1、兰州市五十八中 2022-2023学年度第一次模拟考试数学试卷（理科）第I卷（选择题）一、 单选题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知全集，集合，则集合1，4，7为( )ABCD2若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为( )ABCD3直线与平行，则a( )A1B2C1或2D0或14已知m，n是直线，是平面，且，则下列结论中正确的是( )A，都有 B，使mnC，都有 D，使5等于( )ABCD16关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为( )A3BC2D7已知数列是各项均为正数的等比数列，是它的前n项和若，且，则( )A29B
2、30C31D328如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且BD3DC若，则( )ABC2D9已知函数，若对于任意的，都有成立，则的最小值为( )A2B1C4D10从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有( )A20种B50种C80种D100种11已知双曲线右焦点为，过且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，若ABF为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )ABC(1，3)D12已知是偶函数，在(，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是( )A BC D第II卷（非选择题）二、填空题 （本大题共4小题，每小题5分，共2
3、0分，把答案填在答题卡中的横线上）13已知直线与函数的图象恰有三个公共点，则实数m的取值范围是 14已知向量，满足，则向量在向量上的投影为 15袋中装有3个红球2个白球，从中随机取球，每次一个，直到取得红球为止，则取球次数的数学期望为 16数列的前n项积为，那么当时， 三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17(12分)第23届冬季奥运会于2018年2月9日至2月25日在韩国平昌举行，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校教职工在冬季奥运会期间每天收看比赛转
4、播的时间作了一次调查，得到如下频数分布表：收看时间(单位：小时)0，1)1，2)2，3)3，4)4，5)5，6收看人数143016282012(1)若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“体育达人”，否则定义为“非体育达人”，请根据频数分布表补全22列联表：男女合计体育达人40非体育达人30合计并判断能否有90%的把握认为该校教职工是否为“体育达人”与“性别”有关；(2)在全校“体育达人”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“体育达人”中选取2名作冬奥会知识讲座，求抽取的这两人恰好是一男一女的概率附表及公式：P(K2k0)0150100050025001000050001k0207
5、2270638415024663578791082818(12分)在直角梯形ABCD(如图1)，ABC90，AD8，ABBC4，M为线段AD中点将ABC沿AC折起，使平面ABC平面ACD，得到几何体BACD(如图2)(1)求证：CD平面ABC；(2)求AB与平面BCM所成角的正弦值19(12分)已知各项都为正数的数列满足(1)证明：数列为等比数列；(2)若，求的通项公式20(12分)已知函数，(1)若函数存在单调递减区间，求实数a的取值范围；(2)若函数在1，4上单调递减，求实数a的取值范围21(12分) 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，求点P的坐标；(2
6、)设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分 选修4-4：坐标系与参数方程22 (10分) 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以该直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长是多少? 选修4-5：不等式23(10分) 已知(1)当时，求不等式的解集；(2)若时不等式成立，求a的取值范围答案及解析1解析由已知得U
7、1，2，3，4，5，6，7，N2，6，故选C2解析因为，所以实部为，虚部为，实部与虚部之积为故选B3解析，解得a2故选B4解析由m，n是直线，是平面，且，得：对于A，则m，n平行或异面，故A不正确；对于B，使mn，故B正确；对于C，则或，故C不正确；对于D，若，因为，所以mn，故D不正确，故选B5解析原式6解析平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3，1)，B(2，0)，C(1，3)，所以面积为，故选C7解析本题考查等比数列性质及基本量的运算，且，又，设的公比为q，则，8解析本题考查向量的线性运算，所以，从而求得，故选B9解析对任意的，成立，所以，所以，又的周期，所以，故选B10解析当去4个
8、人时，则安排方法有种，当去5个人时，则安排方法有种，综上，不同的安排方法共有50种故选B11解析在双曲线中，当xc时，取因为ABF是锐角三角形，所以，则，即因为双曲线中a2，所以，所以，解得，所以因为，则，所以双曲线的离心率的取值范围是故选D12解析时，即，在上单调递减，又为偶函数，在上单调递增，故选A13解析画出函数图象，如图所示由图可知，当m1时，直线yx与函数图象恰好有3个公共点，当m2时，直线yx与函数图象只有2个公共点，故m的取值范围是1，2)14解析向量，满足，向量在向量上的投影为，15解析由题意得的所有可能值为1，2，3，；，16解析设数列的前n项积为，则，当时，17解析(1)由
9、题意得下表：男女合计体育达人402060非体育达人303060合计7050120所以有90%的把握认为该校教职工是“体育达人”与“性别”有关(2)由题意知抽取的6名“体育达人”中有4名男职工，2名女职工，记“抽取的这两人恰好是一男一女”为事件A，18解析(1)由题设可知，AD8，CDAC，又平面ABC平面ACD，平面平面ACDAC，CD平面ABC(2)解法一：等体积法取AC的中点O连接OB，由题设可知ABC为等腰直角三角形，所以OB面ACM，且，而，A到面BCM的距离，所以解法二：向量法取AC的中点O连接OB，由题设可知ABC为等腰直角三角形，所以OB面ACM，连接OM，因为M、O分别为AB和
10、AC的中点，所以，由(1)可知OMAC，故以OM、OC、OB所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示则，平面BCM的一个法向量，19解析(1)，又，数列为等比数列(2)由(1)得，得当n为奇数时，相加得，当n为偶数时由得综上所述20解析(1)，则由h(x)在(0，)上存在单调递减区间，知当x(0，)时，有解，即有解设，则只要即可，而，所以，所以a1(2)由h(x)在1，4上单调递减，得当x1，4时，恒成立，即恒成立，设，则，而，又x1，4，所以，所以(此时x4)，所以21解析(1)因为椭圆方程为，所以a2，b1，可得，设P(x，y)(x0，y0)，则，联立解得，即(2)显然x0不满足题意，可设l的方程为ykx2，联立，由，得，又AOB为锐角，即，即，可得又，即为，解得22解:(1)将消去参数t，得直线l的普通方程为x-y-1=0曲线C的极坐标方程为，即，曲线C的直角坐标方程为(2)联立得，设直线l与抛物线C交于点，则，故直线l被曲线C截得的弦长为|AB|23解:(1)当a=1时，即故不等式f(x)1的解集为(2)当x(0，1)时|x+1|-|ax-1|x成立等价于当x(0，1)时|ax-1|0，则|ax-1|1的解集为，所以，故综上，a的取值范围为(0，2
