BD的延长上，且AEBE，AEEG时，请你直接写出1、2、3之间的数量关系（
4、不用证明）11（2022全国八年级课时练习）已知：等腰RtABC和等腰RtADE中，AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=90（1）如图1，延长DE交BC于点F，若BAE=68，则DFC的度数为 ；（2）如图2，连接EC、BD，延长EA交BD于点M，若AEC=90，求证：点M为BD中点；（3）如图3，连接EC、BD，点G是CE的中点，连接AG，交BD于点H，AG=9，HG=5，直接写出AEC的面积12（2022全国八年级课时练习）在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，BM直线a于点MCN直线a于点N，连接PM，PN（1）如图1，若点B，P在直线a的异侧，延长MP交CN于点E求证：
5、PM=PE（2）若直线a绕点A旋转到图2的位置时，点B，P在直线a的同侧，其它条件不变，此时SBMP+SCNP=7，BM=1，CN=3，求MN的长度（3）若过P点作PG直线a于点G试探究线段PG、BM和CN的关系13（2021陕西西安市铁一中学八年级开学考试）（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB10，BC8求AC边上的中线BD的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DEBD，连接CE利用全等将边AB转化到CE，在BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD的取值范围是 （2）问题拓展：如图2，在ABC中，点D
6、是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中ABMNBC90，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由14（2020辽宁大连市第三十四中学八年级阶段练习）课堂上，老师出示了这样一个问题：如图1，点D是ABC边BC的中点，AB=5，AC=3，求AD的取值范围（1）小明的想法是，过点B作BE/AC交AD的延长线于点E，如图2，从而通过构造全等解决问题，请你按照小明的想法解决此问题；（2）请按照上述提示，解决下面问题：在等腰RtABC中，BAC=90，AB=AC，点D边AC延长线上一点，连接BD，过点A作AEBD于点E，过点A作AFAE，且AF
7、=AE，连接EF交BC于点G，连接CF，求证BG=CG15（2022全国八年级课时练习）如图，点P是MON内部一点，过点P分别作PAON交OM于点A，PBOM交ON于点B（PAPB），在线段OB上取一点C，连接AC，将AOC沿直线AC翻折，得到ADC，延长AD交PB于点E，延长CD交PB于点F（1）如图1，当四边形AOBP是正方形时，求证：DFPF；（2）如图2，当C为OB中点时，试探究线段AE，AO，BE之间满足的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CE，ACE的平分线CH交AE于点H，设OAa，BEb，若CAOCEB，求CDH的面积（用含a，b的代数式表示）16（20
8、22全国八年级专题练习）（1）方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图1，在ABC中，AB8，AC6，求BC边上的中线AD的取值范围小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图2），延长AD到M，使得DMAD；连接BM，通过三角形全等把AB、AC、2AD转化在ABM中；利用三角形的三边关系可得AM的取值范围为ABBMAMAB+BM，从而得到AD的取值范围是 ；方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（2）请你写出图2中AC与BM的数量关系和位置关系，并加以证明（3）深入思考：如图3，AD是ABC的中线，ABAE，ACAF
9、，BAECAF90，请直接利用（2）的结论，试判断线段AD与EF的数量关系，并加以证明17（2022全国八年级课时练习）（1）阅读理解：如图1，在ABC中，若AB5，AC8，求BC边上的中线AD的取值范围小聪同学是这样思考的：延长AD至E，使DE AD，连接BE利用全等将边AC转化到BE，在BAE中利用三角形三边关系即可求出中线AD的取值范围在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是_，中线AD的取值范围是_；（2）问题解决：如图2，在ABC中，点D是BC的中点，点M在AB边上，点N在AC边上，若DMDN 求证：BMCNMN；（3）问题拓展：如图3，在ABC中，点D是BC的中点，分别以A
10、B，AC为直角边向ABC外作RtABM和RtACN，其中BAMNAC 90，ABAM，ACAN，连接MN，探索AD与MN的关系，并说明理由18（2022全国八年级课时练习）如图，在等边ABC中，点D，E分别是AC，AB上的动点，且AECD，BD交CE于点P（1）如图1，求证：BPC120；（2）点M是边BC的中点，连接PA，PM，延长BP到点F，使PFPC，连接CF，如图2，若点A，P，M三点共线，则AP与PM的数量关系是 如图3，若点A，P，M三点不共线，问中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由19（2022山东德州八年级期末）（1）方法呈现：如图：在ABC中，若AB=6，
11、AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证ACDEBD，从而把AB、AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图，在ABC中，点D是BC的中点，DEDF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB/CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是BAF的角平分线试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证
12、明20（2021重庆市渝北中学校九年级阶段练习）（1）如图1在RtACB中，ACB90，AC8，BC6，点D、E分别在边CA，CB上且CD3，CE4，连接AE，BD，F为AE的中点，连接CF交BD于点G，则线段CG所在直线与线段BD所在直线的位置关系是 （提示：延长CF到点M，使FMCF，连接AM）（2）将DCE绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由（3）将DCE绕点C逆时针在平面内旋转，在旋转过程中，当B，D，E三点在同一条直线上时，CF的长为 21（2022安徽宿州九年级期末）已知：在矩形ABCD中，连接AC，过点D作DFAC
13、，交AC于点E，交AB于点F（1）如图1，若tanACD=22求证：AF=BF；连接BE，求证：CD=2BE（2）如图2，若AF2=ABBF，求cosFDC的值22（2022全国八年级课时练习）阅读理解：（1）如图1，在ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E，使得AD=DE，再连接BE，把AB，AC，2AD集中在ABE中，利用三角形三边关系即可判断中线AD的取值范围是_（2）解决问题：如图2，在ABC中，D是BC边上的中点，DEDF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CFEF（3）问题拓展：如图3，在AB
14、C中，D是BC边上的中点，延长DA至E，使得AC=BE，求证：CAD=BED23（2022全国八年级课时练习）某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入【探究与发现】（1）如图1，AD是ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：ACDEBD【理解与应用】（2）如图2，EP是DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是_（3）如图3，AD是ABC的中线，E、F分别在AB、AC上，且DEDF，求证：BE+CFEF24（2020福建福州九年级开学考试）如图1，已知正方形ABCD和等腰RtBEF，EF=BE，BEF=90，F是线段BC上一点，取DF中点G，连接EG、CG（1）探究EG与CG的数量与位置关系，并说明理由；（2）如图2，将图1中的等腰RtBEF绕点B顺时针旋转090，则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若AD=2，求2GE+BF的最小值
