1、专题23 与四边形相关的压轴题 一、选填题1（2021广西来宾市中考真题）如图，矩形纸片，点，分别在，上，把纸片如图沿折叠，点，的对应点分别为，连接并延长交线段于点，则的值为（ ）ABCD2（2021湖南衡阳市中考真题）如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接下列结论：四边形是菱形；点P与点A重合时，；的面积S的取值范围是其中所有正确结论的序号是（ ）ABCD3（2021湖南常德市中考真题）如图，已知F、E分别是正方形的边与的中点，与交于P则下列结论成立的是（ ）ABCD4（2021山东东营市中考真题）
2、如图，是边长为1的等边三角形，D、E为线段AC上两动点，且，过点D、E分别作AB、BC的平行线相交于点F，分别交BC、AB于点H、G现有以下结论：；当点D与点C重合时，；当时，四边形BHFG为菱形，其中正确结论为（ ）ABCD5（2021四川宜宾市中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB6，AD4，BE2，则DF的长是（ ）A2BCD36（2021黑龙江绥化市中考真题）如图所示，在矩形纸片中，点分别是矩形的边上的动点，将该纸片沿直线折叠使点落在矩形边上，对应点记为点，点
3、落在处，连接与交于点则下列结论成立的是（ ）；当点与点重合时；的面积的取值范围是；当时，ABCD7（2020江苏扬州市中考真题）如图，在中，点E为边AB上的一个动点，连接ED并延长至点F，使得，以EC、EF为邻边构造，连接EG，则EG的最小值为_8（2020四川成都市中考真题）如图，在矩形中，分别为，边的中点动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_，线段长度的最小值为_9（2020湖北咸宁市中考真题）如图，四边形是边长为2的正方形，点E是边上一动点（不与点B，C重合），且交正方形外角的
4、平分线于点F，交于点G，连接，有下列结论：；的面积的最大值为1其中正确结论的序号是_（把正确结论的序号都填上）10（2021湖北襄阳市中考真题）如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在的延长线上，交于点，则_11（2019山东济南市中考真题）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于_12（2019辽宁葫芦岛市中考真题）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD延长线上的一点，连接PA，过点P作PEPA交BC的延长线于点E，过点E作EFBP于点F，则下列结论中：PAPE；CEPD；BFPDBD；S
5、PEFSADP，正确的是_（填写所有正确结论的序号）13（2021四川宜宾市中考真题）如图，在矩形ABCD中，ADAB，对角线相交于点O，动点M从点B向点A运动（到点A即停止），点N是AD上一动点，且满足MON90，连结MN在点M、N运动过程中，则以下结论中，点M、N的运动速度不相等；存在某一时刻使；逐渐减小；正确的是_（写出所有正确结论的序号）14（2021新疆中考真题）如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将按逆时针方向旋转得，连接EF，分別交BD，CD于点M，N若，则_15（2021湖南张家界市中考真题）如图，在正方形外取一点，连接，过点作的垂线交于点，若，下
6、列结论：；点到直线的距离为；，其中正确结论的序号为_16（2021福建中考真题）如图，在矩形中，点E，F分别是边上的动点，点E不与A，B重合，且，G是五边形内满足且的点现给出以下结论：与一定互补；点G到边的距离一定相等；点G到边的距离可能相等；点G到边的距离的最大值为其中正确的是_（写出所有正确结论的序号）17（2021海南中考真题）如图，在矩形中，将此矩形折叠，使点C与点A重合，点D落在点处，折痕为，则的长为_，的长为_二解答题1（2021辽宁中考真题）已知,在正方形中,点MN为对角线上的两个动点,且,过点M、N分别作的垂线相交于点E,垂足分别为FG,设的面积为,的面积为,的面积为（1）如图
7、（1）,当四边形为正方形时,求证:;求证:;（2）如图（2）,当四边形为矩形时,写出,三者之间的数量关系,并说明理由;（3）在（2）的条件下,若,请直接写出的值2（2021四川达州市中考真题）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两要互相垂直的线段做了如下探究：（观察与猜想）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，则的值为_；（2）如图2，在矩形中，点是上的一点，连接，且，则的值为_；（类比探究）（3）如图3，在四边形中，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：； （拓展延伸）（4）如图4，在中，将沿翻折，点落在点处得，点，分别在边，上，连接，且
8、求的值；连接，若，直接写出的长度 3（2020江苏南通市中考真题）（了解概念）有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线（理解运用）（1）如图，对余四边形ABCD中，AB5，BC6，CD4，连接AC若ACAB，求sinCAD的值；（2）如图，凸四边形ABCD中，ADBD，ADBD，当2CD2+CB2CA2时，判断四边形ABCD是否为对余四边形证明你的结论；（拓展提升）（3）在平面直角坐标系中，点A（1，0），B（3，0），C（1，2），四边形ABCD是对余四边形，点E在对余线BD上，且位于ABC内部，AEC90+ABC设u，点D的纵坐标为t，请直接写出u关于t的
9、函数解析式 4（2020湖南郴州市中考真题）如图，在等腰直角三角形中，点是的中点，以为边作正方形，连接将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为（1）如图，在旋转过程中，判断与是否全等，并说明理由；当时，与交于点，求的长（2）如图，延长交直线于点求证：；在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 5（2021四川眉山市中考真题）如图，在等腰直角三角形中，边长为2的正方形的对角线交点与点重合，连接，（1）求证：；（2）当点在内部，且时，设与相交于点，求的长；（3）将正方形绕点旋转一周，当点、三点在同一直线上时，请直接写出的长6（2021浙江丽水市中考真题）如图，在菱形
10、中，是锐角，E是边上的动点，将射线绕点A按逆时针方向旋转，交直线于点F（1）当时，求证：；连结，若，求的值；（2）当时，延长交射线于点M，延长交射线于点N，连结，若，则当为何值时，是等腰三角形 7（2020广西贵港市中考真题）已知：在矩形中，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为（1）如图1，当点与点重合时，则线段_，_；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，求证：四边形是平行四边形：当时，求四边形的面积8（2020辽宁鞍山市中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F（1）当矩形是正方形时，以点F
11、为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是_，位置关系是_；如图2，若点E在线段的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，求的最小值 9（2020辽宁丹东市中考真题）已知：菱形和菱形，起始位置点在边上，点在所在直线上，点在点的右侧，点在点的右侧，连接和，将菱形以为旋转中心逆时针旋转角（）（1）如图1，若点与重合，且，求证：； （2）若点与不重合，是上一点，当时，连接和，和所在直线相交于点；如图2，当时，请猜想线段和线段的数量关系及的度数；如图3，当时
12、，请求出线段和线段的数量关系及的度数；在的条件下，若点与的中点重合，在整个旋转过程中，当点与点重合时，请直接写出线段的长10（2020内蒙古赤峰市中考真题）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接 PD，过点P作PEPD，交直线AB于点E，过点P作MNAB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.，AD =4.（1）如图1，当点P在线段AC上时，PDM和EPN的数关系为:PDM_ EPN；的值是 ；（2）如图2，当点P在CA延长线上时，（1）中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEF
13、D的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.11（2021上海中考真题）如图，在梯形中，是对角线的中点，联结并延长交边或边于E（1）当点E在边上时，求证：；若，求的值；（2）若，求的长12（2021广东中考真题）如图，在四边形中，点E、F分别在线段、上，且（1）求证：；（2）求证：以为直径的圆与相切；（3）若，求的面积13（2020辽宁盘锦市中考真题）如图，四边形是正方形，点是射线上的动点，连接，以为对角线作正方形（按逆时针排列），连接（1）当点在线段上时求证：；求证：；（2）设正方形的面积为，正方形的面积为，以为原点的四边形的面积为，当时，请直接写出的值 14（2020云南昆
14、明市中考真题）如图1，在矩形ABCD中，AB5，BC8，点E，F分别为AB，CD的中点（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）如图2，点P是边AD上一点，BP交EF于点O，点A关于BP的对称点为点M，当点M落在线段EF上时，则有OBOM请说明理由；（3）如图3，若点P是射线AD上一个动点，点A关于BP的对称点为点M，连接AM，DM，当AMD是等腰三角形时，求AP的长 15（2020湖南益阳市中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕
15、点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，点到直线的距离为求的长若、分别是、边上的动点，求周长的最小值 16（2019四川眉山市中考真题）如图1，在正方形中，平分，交于点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点(1)求证：；(2)如图2，连接、，求证：平分；(3)如图3，连接交于点，求的值 17（2021江苏宿迁市中考真题）已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周(1)如图，连接BG、CF，求的值；(2)当正方形AEFG旋转至图位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接M
16、N、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；(3)连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积 18（2021湖北荆州市中考真题）在矩形中，是对角线上不与点，重合的一点，过作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接（1）如图1，若点的对称点落在上，延长交于，连接求证：；求（2）如图2，若点的对称点落在延长线上，判断与是否全等，并说明理由 19（2021山东菏泽市中考真题）在矩形中，点，分别是边、上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点落在点处，点落在点处（1）如图1，当与线段交于点时，求证：；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，交于点，求证：点在线段的垂
17、直平分线上；（3）当时，在点由点移动到中点的过程中，计算出点运动的路线长 20（2021湖南常德市中考真题）如图，在中，N是边上的一点，D为的中点，过点A作的平行线交的延长线于T，且，连接（1）求证：；（2）在如图中上取一点O，使，作N关于边的对称点M，连接、得如图求证：；设与相交于点P，求证： 21（2021青海中考真题）在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用如下方法：操作感知：第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开（如图13-1）第二步：再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段（如图13-2
18、）猜想论证：（1）若延长交于点，如图13-3所示，试判定的形状，并证明你的结论拓展探究：（2）在图13-3中，若，当满足什么关系时，才能在矩形纸片中剪出符（1）中的等边三角形？ 22（2021山东临沂市中考真题）如图，已知正方形ABCD，点E是BC边上一点，将ABE沿直线AE折叠，点B落在F处，连接BF并延长，与DAF的平分线相交于点H，与AE，CD分别相交于点G，M，连接HC（1）求证：AGGH；（2）若AB3，BE1，求点D到直线BH的距离；（3）当点E在BC边上（端点除外）运动时，BHC的大小是否变化？为什么？ 23（2021浙江绍兴市中考真题）如图，矩形ABCD中，点E是边AD的中点，点F是对角线BD上一动点，连结EF，作点D关于直线EF的对称点P（1）若，求DF的长（2）若，求DF的长（3）直线PE交BD于点Q，若是锐角三角形，求DF长的取值范围 24（2021海南中考真题）如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且（1）求证：；（2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接求证：；若，求的长
