1、第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示.学 习 目 标核 心 素 养 1了解空间向量基本定理及其意义2掌握空间向量的正交分解及其坐标表示(难点)3掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法(重点)1通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养2借助基底的判断及应用、空间向量的坐标运算，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养自 主 预 习 探 新 知 1空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p其中a，b，c叫做空间的一个，a，b，c都叫做基向量基底x
2、ay bzc思考：(1)零向量能不能作为一个基向量？(2)当基底确定后，空间向量基本定理中实数组x，y，z是否唯一？提示(1)不能因为0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面(2)唯一确定 2空间向量的正交分解及其坐标表示 单位正交基底有公共起点O的三个两两的向量，记作e1，e2，e3 空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以_的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz 垂直单位e1，e2，e3空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxe1ye2ze3，则把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，
3、记作_p(x，y，z)1设i，j，k是单位正交基底，已知向量p在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则向量p在基底i，j，k下的坐标是()A(12,14,10)B(10,12,14)C(14,12,10)D(4,3,2)A 依题意，知p8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故向量p在基底i，j，k下的坐标是(12,14,10)2已知向量a，b，c是空间一个基底，则一定可以与向量pab，qab构成空间另一个基底的是()AaBbCcDacC p，q与a，b共面，ac是一个数量只有c不与p，q共面3设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底
4、，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_a(4，8,3)b(2，3,7)由题意知a(4，8，3)，b(2，3,7)4在长方体ABCD-A1B1C1D1中，下列关于AC1 的表达式中：AA1 A1B1 A1D1；ABDD1 D1C1；AD DD1 D1C1；12(AB1 CD1)A1C1 正确的个数有_个3 ABDD1 D1C1 ABDC1 ABAB1 AC1，不正确；12(AB1 CD1)A1C1 12(AB1 BA1)A1C1 AA1 A1C1 AC1，正确；明显正确合 作 探 究 释 疑 难 基底的判断【例1】(1)设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的
5、一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc其中可以作为空间一个基底的向量组有()A1个 B2个 C3个 D4个(2)已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且 OA e12e2e3，OB 3e1e22e3，OC e1e2e3，试判断OA，OB，OC 能否作为空间的一个基底(1)C 如图所示，令aAB，bAA1，cAD，则xAB1，yAD1，zAC，abc AC1 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故选C(2)解：假设OA，OB，OC 共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y 使OA xOB
6、yOC 成立，e12e2e3x(3e1e22e3)y(e1e2e3)，即e12e2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3 y3x1，xy2，2xy1，此方程组无解 即不存在实数x，y使得OA xOB yOC，所以OA，OB，OC 不共面 所以OA，OB，OC 能作为空间的一个基底 基底判断的基本思路及方法 1基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.2方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.假设 ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不
7、共面，能作为基底.跟进训练1若a，b，c是空间的一个基底，试判断ab，bc，ca能否作为空间的一个基底解 假设 ab，bc，ca 共面，则存在实数，使得 ab(bc)(ca)，即 abab()c a，b，c是空间的一个基底，a，b，c 不共面 1，1，0，此方程组无解 即不存在实数，使得 ab(bc)(ca)，ab，bc，ca 不共面 故ab，bc，ca能作为空间的一个基底 用基底表示向量【例 2】如图，四棱锥 P-OABC 的底面为一矩形，PO平面OABC，设OA a，OC b，OP c，E，F 分别是 PC，PB 的中点，试用 a，b，c 表示：BF，BE，AE，EF思路探究：解 连接 B
8、O，则BF12BP12(BO OP)12(cba)12a12b12cBEBCCEBC12CPBC12(CO OP)a12b12c AEAPPEAO OP 12(PO OC)ac 12(cb)a12b12c EF12CB12OA 12a1本题考查空间向量基本定理的应用，注意结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底a，b，c，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止2基向量的选择和使用方法(1)尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2)用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一
9、个易求的向量共线，可用数乘跟进训练2点 P 是矩形 ABCD 所在平面外一点，且 PA平面 ABCD，M，N 分别是 PC，PD 上的点，且PM 23PC，PNND，则满足MN xAByAD zAP的实数 x，y，z 的值分别为()A23，16，16 B23，16，16C23，16，16D23，16，16D 如图所示，取 PC 的中点 E，连接 NE，则MN ENEM 12CD (PM PE)12CD 23PC12PC 12CD 16PC12AB16(APABAD)23AB16AD 16AP，比较知x23，y16，z16，故选 D空间向量的坐标表示 探究问题1在正三棱柱 ABC-A1B1C1
10、中，已知ABC 的边长为 1，三棱柱的高为 2，如何建立适当的空间直角坐标系？提示 分别取 BC，B1C1 的中点 D，D1，以 D 为原点，分别以DC，DA，DD1 的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示 2若AB(a，b，c)，则BA的坐标是多少？提示 BA(a，b，c)【例 3】如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面ABC 中，CACB1，BCA90，棱 AA12，M，N 分别为 A1B1，A1A 的中点，试建立恰当的坐标系求向量BN，BA1，A1B 的坐标思路探究：以点 C 为原点，分别以CA，CB，CC1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向
11、建立空间直角坐标系，然后，把 BN，BA1，A1B 分别用CA，CB，CC1 表示出来，再写出它们的坐标 解 法一：由题意知 CC1AC，CC1BC，ACBC，以点 C为原点，分别以 CA，CB，CC1 的方向为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系 C-xyz，如图所示 BNANAB12CC1 CACBCACB12CC1，BN的坐标为(1，1,1)，而BA1 CA1 CBCACBCC1，BA1 的坐标为(1，1,2)又A1B BA1，A1B 的坐标为(1,1，2)法二：建系同法一，则 B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)，BN(1，1,1)，B
12、A1(1，1,2)，A1B(1,1，2)用坐标表示空间向量的步骤 跟进训练3已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E，F 分别为棱 BB1，DC 的中点，如图所示建立空间直角坐标系(1)写出各顶点的坐标；(2)写出向量EF，B1F，A1E 的坐标解(1)由题图知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，(2)因为 E，F 分别为棱 BB1，DC 的中点，由中点坐标公式，得 E(2,2,1)，F(0,1,0)所以EF(2，1，1)，B1F(2，1，2)，A1E(0,2，
13、1)课 堂 小 结 提 素 养 1基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标3用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示1O，A，B，C 为空间四点，且向量OA，OB，OC 不能构成空间的一个基底，则()AOA，OB，OC 共
14、线 BOA，OB 共线COB，OC 共线DO，A，B，C 四点共面D 由题意知，向量OA，OB，OC 共面，从而 O，A，B，C 四点共面2设 OABC 是四面体，G1 是ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG3GG1，若OG xOA yOB zOC，则(x，y，z)为()A14，14，14B34，34，34C13，13，13D23，23，23A 如图，由已知OG 34OG1 34(OA AG1)34OA 13(ABAC)34OA 14(OB OA)(OC OA)14OA 14OB 14OC，从而 xyz143三棱锥 P-ABC 中，ABC 为直角，PB平面 ABC，ABBCPB1
15、，M 为 PC 的中点，N 为 AC 的中点，以BA，BC，BP为基底，则MN 的坐标为_12，0，12 MN BNBM 12(BABC)12(BPBC)12BA12BP，故MN 12，0，12 4如图，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PAAB1，试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN 的坐标解 因为PAABAD1，PA平面ABCD，ABAD，所以AB，AD，AP是两两垂直的单位向量 设ABe1，AD e2，AP e3，以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系A-xyz 因为MN MA APPN 12ABAP12PC 12ABAP12(PAAC)12ABAP12(PAABAD)12AD 12AP12e212e3，所以MN 0，12，12 点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
